安徽省蕪湖市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試題理

PAGEPAGE13安徽省蕪湖市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月教化教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試題理本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、考場(chǎng)/座位號(hào)、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卷上．將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試題卷上．3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必需保證答題卷的整齊，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿意，則（）A． B． C． D．3．多年來(lái)，某市持續(xù)推動(dòng)創(chuàng)建文明城市工作，通過(guò)凈化出行環(huán)境、改造生活設(shè)施、擴(kuò)建園林綠化等，空氣質(zhì)量穩(wěn)步提升．如圖是空氣質(zhì)量指數(shù)與相應(yīng)等級(jí)比照表以及該市12月21日至其次年1月10日的空氣質(zhì)量指數(shù)圖，下面結(jié)論中不正確的是（）空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量等級(jí)0-50優(yōu)51-100良101-150輕度污染151-200中度污染201-300重度污染＞300嚴(yán)峻污染A．1月上旬的空氣質(zhì)量等級(jí)總體優(yōu)于12月下旬空氣質(zhì)量等級(jí)B．以上21天中12月30號(hào)空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)，空氣質(zhì)量最佳C．1月上旬空氣質(zhì)量指數(shù)比12月下旬的波動(dòng)性更大D．以上21天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)為良4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．0 B．15 C．20 D．305．函數(shù)的部分圖象大致為（） A． B． C． D．6．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，，若線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則為（）A．1 B． C．2 D．47．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．8．在中，，邊上的高為1，則面積的最小值為（）A． B． C． D．9．現(xiàn)有甲、乙、丙3位同學(xué)在周一至周五參與某項(xiàng)公益勞動(dòng)，要求每人參與一天且每天至多支配一人，并要求甲同學(xué)支配在另外兩位前面，則不同的支配總數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．6010．意大利聞名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地揣測(cè)鏈條自然下垂時(shí)的形態(tài)是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問(wèn)題為“懸鏈線”問(wèn)題并向數(shù)學(xué)界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式—雙曲余弦函數(shù)：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．當(dāng)，時(shí)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)．若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都成立，且，在單調(diào)，則（）A．， B．，C．， D．，12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，中點(diǎn)分別為，，若過(guò)的平面截該正方體所得的截面是一個(gè)五邊形，則該五邊形周長(zhǎng)的最大值為（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷的橫線上．）13．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊，角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若，則的值為．15．已知正四棱錐的體積為18，側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐外接球的表面積為．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的漸近線上一點(diǎn)，，若直線與圓相切，則雙曲線的離心率為．三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．18．（12分）在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，平面．（1）是棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）試問(wèn)棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值是？若存在，求點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）“直播帶貨”是指通過(guò)一些互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)，運(yùn)用直播技術(shù)進(jìn)行商品線上展示、詢問(wèn)答疑、導(dǎo)購(gòu)銷售的新型服務(wù)方式．某高校學(xué)生會(huì)調(diào)查了該校100名學(xué)生2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物的狀況，這100名學(xué)生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)占男生總數(shù)的，女生中在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)占女生總數(shù)的．（1）填寫(xiě)列聯(lián)表，并推斷能否有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生的性別與2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物有關(guān)？男生女生合計(jì)2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物2024年未在直播平臺(tái)購(gòu)物合計(jì)（2）若把這100名學(xué)生2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物的頻率作為該校每個(gè)學(xué)生2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物的概率，從全校全部學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)與未在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)之差為，求的分布列與期望．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828附：，．20．（12分）已知橢圓的離心率，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：．21．（12分）已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，探討零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)為參數(shù)時(shí)，曲線與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求；（2）當(dāng)為參數(shù)時(shí)，曲線與相交于，，且，求．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若為的最小值，實(shí)數(shù)滿意，求證．

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期蕪湖市中小學(xué)校教化教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高三年級(jí)數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）題號(hào)123456789101112答案DCCBACDBBCAA二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．3 14． 15． 16．2三、解答題（本大題共7小題，共70分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）（一）必做題（共5小題，每小題12分，共60分）17．（12分）解：（1），，即．又，，，，也滿意．是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，．（2）由（1）知，．18．（12分）（1）證明：連，由，得，故四邊形為平行四邊形．，平面，平面，所以平面．（2）假設(shè)點(diǎn)存在，取中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，，又面，所以兩兩相互垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系．由，得，設(shè)，其中．，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即可?。字矫嬉粋€(gè)法向量為，由，得，故為邊上靠近的四等分點(diǎn)．19．（12分）解：（1）列列聯(lián)表：男生女生合計(jì)2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物4035752024年未在直播平臺(tái)購(gòu)物20525合計(jì)6040100．故沒(méi)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生的性別與2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物有關(guān)．（2）設(shè)這4人中2024年在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)為，則，且，，故，且，，，，．所以的分布列為，，即．20．（12分）（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為，，，即，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的方程可設(shè)為，聯(lián)立得．設(shè)，，則．．同理可得．．又，，所以．21．（12分）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令得．若，；若，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．（2）設(shè)函數(shù)因?yàn)?，所以得．?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為．若時(shí)，，所以函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；若時(shí)，，，，故，；所以函數(shù)在和各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．（10分）解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)為參數(shù)時(shí)