2021年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明 學(xué)案新人教A版選修1-2

2.1合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解合情推理的含義.（易混點(diǎn)）

1.通過學(xué)習(xí)歸納推理和類比推理，培養(yǎng)數(shù)

2.理解歸納推理和類比推理的含義，并能利

學(xué)邏輯推理的素養(yǎng).

用歸納和類比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.（重點(diǎn)、

2.借助合情推理，培養(yǎng)抽象概括的素養(yǎng).

難點(diǎn)）

迷西包生生？自主預(yù)習(xí)。探新知頊旦素養(yǎng)圖史

匚新理眼二

1.歸納推理與類比推理

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出由兩類對(duì)象具有某些類似特征和

該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推其中一類對(duì)象的某些已知特征，

定義

理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，推出另一類對(duì)象也具有這些特征

稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）

歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的

特征類比推理是由特殊到特殊的推理

推理

思考：歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？

［提示I歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然

性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)

正在被斫究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠.

2.合情推理

從具

問

歸納推理體經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想

----------------提出

出

題再進(jìn)行歸納、奧七|猜想|

類比推理發(fā)

m試身

i.魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木

材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频?因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的.該

過程體現(xiàn)了（）

A.歸納推理B.類比推理

C.沒有推理D.以上說法都不對(duì)

B［推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程，上述過程是

推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理.]

2.已知扇形的弧長(zhǎng)為/,半徑為r,類比三角形的面積公式5=”廣，可推知扇形的

面積SB=()

,2/27?-

A.yB.]C.yD.不可類比

C[結(jié)合類比推理可知S產(chǎn)與」

3.如圖所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有

個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為斯，則％=，an=(能>1,N").

O

ooo

oooo0

OoooOOO

oooooOOOOOOOOO

71=2n=3n=4n=5

153”-3[依據(jù)圖形特點(diǎn)，可知第5個(gè)圖形中三南形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此恁=

3X6—3=15.由w=2,3,4,5,6的圖形特點(diǎn)歸納得斯=3〃-3(〃>1,nSN*).]

暴辯網(wǎng)題解惑合作探究。釋疑難至杜木旅受圓…

RBI數(shù)、式中的歸納推理

【例1】(1)觀察下列等式:

產(chǎn)=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此規(guī)律，第"個(gè)等式可為.

Y

(2)已知：>U)=H，設(shè)力(x)=/(x),4x)=/；_(/；Li(x))(〃>l,且”WN*),則力(x)的表達(dá)

式為，猜想力(x)(〃GN*)的表達(dá)式為.

(3)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”0=3,滿足S”=6-2a“+i(〃GN*).

①求。2，43,。4的值；

②猜想知的表達(dá)式.

(1)12—22+32—42+,?,+(—1),,+'n2=(—1)"i"。[?)

VV

=2=

(2.(x)=]_41.fM\—2"iv[(1)11，

l2-22=-(l+2),

l2-22+32=l+2+3,

12-22+32-42=-(1+2+3+4),

12-22+32-42+???+(-l),,+ln2

=(一1嚴(yán)(1+2+…+〃)

=(一1嚴(yán)七?

X

⑵???段)=廠:

?77ia)=e^?

又??/。)=/；1仿-1。))，

x

1-XX

???拉(x)=力(/iW)=-=-j7Z

x

1—2%

方a）=^sa））=

__x_1一4￡

1-2X

\~2x

x

1-4xx

力。）=力仍（九））=

xl—8x'

1-4X

1—4x

x

1—8xx

/5U)=/W))=

.rl-16x,

1-8X

l-8x

x

根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想f?(x)=^~

rvl

(3)解:①因?yàn)?=3,且S.=6-2a”+i(〃WN*),

所以5i=6—2a2=ai=3,解得。2=彳，

3

-

又§2=6—2〃3=。1+〃2=3+,，解得3=4

又§3=6—2。4=。1+。2+。3=3+1+不

3

解得?4=0.

o

4工?-33333

②由①知0=3=即，。2=]=初，。3=^=了,

333

〃4=W=手，",猜想a"=^r(〃GN").

廠.......規(guī)WcT5法..........................

進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律

(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法,①要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中

項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；

②要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；

③提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；

④運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.

(2)數(shù)列中的歸納推理，在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n

項(xiàng)和公式.

①通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前〃項(xiàng)和；

②根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前〃項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；

③運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公式.

I)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)數(shù)歹U5,9,17,33,x,…中的x等于.

(2)已知下列各式：

1>1.

1+2+3+4+5+6+7>2'

1+：+；-!---F太>2,

請(qǐng)你歸納出一般性結(jié)論：.

(1)65(2)l+|+|d----［⑴因?yàn)?+1=5,8+1=9,16+1=17,32+1=33,

猜測(cè)x=64+l=65.

(2)觀察不等式左邊，各項(xiàng)分母從1開始依次增加1,且終止項(xiàng)為2"-1,不等式右邊依

次為3，…，從而歸納得出一般結(jié)論：1+；+"卜,J］〉?」

RM2幾何圖形中的歸納推理

［例2］(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n

個(gè)圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是.

第一個(gè)圖案第二個(gè)圖案

(2)根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為

(l)5n+l(2)509[(1)觀察圖案知，從第一個(gè)圖案起，每個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)

組成首項(xiàng)為6,公差為5的等差數(shù)列，從而第"個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)為6+(〃-1)X5

=5/?+1.

(2)圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29,因?yàn)?=22-3,5=23—3,13=2’-3,29=

25-3,因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29—3=509.]

利用歸納推理解決幾何問題的兩個(gè)策略

(1)通項(xiàng)公式法：數(shù)清所給圖形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)，列成數(shù)列，觀察所得數(shù)列的前幾項(xiàng),

探討其變化規(guī)律，歸納猜想通項(xiàng)公式.

(2)遞推公式法：探究后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，把各圖

形中研究對(duì)象的個(gè)數(shù)看成數(shù)列，列出遞推公式，再求通項(xiàng)公式.

[跟進(jìn)訓(xùn)練J

2.如圖所示，由火柴棒拼成的一列圖形中，第八個(gè)圖形中由八個(gè)正方形組成:

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個(gè)圖形中，火柴棒有根；第〃個(gè)圖形中，火柴棒有

________根.

163〃+1[數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10/3,…，可見后一個(gè)圖形

比前一個(gè)圖形多3根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第5個(gè)圖形中有火柴棒16根，第"個(gè)圖

形中有火柴棒(3〃+1)根.]

類比推理及其應(yīng)用

三角形與四面體有下列相似性質(zhì):

(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成

的最簡(jiǎn)單的封閉圖形.

(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成

的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的

圖形.

通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點(diǎn)：

［探究問題］

1.在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有

什么關(guān)系？

提示：四面體中的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積.

2.三角形的面積等于底邊與高乘積的;，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？

提示：四面體的體積等于底面積與高的乘積的;.

【例3】(1)在等差數(shù)列｛斯｝中，對(duì)任意的正整數(shù)〃，有"'+'"+；；?；+—=如?類

比這一性質(zhì)，在正項(xiàng)等比數(shù)列｛兒｝中，有.

(2)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊ABA.AC,。是4點(diǎn)在8c上的射影，

則A82=BZ>BC.拓展到空間，在四面體A—BCD中，D4_L平面ABC,點(diǎn)。是A在平面BCD

內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，寫出△ABC、△BOC、△8OC三者面積之間的關(guān)系，

并給予必要證明.

思路探究：(1)類比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

(2)將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AO與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)

面ABC的面積，將此直角邊A8在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到AABC在底面的射影

△08C及底面△BCD的面積可得%ABC=S&OBCSdDBC.

［解］⑴由〃］+42H------卜—類比成也?歷也???aT,除以2〃一1,即商類比成開2〃一

2>7—1____________________

=

1次方，即在正項(xiàng)等比數(shù)列｛/?〃｝中，有^bvbybyb2n-\bn.

(2)AABC.△BOC、ABDC三者面積之間關(guān)系為SiABc=

S^OBC-SADBC.

證明如下：如圖，設(shè)直線0Q與3c相交于點(diǎn)E,

???AO_L平面ABE,

：.AD±AEfADLBC,

又?.?AO_L平面BCD,

：.AO.LDE,AO.LBC.

u

\ADQAO=Af

，8。_1平面4。，

J.BC1AE,BCA.DE.

SAABC=]BC,AE,

SA80C=］BCOE,SABCD=：BCDE.

在Rt/^ADE中，由射影定理知AE2=OE-DE,：.8ABC=S&BOCSABCD.

［母題探究］

1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為"a=/>?cosC+c-cosB,其中a,b,c

分別為角A,B,C的對(duì)邊”.類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想.

［解］如圖所示，在四面體P-ABC中，S,S2,S3,S分別表示p

△PBC,△PCA,AMC的面積，a,￡,y依次表示平面PAB,平面PBC,

平面PCA與底面A8C所成二面角的大小.

B

我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為s=

Si-cos?+S2-cos/i+Sycosy.

2.(變條件)把本例(2)條件換為“在RtZVIBC中，ABLAC,ADL8C于點(diǎn)。，有方=

志+志成立”.那么在四面體A—BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說

明猜想是否正確及理由.

［解］猜想：類比ABA.AC,ADLBC,可以猜想四面體A-BCD

IlliA

中，AB,AC,A。兩兩垂直，AEJ_平面8CD則定=病+苑+彷.

下面證明上述猜想成立B\?

如圖所示，連接8E,并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E連接AE

C

VAB1AC,AB1AD,ACnAD=Af

???A8_L平面ACD

而AFU平面ACD,:.AB±AF.

在RtZXAB/中，AE1BF,

?_L_L._L

^AE2~=AB2^~AF2-

在RtZ\AC。中，AFLCD,

"'AF2~AC2^AD2-

‘探=志+力+力，故猜想正確，

廠........規(guī)律c方法..........................

類比推理的一般步驟

.)

課受知識(shí)港?實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙底盲虔擔(dān)峻

匚逢備素養(yǎng)三］

1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.

2.合情推理的過程概括為：

從具體問題出發(fā)一觀察、分析、比較、聯(lián)想一

歸納、類比一提出猜想

匚學(xué)以致用」

1.判斷正誤

(1)利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的.()

(2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用.()

(3)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理.()

|答案I(1)X⑵X(3)7

2.把3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示,則第六個(gè)三角形數(shù)是()

△

361015

A.27B.28

C.29D.30

B「第一個(gè)三角形數(shù)是1+2=3,

第二個(gè)三角形數(shù)是1+2+3=6,

第三個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4=10.

因此，歸納推理得第〃個(gè)三角形點(diǎn)數(shù)是1+2+3+4+…+〃+1=。*中+2）（個(gè)）.由

此可以得出第六個(gè)三角形點(diǎn)數(shù)是28.］

3.等差數(shù)列｛斯｝中有2斯=斯T+斯+】（〃》2,且“GN"）,類比以上結(jié)論，在等比數(shù)列｛與｝

中類似的結(jié)論是.

忌="?兒+i（"22,旦"GN*）［類比等差數(shù)列，可以類比出結(jié)論成=仇-仍“+1（〃》2,

且"6N*）］

4.在RtZXABC中，若NC=90。，則COS24+COS2B=1,在空間中，給出四面體性質(zhì)的

猜想.

［解］如圖，在RlZXABC中，

于是把結(jié)論類比到四面體「一A'B'C'中，我們猜想，三棱錐「一A'8'C'中，若三個(gè)側(cè)面

PA'B',PB'C,PC4兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為a,尸，人則cos2?+cos2/?+cos2y

=1.

2.1.2演繹推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解演繹推理的含義.（重點(diǎn)）1.通過學(xué)習(xí)演繹推理，提升邏輯推理的

2.掌握演繹推理的模式，會(huì)利用三段論進(jìn)行素養(yǎng).

簡(jiǎn)單的推理.（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）2.借助三段論，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前自主學(xué)習(xí)自主預(yù)習(xí)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

「7新知初探m

1.演繹推理

（1）含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演

繹推理.

（2）特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理.

2.三段論

一般模式常用格式

大前提已知的一般原理M是P

小前提所研究的特殊情況S是M

結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷S是P

思考：如何「分清大前提、小前提和結(jié)論？

[提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情

況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷，這與平時(shí)我們解答問題中的思考是一樣的，

即先指出一般情況，從中取出一個(gè)特例，特例也具有一般意義.例如，平行四邊形對(duì)角線互

相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對(duì)角線互相平分，這是特例具

有一般意義.

E初試身親「

1.“四邊形ABC。是矩形，所以四邊形A8C。的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提

是()

A.正方形的對(duì)角線相等

B.矩形的對(duì)角線相等

C.等腰梯形的對(duì)角線相等

D.矩形的對(duì)邊平行且相等

B[得出“四邊形ABC。的對(duì)角線相等”的大前提是“矩形的對(duì)角線相等”.]

2.三段論：

“①小宏在2018年的高考中考入了重點(diǎn)本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正

常發(fā)揮就能考入重點(diǎn)本科院校；③小宏在2018年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是

(填序號(hào)).

③[在這個(gè)推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論.]

3.下列幾種推理過程是演繹推理的是.

①兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，如果NA和是兩條平行直線的內(nèi)

錯(cuò)角，則NA=/8；②金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電；③由圓

的性質(zhì)推測(cè)球的性質(zhì)；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.

①[①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理.]

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科索養(yǎng)形成

印《1把演繹推理寫成三段論的形式

【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式.

(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分;

(2)等腰三角形的兩底角相等，NA,NB是等腰三角形的底角，則/A=NB；

⑶通項(xiàng)公式為&=2〃+3的數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

I解I(1)大前提：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，小前提：菱形是平行四邊形，

結(jié)論：菱形的對(duì)角線互相平分.

(2)大前提：等腰三角形的兩底角相等，

小前提：ZA,N8是等腰三角形的底角，

結(jié)論：ZA=ZB.

(3)大前提:數(shù)列｛m｝中，如果當(dāng)〃22時(shí)，斯一斯-I為常數(shù)，則｛斯｝為等差數(shù)列，

小前提：通項(xiàng)公式為。”=2〃+3時(shí)，若〃》2,

則如一%-|=2〃+3—[2("-1)+3]=2(常數(shù))，

結(jié)論：通項(xiàng)公式為a,,=2n+3的數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

1........規(guī)法..........................

把演繹推理寫成“三段論”的一般方法

(1)用“三段論”寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個(gè)

一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況

的內(nèi)在聯(lián)系.

(2)在尋找大前提時(shí)，要保證推理的正確性，可以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為

大前提.

I)

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()

A.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：無是無理數(shù)；結(jié)論：兀是無限不循環(huán)

小數(shù)

B.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：兀是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：兀是無

理數(shù)

C.大前提：兀是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：兀是無

理數(shù)

D.大前提：無是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：兀是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無

理數(shù)

B[對(duì)于A,小前提與大前提之間邏輯錯(cuò)誤，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于B,

符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C,大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；

對(duì)于D,大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式.]

用三段論證明幾何問題

【例2】如圖所示，D,E,F分別是BC,CA,AB邊上的點(diǎn)，NBFD=NA,DE//BA,

求證：寫出“三段論”形式的演繹推理.

A

E

|解|（1）同位角相等，兩直線平行，（大前提）

和/A是同位角，且/BF￡>=NA,（小前提）

所以。F〃AE.（結(jié)論）

（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）

DE//BAJLDF//EA,（小前提）

所以四邊形AFZJE為平行四邊形.（結(jié)論）

（3）平行四邊形的對(duì)邊相等，（大前提）

OE和AF為平行四邊形的對(duì)邊，（小前提）

所以O(shè)E=4F.（結(jié)論）

1.......規(guī)法...........

1.用“三段論”證明命題的格式

XX義XXX（大前提）

XXXXXX（小前提）

XXXXXX（結(jié)論）

2.用“三段論”證明命題的步驟

①理清楚證明命題的一般思路；

②找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；

③把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.如圖所示，在空間四邊形A8C。中，E,F分別是A8,的中點(diǎn).求證：EF〃平

面BCD.

［證明］三角形的中位線平行于第三邊，（大前提）

點(diǎn)、E、尸分別是48、的中點(diǎn)，（小前提）

所以EF〃BD.（結(jié)論）

若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線,

則這條直線與此平面平行，（大前提）

平面BCD,BDU平面BCD,EF//BD,（小前提）

EF〃平面BCD（結(jié)論）

用三段論證明代數(shù)問題

I探究問題］

1.數(shù)的大小比較常見方法有哪些？

提示：作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法（單調(diào)性、奇偶性等）、圖象法、中間量法（常取0

或1作為媒介）等.

2.證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性給予說明.

提示：證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)定義及有關(guān)的

知識(shí)原理.如函數(shù)單調(diào)性的證明，常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系給予證明.

【例3】⑴設(shè)x,y,z為正數(shù),且2』=3>'=5=，則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3)<5z<2xD.3y<2x<5z

（2）已知函數(shù)兀t）=^+；言（“>1）,

證明：函數(shù)yu）在（-i,+8）上為增函數(shù).

思路探究：（1）借助于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)互化及不等式大小的比較方法求解；（2）利用

函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解.

(1)D[法一：取對(duì)數(shù)：xln2=yln3=zln5,十牛等卷,-'?2x>3y;

Ain2=zln5,貝畤=^~|<楙，；.2x<5z,

：.3y<2x<5z,故選D.

法二：令2x=3>'=5z=h

則x=log2^,y=log3%,z=log5k

.2x21gklg3恒9而…

,,3<lg2-31gJl-lg8>b12x3y,

2X_21?J_l￡5__k25^.而,不找*□]

5z~lg2,5Igfc-lg32胴2r<5z,故選D.]

(2)解：法一：(定義法)任取xi,%2^(-1,+8),

且X]<X2,

X2,X2~2XIXI-2&xiX2~~2x\-2

=a+^+\~a一而="一十(而一雨

-

Xi,X2-X1_((X|+1)(X22)—(X|-2)(X2+1)

=a(aT)+S+1)(M+1)

即，X2~X\_,3(X2-Xi)

一伍一】)+(及+1)3+1)-

因?yàn)榧耙汇?gt;0,且a>l,

所以尸">i,

而-

所以為+1>0,x2+l>0,

所以於2)一/1)>0,

所以y(x)在(一i,+8)上為增函數(shù).

x-|-1-33

法二：(導(dǎo)數(shù)法次t)=a'+x+］=升+1一市?

3

所以f(x)=a'lna+(r+］/

因?yàn)閤>-l,所以(x+l)2>0,

3

所以兩產(chǎn)。

又因?yàn)椤?gt;1,所以lna>0,0V>0,

所以"Ina>0.所以/(x)>0.

于是得7(x)=a，+*^在(-1,+8)上是增函數(shù).

［母題探究］

1.(變條件)把本例(1)的條件變換如下：

"已知2"=3,2'=6,2。=12”,則a,h,c的關(guān)系是()

A.成等差數(shù)列但不成等比數(shù)列

B.成等差數(shù)列且成等比數(shù)列

C.成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列

D.不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

A［由條件可知a=Iog23,

Z>=log26,C=log212.

因?yàn)閠z+c=log23+log212

=log236=21og26=26,

所以a,b,c成等差數(shù)列.

又因?yàn)?c=log231og212W(log26)2=〃，

所以a,b,c不成等比數(shù)列.故選A」

21—12'—1

2.（變條件）把本例（2）的函數(shù)換成“〉=殲7”，求證：函數(shù)），=汴■是奇函數(shù)，且在

定義域上是增函數(shù).

（2'+1）—22

1X

［證明Iy-2.<+|-2+1,

所以大x）的定義域?yàn)镽

y（—x）+y（x）=

品+等）=2-品+蜀

2(2A+1)

=2-2=0.

2r+l

即人一幻=~/（九），

所以?x）是奇函數(shù).

任取乃，JQWR,且

則人項(xiàng)）一於2）=（1_謂［）_（1一言）

=/_!------!__V9新-2X2

Z_Z,

■-<2X2+12XI+M,（2X2+1）（2XI+1）

由于Xl<%2,從而2XI〈2X2,2XI—2%2<0,

所以於|）勺也），故式X）為增函數(shù).

......規(guī)律（方法......

五類代數(shù)問題中的三段論

（1）函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等.

（2）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有

關(guān)的不等式等.

（3）三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換，證明三角恒等式.

（4）數(shù)列問題：數(shù)列的通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列.

（5）不等式類問題：如不等式恒成立問題，線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題.

I）

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

匚F必備素養(yǎng)二

1.三段論的形式:

大前提：M是P；

小前提：S是M；

結(jié)論：S是P.

2.應(yīng)用三段論證明問題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件（小前提），根據(jù)需要引入

相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)（大前提），并保證每一步的推理都是正確的，嚴(yán)密的，才能得出正

確的結(jié)論.

F以致用K1

1.判斷正誤

（1）“三段論”就是演繹推理.（）

（2）演繹推理的結(jié)論是一定正確的.（）

（3）演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）

（4）演繹推理得到結(jié)論的正確與否與大前提、小前提和推理形式有關(guān).

（）

［答案］（1）X（2）X（3）X（4）J

2.若大前提是：任何實(shí)數(shù)的平方都大于0,小前提是：a&R,結(jié)論是：/>0,那么

這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在（）

A.大前提B.小前提

C.推理過程D.沒有出錯(cuò)

A［要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提、小前提和結(jié)論及推理形

式是否都正確，若這幾個(gè)方面都正確，才能得到這個(gè)演繹推理正確.因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都

大于0,又因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以/>0,其中大前提是：任何實(shí)數(shù)的平方都大于0,它是不

正確的.］

3.函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直線，用三段論表示為：

大前提：.

小前提：.

結(jié)論：.

一次函數(shù)的圖象是一條直線y=2x+5是一次函數(shù)函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直

線［本題忽略了大前提和小前提.大前提為：一次函數(shù)的圖象是一條直線.小前提為：函

數(shù)y=2x+5為一次函數(shù).結(jié)論為：函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直線.］

4.用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90。.

|證明I因?yàn)槿我馊切蝺?nèi)角之和為180。，（大前提）

而直角三角形是三角形，（小前提）

所以直角三角形內(nèi)角之和為180。.（結(jié)論）

設(shè)直角三角形兩個(gè)銳角分別為2月、NB,則有/4+48+90。=180。，因?yàn)榈攘繙p等量

差相等，（大前提）

（Z>1+ZB+90°）-90°=180°-90°,（小前提）

所以ZA+NB=90°.（結(jié)論）

2.2直接證明與間接證明

2.2.1綜合法和分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、

通過學(xué)習(xí)綜合法和分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏

分析法的思維特點(diǎn).（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）

輯推理的素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的素

2.會(huì)用綜合法、分析法解決問題.（重點(diǎn)、

養(yǎng).

難點(diǎn)）

迷的省里登另自主預(yù)習(xí)。探新知理習(xí)一素先感史

二新知初探二

1.綜合法

定義推證過程特點(diǎn)

利川。知條件和某味數(shù)學(xué)定

_I@=QI-a=Q

義、公理、定理等,經(jīng)過一順推證法

系列的推理論證,最后推導(dǎo)一一|。“=。|或由因?qū)?/p>

出所要證明的結(jié)論成立，這（P表示已知條件、已有的定義、公理、果法

種證明方法叫做綜合法定理等,。表示所要證明的結(jié)論）

2.分析法

定義框圖表示特點(diǎn)

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充

逆推證法

分條件,直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明

或執(zhí)果索

顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.這

因法

種證明方法叫做分析法

思考：綜合法與分析法有什么區(qū)別？

［提示］綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч悍治龇ㄊ菑?/p>

待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.

m試身罷f

I.命題”對(duì)于任意角0,cos40—sin40=cos20"的證明：acos40—sin40=（cos20—

sin^Xcos^+sin^^cos2^—sin20=cos20'',其過程應(yīng)用了（）

A.分析法

B.綜合法

C.綜合法、分析法綜合使用

D.間接證法

B[從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思

路.]

2.要證明A>2,若用作差比較法，只要證明.

A-B>0]要證只要證4一B>0.]

2_i_122I>2

3.將下面用分析法證明七一》H的步驟補(bǔ)充完整：要證匕一》外，只需證+

b2^2ab,也就是證,即證,由于顯然成立，因此原不等式成立.

〃2+/?2

a2+b2-2ab^0（a-b）2^0（。一/疔》。[用分析法證明一7—》"的步滕為：

2

要證—^ah成立，只需證cr+b^2abf

也就是證層十從一2。620,

即證（〃一6）22。.由于3一份22。顯然成立，所以原不等式成立.]

疑難問卷解喜合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

"型1綜合法的應(yīng)用

【例1】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinAsin8+sinBsin

C+cos28=1.求證：a,b,c成等差數(shù)列.

［證明］因?yàn)閟inAsin3+sinBsinC+cos2B=1,

所以sin8(sinA+sinC)+(cos2B-1)=0,

即sinB(sinA+sinC)—2sin2B=0,

所以sin8(sinA+sinC_2sin8)=0,

由于在△ABC中，sinBWO,

因此sinA+sinC_2sin8=0,

由正弦定理可得

ac2b

)+示F=o,

于是a+c=2bf

故a,b,c成等差數(shù)列.

規(guī)律c方法

綜合法的解題步驟

I)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S〃,且(3-/n)$+2〃2a〃=m+3(〃eN*),其中m為常數(shù)，

且加W—3.

(1)求證：｛斯｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛斯｝的公比為4=/(膽)，數(shù)列｛與｝滿足"=m，6=，b,i)("eN*,”，2),求

證：局為等差數(shù)列.

［證明］(1)由(3—ni)Sn+2〃2斯=〃2+3,

得(3—ni)Stl+1+2inan+i=/n+3,

兩式相減，得(3+m)an+1=2manf

又加為常數(shù)，???{〃〃}為等比數(shù)列.

⑵:（3—m）Sn+2man=m+3f

/.（3—tn）a\+2tna\=m+39又mW—3,

??a\=\,**?b\=ci\=1,

由（1）,可得4=4團(tuán)）=言不相￡-3）,

oo0A

且“22時(shí)，兒=和"-1）=*:

bnbn-\+3bn=3bn-\,又易知b“W0,

._L__!_=1

"bnbn-\~y

數(shù)列尚是首項(xiàng)為1,公差為:的等差數(shù)列.

鏟型2分析法的應(yīng)用

【例2】設(shè)“，6為實(shí)數(shù)，求證：后話》乎他+辦

|證明I當(dāng)a+bWO時(shí)，"."-\la2+b2^0,

yJa2+b2'等(a+b)成立.

當(dāng)a+b>0時(shí),

用分析法證明如下：要證3a2+從，坐(a+份,

2(a+b)

即證岸+序》/(/+/+2ah),即證a2+h2^2ah.

'Jcr+lr^lab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,

.,.yja2+b2^22(a+b)成立.

綜上所述，不等式得證.

用分析法證明不等式的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等.

(2)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，

其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件或充要條件.

(3)分析法為逆推證明，因此在使用時(shí)要注意邏輯性與規(guī)范性.其格式一般為“要

證……，只要證……，只需證……，……顯然成立，所以……成立”.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知a,〃是正實(shí)數(shù)，求證：令+名之也+也.

[證明]要證金+金》也+或，

只要證a\[a+b\[b^y[ab-(y[a+y[b).

即證(a+Z?-y[ab)(y[a+y[b)2y[ab(y[a+y[b),

因?yàn)?。，。是正?shí)數(shù)，

即證a+b-^y[ab^y[abf

也就是要證a+b^2\[ahf

即(g—也A20.

墳*3綜合法和分析法的綜合應(yīng)用

［探究問題］

1.在實(shí)際解題時(shí)，綜合法與分析法是否可以結(jié)合起來使用？

提示：在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解

題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.

2.你會(huì)用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時(shí)的解題思路嗎？

提示：用框圖表示如下：

Pn=P'

匕=匕uQ尸Qi

Q'=Q

。尸。

其中p表示已知條件、定義、定理、公理等，。表示要證明的結(jié)論.

【例3】已知。、6、c是不全相等的正數(shù)，且04<1.