福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項積，，現(xiàn)給出下列四個結論：①；②為單調遞增的等比數(shù)列；③當時，取得最大值；④當時，取得最大值其中所有正確結論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④2．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.3．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件5．已知向量，且，則（）A. B.C. D.6．設，則當數(shù)列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或67．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.8．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為9．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經過定點（）A. B.C. D.10．已知，為雙曲線的左，右頂點，點P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.11．已知是兩個數(shù)1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.12．已知橢圓的右焦點為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體,點在底面內運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為______.14．已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項為______.15．已知橢圓的弦AB的中點為M，O為坐標原點，則直線AB的斜率與直線OM的斜率之積等于_________16．若圓與圓相交，則的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若F為中點，求與平面所成角的正弦值19．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.20．（12分）已知直線：和：（1）若，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的值21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.22．（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，令，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出，即可判斷選項①正確；求出，即可選項②錯誤；求出，利用單調性即可判斷選項③正確；求出，即可判斷選項④錯誤，即得解.【詳解】解：因為，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，其中首項，公比為的等比數(shù)列，因為，，所以數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因為為單調遞增函數(shù)，所以當最大時，有最大值，因為，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設，由可得，，解得或，又因為，所以時，取得最大值，故④錯誤；故選：B2、A【解析】根據兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經檢驗可知符合題意.故選：A3、A【解析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.4、D【解析】根據充分條件、必要條件的判定方法，結合不等式的性質，即可求解.【詳解】由，可得，即，當時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.5、A【解析】利用空間向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A6、A【解析】結合等差數(shù)列的性質得到，解不等式組即可求出結果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.7、C【解析】利用空間向量基本定理，結合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C8、D【解析】根據基本不等式知識對選項逐一判斷【詳解】對于A，時為負值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當且僅當即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D9、D【解析】根據圓的切線性質，結合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.10、A【解析】根據給定條件求出點P的坐標，再代入雙曲線方程計算作答.【詳解】由雙曲線對稱性不妨令點P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因為等腰三角形，且頂角為，則有，，有，于是得，即點，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A11、A【解析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數(shù)1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.12、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內運動,且始終保持平面可得點在線段上運動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當最短時,,即最大,即角最大設正方體的邊長為,故故答案為:【點睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.14、【解析】根據數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以數(shù)列的前5項為.故答案為：15、【解析】根據點是弦的中點，為坐標原點，利用點差法求解.【詳解】設，且，則，（1），（2）得：，，.又，，.故答案為：16、【解析】根據圓心距小于兩半徑之和，大于兩半徑之差的絕對值列出不等式解出即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，圓，即的圓心為，半徑為，由于兩圓相交，故，即，解得，即的取值范圍是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設的公差為d，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結合的單調性，即可求解.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據二次函數(shù)的性質且，可得單調遞增，因為，所以當時，，故n的最小值為1218、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點O，連接OD，通過三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】解法1：如圖，連接交于點O，連接OD，因為在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以O是的中點，因為D為BC的中點，所以在中，，因為平面，平面，所以平面平面解法2：因為在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系，因為，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問2詳解】設與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.19、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數(shù)在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數(shù)在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數(shù)為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.20、（1）2（2）或【解析】（1）易知兩直線的斜率存在，根據，由斜率相等求解.（2）分和，根據，由直線的斜率之積為-1求解.【小問1詳解】由直線的斜率存在，且為，則直線的斜率也存在，且為，因為，所以，解得或2，①當時，由此時直線，重合，②當時，，此時直線，平行，綜上：若，則實數(shù)m的值為2【小問2詳解】①當時，直線斜率為0，此時若必有，不可能.②當時，若必有，解得，由上知若，則實數(shù)m的值為或21、（1）；（2）.【解析】（1）由題設條件，結合等差數(shù)列通項公式求基本量d，進而寫出通項公式.（2）由（1）得，應用累加法、錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求的通項公式.【小問1詳解】令公差為d，由得：，解得.