2025屆安徽省泗縣鞏溝中學高二數(shù)學第一學期期末調研試題含解析

2025屆安徽省泗縣鞏溝中學高二數(shù)學第一學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了調查全國人口的壽命，抽查了11個省（市）的2500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量2．兩個圓和的位置是關系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內含3．已知拋物線：，焦點為，若過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.104．“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.7．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列結論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當時，取得最小值C.當時，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)8．在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.5C. D.109．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.10．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.11．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.12．拋物線的焦點為，準線為，焦點在準線上的射影為點，過任作一條直線交拋物線于兩點，則為（）A.銳角 B.直角C.鈍角 D.銳角或直角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，是方程兩根，則________.14．已知是橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________15．圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______16．已知函數(shù)的圖象上有一點，則曲線在點處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值18．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且（O為坐標原點）．證明：總存在一個確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程20．（12分）已知數(shù)列的首項為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.21．（12分）立德中學舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學生進行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認定為“一般”，成績在認定為“良好”，成績在認定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學生有2人（1）若從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，求至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）22．（10分）已知函數(shù)，其中常數(shù)，（1）求單調區(qū)間；（2）若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.2、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關系，可得選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關系是相交，故選：C.【點睛】本題考查兩圓的位置關系，關鍵在于運用判定兩圓的位置關系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關系，屬于基礎題.3、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉化為點到準線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則故選D【點睛】本題考查拋物線定義的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、A【解析】根據(jù)題意，結合直線與圓的位置關系求出，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由直線與圓相切，知圓心到直線的距離，解得或，因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.5、B【解析】由條件結合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B6、A【解析】根據(jù)橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.7、D【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)圖象知：當，時，函數(shù)單調遞減；當，時，函數(shù)單調遞增.所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故選項A不正確，選項D正確；故當時，取得極小值，選項C不正確；當時，不是取得最小值，選項B不正確；故選：D.8、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項9、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B10、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.11、D【解析】結合導數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當時，單調遞增，，所以單調遞增.因為是偶函數(shù)，所以當時，單調遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D12、D【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理，求得，根據(jù)其結果即可判斷和選擇.【詳解】為說明問題，不妨設拋物線方程，則，直線斜率顯然不為零，故可設直線方程為，聯(lián)立，可得，設坐標為，則，故，當時，，；當時，，；故為銳角或直角.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由題意求得，，再結合等比數(shù)列的性質，即可求解.【詳解】由題意知，，是方程的兩根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質的應用，其中解答中熟練應用等比數(shù)列的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、##【解析】根據(jù)題中幾何關系，求得點坐標，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點為第一象限的點，過點作的垂線，垂足為，如下所示：因為△為等邊三角形，又，故可得則點的坐標為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.15、【解析】先將已知圓的方程化為標準形式，求得圓心坐標(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點的對稱點，進而寫出方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓標準方程為，故答案為：16、【解析】利用導數(shù)求得為增函數(shù)，根據(jù)，求得，進而求得，得出即在點處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點在曲線上，可得，又由函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，因為，所以，即在點處的切線的斜率為2，所以曲線在點的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求解曲線在某點處的切線方程，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)的運算公式，結合直線的點斜式方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先利用正方形和梯形的性質證明線面平行，然后再根據(jù)線面平行證明面面平行即可（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關的向量，然后分別求出平面與平面的一個法向量，最后求出平面與平面夾角的余弦值【小問1詳解】四邊形是正方形，可得：又平面，平面則有：平面四邊形是梯形，可得：又平面，平面則有：平面又故平面平面【小問2詳解】依題意知兩兩垂直，故以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則有：，，，可得：，，設平面的一個法向量，則有：取，可得：設平面的一個法向量，則有：取，可得：設平面與平面的夾角為，則故平面與平面夾角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結合焦點的坐標、橢圓中的關系進行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，由得由得．由，得當且僅當，即時等號成立當直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為19、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關系，再求出原點O到直線l的距離即可推理作答.【小問1詳解】因，則，點在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標準方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設，，因，則，于是得，此時，，則原點O到直線l的距離，所以，存在以原點O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設直線方程為，再與圓錐曲線方程聯(lián)立結合已知條件探求k，m的關系，然后推理求解.20、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由的單調性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結論有①②①②得：又為遞增數(shù)列，21、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設可得求參數(shù)a，結合表格數(shù)據(jù)及已知總學生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應用列舉法求古典概型的概率.（3）應用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應的值.【小問1詳解】設事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人的樣本空間，設事件：至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，至少有一個人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對應平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當