2025屆江蘇常熟中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2025屆江蘇常熟中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.62．已知直線(xiàn)與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；②某人買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)；③從集合中任取兩個(gè)不同元素，它們的和大于2；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時(shí)會(huì)沸騰.其中是隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.44．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-15．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，則“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.7．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．已知為兩條不同的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則11．設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件：，則的最小值（）A. B.C. D.12．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中.若成公比為的等比數(shù)列，則____________14．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.15．已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是，則正整數(shù)______________.16．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車(chē)比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線(xiàn)賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值18．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)、），求的值；（3）過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為.試問(wèn)：直線(xiàn)與是否交于定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最值.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：21．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積.22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C2、A【解析】將直線(xiàn)代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線(xiàn)代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A3、B【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個(gè)事件哪一個(gè)符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機(jī)事件某人買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機(jī)事件從集合，2，中任取兩個(gè)元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時(shí)才會(huì)沸騰，④是不可能事件故隨機(jī)事件有2個(gè)，故選：B4、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.5、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，若“對(duì)任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，即由“對(duì)任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對(duì)任意的，”，因此“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A6、D【解析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.7、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過(guò)來(lái)，若，，則時(shí)，必要性不成立；因此“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D8、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C9、C【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C10、D【解析】根據(jù)空間里面直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.11、D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，的最小值為-8，故選D.12、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線(xiàn)垂直可得，解得或1，所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列，即由正弦定理可知所以故答案為：14、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進(jìn)而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因?yàn)橐业梅值钠骄禐?4，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：15、4【解析】由已知二項(xiàng)式可得展開(kāi)式通項(xiàng)為，根據(jù)已知條件有，即可求出值.詳解】由題設(shè)，，∴，則且為正整數(shù)，解得.故答案為：4.16、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米（2）時(shí)，折線(xiàn)賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)?，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線(xiàn)賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米18、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由題意，列出所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫(xiě)出，設(shè)，利用斜率坐標(biāo)公式求得兩直線(xiàn)斜率，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，結(jié)合直線(xiàn)的方程，得到直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）,設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，，又，.（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，所以，所以，又直線(xiàn)的方程為：，令，則，所以直線(xiàn)恒過(guò)，同理，直線(xiàn)恒過(guò)，即直線(xiàn)與交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查是有關(guān)橢圓的問(wèn)題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，建立方程組求得橢圓方程；（2）根據(jù)斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當(dāng)結(jié)論來(lái)用；（3）將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)方程，求得其過(guò)的定點(diǎn).19、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意：，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處有極值，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.20、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，∴，∴∴，又∵，∴，所?1、（1）（2）【解析】小問(wèn)1：由拋物線(xiàn)的定義可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；小問(wèn)2：可知直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線(xiàn)的定義可求得的值，結(jié)合