2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步檢測(cè)試題課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE1第八章檢測(cè)試題時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)eq\a\vs4\al(一、單項(xiàng)選擇題每小題5分，共40分)1．假如直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)(C)A．不存在與l垂直的直線B．存在一條與l垂直的直線C．存在多數(shù)條與l垂直的直線D．任一條都與l垂直解析：平面α內(nèi)與l在α內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線l，這樣的直線有多數(shù)條，故A，B不正確，C正確；若在平面α內(nèi)，任一條都與l垂直，則直線l與平面α垂直，與題設(shè)沖突，故D不正確．2．若把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成(A)A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cm解析：平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一樣．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則(B)A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD解析：如圖所示，連接AC，BD，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體，所以四邊形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，因?yàn)锽D∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.4．一個(gè)正方體表面積與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是(A)A.eq\f(\r(6π),6) B.eq\f(\r(π),2)C.eq\f(\r(2π),2) D.eq\f(3\r(π),2π)解析：由6a2＝4πR2得eq\f(a,R)＝eq\r(\f(2π,3))，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2π,3))))3＝eq\f(\r(6π),6).(其中a為正方體的棱長，R為球的半徑)．5．假如圓錐的側(cè)面綻開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是(A)A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形D．其他等腰三角形6．如圖，是正方體的平面綻開圖，則在這個(gè)正方體中，CN，BM所在直線所成角的大小為(C)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由平面綻開圖可得原正方體如圖，連接AN，則AN∥BM，則CN，BM所在直線所成角為∠ANC，連接AC，則△ANC為等邊三角形，則∠ANC＝60°，即CN，BM所在直線所成角的大小為60°.7．將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60°，那么這個(gè)二面角大小是(A)A．90° B．60°C．45° D．30°解析：如圖，連接B′C.則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a，則B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝eq\r(2)a，所以∠B′DC＝90°，故選A.8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過程中，下列結(jié)論中正確的有(A)①總存在某個(gè)位置，使CE⊥平面A1DE；②總有BM∥平面A1DE；③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C.A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：在①中，總存在某個(gè)位置，使CE⊥平面A1DE，①正確；在②中，如圖，取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D與FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，所以總有BM∥平面A1DE，故②正確；在③中，由已知得DE⊥CE，若DE⊥A1C，則DE⊥平面A1CE，則DE⊥A1E，又在△A1DE中DA1⊥A1E，所以DE與A1E不行能垂直，即DE與A1C不行能垂直，故③錯(cuò)誤．eq\a\vs4\al(二、多項(xiàng)選擇題每小題5分，共20分)9．用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得的截面可能是(ABCD)A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形解析：若與三個(gè)平面相交，則截面是三角形；與四個(gè)平面相交，則截面是四邊形；與五個(gè)平面相交，則截面是五邊形；與六個(gè)平面相交，則截面是六邊形，故選ABCD.10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，A1A，A1B1的中點(diǎn)，給出下列命題中正確命題的為(ABC)A．EF⊥B1CB．BC1∥平面EFGC．A1C⊥平面EFGD．異面直線FG，B1C所成角的大小為eq\f(π,4)解析：如圖，對(duì)于A，連接AD1，則EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，則EF⊥B1C，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)锽C1∥EF，EF?平面EFG，BC1?平面EFG，所以BC1∥平面EFG，故B正確；對(duì)于C，A1C⊥EF，A1C⊥EG，EF∩EG＝E，所以A1C⊥平面EFG，故C正確；對(duì)于D，F(xiàn)G∥AB1，所以∠AB1C為異面直線FG，B1C所成角，連接AC，可得△AB1C為等邊三角形，則∠AB1C＝eq\f(π,3)，即異面直線FG，B1C所成角的大小為eq\f(π,3)，故D錯(cuò)誤．11．已知平面α⊥平面β.直線m?平面α，直線n?平面β，α∩β＝l，在下列說法中，正確的有(BC)A．若m⊥n，則m⊥lB．若m⊥l，則m⊥βC．若m⊥β，則m⊥nD．m⊥n，則m⊥β解析：平面α⊥平面β.直線m?平面α，直線n?平面β，α∩β＝l，若m⊥n，可得m，l可能平行，故A、D錯(cuò)誤；若m⊥l，由面面垂直的性質(zhì)定理可得m⊥β，故B正確；若m⊥β，可得m⊥n，故C正確．12．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(ABC)A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．異面直線BC1與AC所成的角為60°D．MO⊥平面ABCD解析：如圖，在A中，取A1C1中點(diǎn)E，連接BE，則D1O∥BE，因?yàn)镈1O?平面A1BC1，BE?平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正確．在B中，因?yàn)镈1O⊥AM，D1O⊥AC，所以D1O⊥平面MAC，故B正確；在C中，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠BC1A1是異面直線BC1與AC所成的角，又△A1C1B是正三角形，所以異面直線BC1與AC所成的角為60°，故C正確．在D中，MB⊥平面ABCD，MO∩MB＝M，故MO與平面ABCD不垂直，故D錯(cuò)誤．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)eq\a\vs4\al(三、填空題每小題5分，共20分)13．將一個(gè)等腰梯形圍著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐．14．如圖，a∥α，A是α的另一側(cè)的點(diǎn)，B，C，D∈a，線段AB，AC，AD交α于E，F(xiàn)，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝eq\f(20,9).解析：因?yàn)閍∥α，EG＝α∩平面ABD，所以a∥EG，即BD∥EG.所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD)，即eq\f(5,4＋5)＝eq\f(EG,4)，所以EG＝eq\f(20,9).15．下列命題正確的是①.①兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或互為異面直線；②假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么它們重合；③一條直線和一個(gè)平面內(nèi)多數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面平行；④兩條直線都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線平行；⑤過兩條異面直線中的一條可以作多數(shù)個(gè)平面與另一條直線平行．解析：對(duì)于①，由空間中兩條直線的位置關(guān)系可知其正確；對(duì)于②，滿意條件的兩個(gè)平面可能相交也可能重合，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，滿意條件的直線和平面可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，滿意條件的兩條直線可能相交、異面或平行，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，只能作出一個(gè)符合要求的平面，故⑤錯(cuò)誤．綜上，只有①正確．16．α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，則你認(rèn)為的正確的命題有2個(gè)，其中一個(gè)是若②③④，則①(或若①③④，則②)．解析：若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，則n與α可能平行也可能相交，也可能n?α，即④n⊥α不肯定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，則m與β可能平行也可能相交，也可能m?β，即③m⊥β不肯定成立．若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，則②α⊥β成立．若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，則①m⊥n成立．eq\a\vs4\al(四、解答題寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其內(nèi)部有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)求圓錐的側(cè)面積．(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值．解：(1)圓錐的母線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(cm)，所以圓錐的側(cè)面積S1＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)π(cm2)．(2)畫出圓錐的軸截面如圖所示：設(shè)圓柱的底面半徑為rcm，由題意，知eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，所以r＝eq\f(6－x,3)，所以圓柱的側(cè)面積S2＝2πrx＝eq\f(2π,3)(－x2＋6x)＝－eq\f(2π,3)[(x－3)2－9]，所以當(dāng)x＝3時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6πcm2.18．(12分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)．(1)求證：AD1∥平面DOC1.(2)求異面直線AD1和OC1所成角的大?。猓?1)證明：如圖，連接D1C交DC1于點(diǎn)O1，連接OO1，因?yàn)镺，O1分別是AC和D1C的中點(diǎn)，所以O(shè)O1∥AD1.又OO1?平面DOC1，AD1?平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由(1)知，OO1∥AD1，所以∠O1OC1為異面直線AD1和OC1所成角，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則O1C1＝O1O＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，所以cos∠O1OC1＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(2)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，所以∠O1OC1＝eq\f(π,6).即異面直線AD1和OC1所成角的大小為eq\f(π,6).19．(12分)如圖所示，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面ABCD，再過A作AE⊥SB交SB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥SC交SC于點(diǎn)F.(1)求證：AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD.證明：(1)因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SA⊥BC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB⊥BC，因?yàn)锳B∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC.又EF⊥SC，所以SC⊥平面AEF，所以AF⊥SC.(2)因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥DC，又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD，所以DC⊥AG.由(1)知SC⊥平面AEF，因?yàn)锳G?平面AEF，所以SC⊥AG，因?yàn)镾C∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC，所以AG⊥SD.20．(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面MNC.(2)若AC＝BC，求證：平面PAC⊥平面MNC.證明：(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MN∥PB，又MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因?yàn)锳C＝BC，M為AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CM?平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA，因?yàn)镻A⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN，又MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC，又PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC.21．(12分)如圖，多面體ABCDEF中，平面ABCD為正方形，AD⊥DE，AB＝2，AE＝3，ED＝EC＝eq\r(5)，EF∥DB，且EF＝eq\f(1,2)DB.(1)求證：平面ABCD⊥平面EDC.(2)求四棱錐C-BDEF的體積．解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD為正方形，所以AD⊥DC，又AD⊥DE，且DE∩DC＝D，所以AD⊥平面EDC，又AD?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面EDC.(2)如圖，連接BE，由題意知VC-BDEF＝eq\f(3,2)VC-BDE＝eq\f(3,2)VE-BCD.取CD的中點(diǎn)O，連接EO，由ED＝EC＝eq\r(5)，得EO⊥DC，由(1)可知，EO⊥平面ABCD，因?yàn)镃D＝2，所以EO＝2，所以VE-BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·EO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，所以VC-BDEF＝eq\f(3,2)×eq\f(4,3)＝2.22．(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱長為1的菱形，∠ADC＝60°，PA＝eq\r(2)，M是PB的中點(diǎn)．(1)求證：PD∥平面ACM.(2)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值．解：(1)證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OM，由底面ABCD是菱形，知O