2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019必修第二冊(cè)）期末測(cè)試

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期

期末測(cè)試01

滿分：100分時(shí)間：60分鐘

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共計(jì)60分。

1.如圖，延長(zhǎng)正方形ABC。的邊CD至點(diǎn)E,使得OE=CQ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針

方向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A,若/=4通+〃而，則下列判斷正確的是（）

B.滿足％+〃=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

3

C.滿足2+〃=3的點(diǎn)P有且只有一個(gè)D.?的的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)

【答案】C

【詳解】

如圖建系，取A5=l,.?,屈=詬+朝=而一通，

AP=AAB+/J.AE=（4_〃）AB+//AD=（2—//）（1,0）+//（0,1）=（2—//,//）,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，

當(dāng)尸eAB時(shí)，有—且〃=0,/.0<2+//<1,

當(dāng)PeBC時(shí)，有九一〃=1且則九=〃+1,...1W/IV2,...1<彳+〃<3,

當(dāng)PwCD時(shí)，有0W4一〃VI且〃=1,則〃.?JW4W2,???2?/1+〃43,

當(dāng)PeAD時(shí)，有九一〃=0且OW"K1,則4=〃，.?.0</1式1,.*.0<2+//<2,

綜上，0</1+〃<3,

選項(xiàng)A,取義=〃=1,滿足4+〃=2,此時(shí)Q=通+通=而，因此點(diǎn)尸不一定是5c的中點(diǎn)，故A

錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,當(dāng)點(diǎn)P取5點(diǎn)或AD的中點(diǎn)時(shí)，均滿足九+4=1,此時(shí)點(diǎn)尸不唯一，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)P取。點(diǎn)時(shí)，幾一〃=1且〃=1,解得a=2,X+〃為3,故C正確；

3

選項(xiàng)D,當(dāng)點(diǎn)尸取8C的中點(diǎn)或。E的中點(diǎn)時(shí)，均滿足九+〃=5，此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故D錯(cuò)誤：

故選：C.

2.在AABC中，B=-,C=—,AC=2y/6,AC的中點(diǎn)為。，若長(zhǎng)度為3的線段PQ（P在。的左側(cè)）

412

在直線BC上移動(dòng)，則AP+OQ的最小值為

人V30+2V100V3O+3VW

22

C而+4質(zhì)D病+5屈

?2'T~

【答案】B

【詳解】

2瓜_BC_AB

由正弦定理可得二方=正=五+C,BC=6,AB=3C+瓜

TT-4-

以BC所在直線為x軸，則A（0,3+百），P（a,0）,Q（a+3,0）,D（^^m,*g）

則AP+OQ表示x軸上的點(diǎn)p與A和（一苦叵,史老）的距離和,

.￡ITH-7J-.￡4.IJ.z3+s/33+5/3.v工j“匕工L/3+^33+

利用對(duì)稱性，（一"一--一--）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E（------,-----一）,

病+39

可得AP+DQ的最小值為AE=

2

3.已知三棱錐S—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，且S4_LAC,54_143,若已知45=2,BC=4,

ZABC=60°,S4=6,則球。的體積是（）

【答案】c

【詳解】

由AB=2,5C=4,ZABC=60°,則由余弦定理有:

|AC|2HA5|2+|5C|2-2\AB\\BC\cosZABC^U,即|AC|=26,

由正弦定理知△ABC的外接圓半徑：r=-=2,

sin60°

由題意知：SAJ?面ABC,又S4=6,三棱錐5—ABC的外接球半徑:

由球的體積公式，有：丫=±乃尺3=當(dāng)叵

33

故選：C

4.己知數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<x<5)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之

積大于5的概率為

2137

A.-B.-C.-D.—

52510

【答案】B

【詳解】

分析：由題意首先求得實(shí)數(shù)x的值，然后列出所有可能的結(jié)果，從中挑選滿足題意的結(jié)果結(jié)合古典概型計(jì)

算公式即可求得最終結(jié)果.

1+2+3+4+無(wú)x

詳解：由數(shù)據(jù)1,2,3,4,x(0<￥<5)的平均數(shù)----------------=2+—G(2,3),

x5

可得2+—=x,所以戶一，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè),結(jié)果有:

(1,2),1,1,(1,3),(1,4),

1'2),(2,3),(2,4),

糾，(3,4)

共10種，這2個(gè)數(shù)字之積大于5的結(jié)果有:

(2,3),(2,4),e,3),(|,4),(3,4),共5種，

所以所求概.率為/?=—=—.

102

本題選擇8選項(xiàng).

5.若-^上為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

3+2/

32八23

A.--B.--C.一D.-

2332

【答案】C

【詳解】

=a-i(o—z)(3—2z)(3a—2)—(2a+3)i

由題得

3+2z(3+2z)(3-2z)13

因?yàn)?-為純虛數(shù),

3+2/

3a—2=02

則＜,所以a=一

-(2a+3)w03

故選：C

z.

6.在如圖所示的復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4Z3對(duì)應(yīng)的向量分別是Q4，0B-0C，則復(fù)數(shù)7；一工一對(duì)應(yīng)

Zz,+

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

分析：由圖形得到復(fù)數(shù)4，z2,Z3,然后進(jìn)行四則運(yùn)算，即可求出此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

z,l-2i11.

詳解：由題圖知4=3+2i,z=-2+2i,Z3=l-2i,則^-------=~---T-yz1,

224+3z21ch510

所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一!，一A），在第三象限.

故選C

7.在復(fù)平面內(nèi)，一個(gè)正方形OACB的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是l+2i,-2+i,0,那么這個(gè)

正方形的頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.3+iB.3-iC.l-3iD.-l+3i

【答案】D

【詳解】

：OC=OA+OB，

：.oc對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為:l+2i-2+i=-l+3i,

.?.點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-l+3i.

故選D.

8.在斜三棱柱ABC—4gG中，ZACB=90SABt±BC,則用在底面ABC上的射影“必在（)

C

A.直線AC上B.直線8c上C.直線AB上D.AABC內(nèi)部

【答案】A

【詳解】

連接4耳,VZACB=90°...BCLAC,

BC±ABX,ABtQAC=A,A^,ACu平面A與C,

.?.8C_L平面AB。,

?.?BCu平面ABC,所以，平面ABC,平面AB。，

過(guò)點(diǎn)B］在平面AgC內(nèi)作B.E1直線AC,垂足為點(diǎn)E,

?.?平面A3C_L平面AB。，平面A8CD平面A8|C=AC,5,￡1AC,&Eu平面AB',

所以，81E_L平面ABC,則點(diǎn)E即為點(diǎn)H,因此，點(diǎn)“在直線AC上.

故選：A.

9.已知平面圖形PASCO,A88為矩形，AB=4,是以尸為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，如圖所示，將

△Q4D沿著AO翻折至△PA￡＞，當(dāng)四棱錐P-A5co體積的最大值為華，此時(shí)四棱錐戶一A6CD外

接球的表面積為（)

A.12萬(wàn)B.16萬(wàn)C.24"D.32萬(wàn)

【答案】C

【詳解】

取AD的中點(diǎn)E,連接PE,由于△「'"＞是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則PE_LAD,

設(shè)AD=x,則P'E=—AD=—x,

22

設(shè)二面角P—A。一3的平面角為6,則四棱錐P—ABCD的高為〃='xsine,

2

當(dāng)。二90。時(shí)，然”=耳不，

矩形ABC。的面積為S=AZ）=4x,Vy-ABCD=—ShW—x4xx—x=—x2,=—,解得無(wú)=2\^.

33233

將四棱錐尸'一ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體P'AMD-QBNC,

所以，四棱錐P-ABCD的外接球直徑為22?=P'N=y/p'A1+P'D1+P'Q2=yjAD2+AB2=276,則

R=底,

因此，四棱錐P-A3co的外接球的表面積為4萬(wàn)尺2=24萬(wàn).

故選：C.

10.在下面四個(gè)正方體ABCD—AB'C'。'中，點(diǎn)、M、N、P均為所在棱的中點(diǎn)，過(guò)M、N、P作正方

體截面，則下列圖形中，平面M/VP不與直線AC垂直的是（）

A.

C.D.

【答案】A

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，連接B'C,假設(shè)ACJ_平面MNP,

在正方體A3CQ—A'3'CZ)'中，A'B'工平面BB'C'C,8'Cu平面BB'C'C,二AB'，B'C,所以,

VA'3'C為直角三角形，且NA'CB'為銳角,

因?yàn)镸、N分別為88'、BC的中點(diǎn)，K'lMNUB'C,所以，MN與AC不垂直，

這與A'C_L平面矛盾，故假設(shè)不成立，即A'C與平面MNP不垂直：

對(duì)于B選項(xiàng)，連接87)'、AC',如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅蜛'B'C'D'為正方形，則A'C'±B'D',

CC平面A'B'C'D',B'D'u平面A'B'C'D',:.CC1,B'D',

AC'ACC'=C,3'。'_L平面ACC',

?.?ACu平面A'CC',.?.ACJ_8。,

?.?M、P分別為A3'、AD的中點(diǎn)，則MN〃B'D',可得MP_LAC,

同理可證ACJ_MN,

?：MPcMN=M,：.A'C上平面MNP：

對(duì)于C選項(xiàng)，連接C'。、A'N、CN、A'P.PC,取A'B'的中點(diǎn)E,連接C'E、PE,

因?yàn)樗倪呅蜟CUD為正方形，則C。'，CD,

?.AD'J_平面CCD。，C'Du平面CCD'D,C'D上A'D',

.?.Cr)_L平面AC。'，

?.?4。＜=平面4'8',，4。，。7),

?.?M、N分別為DU、C'D的中點(diǎn)、，：.MN//CD,：.A:C1MN,

在正方形A3'C'。'中，E、N分別為A'3'、C'?！闹悬c(diǎn)，.?.A'￡；〃C'N且AE=C'N,

所以，四邊形A'EC'N為平行四邊形，所以，AN〃C'E且AN=C'E,

同理可證四邊形CC'EP為平行四邊形，CE//CP且CE=CP,

所以，代NHCP且代N=CP,所以，四邊形APCN為平行四邊形,

易得A'N=CN,所以，四邊形APC7V為菱形，所以，AC1PN,

?，MNCPN=N,：.A'C上平面MNP；

對(duì)于D選項(xiàng)，連接AC、BD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCO為正方形，則

?.A4'd_平面ABC。，BDu平面ABC。，A4_LBO,

?.?ACcA4'=A,平面A4'C,

ACu平面A4'C,ACBO.

、N分別為CD、8C的中點(diǎn)，則MN//BD,:.A'C工MN,同理可證AC_LMP.

?;MNcMP=M,:.AC上平面MNP.

故選：A.

11.某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分布情況，從該年級(jí)的1120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名

學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，發(fā)現(xiàn)都在[80,15()]內(nèi)現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績(jī)按照[80,90),[90,1(X)),[100,110),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正

確的是()

A.頻率分布直方圖中a的值為0.04()

B.樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3

C.總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為123.3分

D.總體分布在［90,1（X））的頻數(shù)一定與總體分布在［1（X）,110）的頻數(shù)相等

【答案】C

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

（O.（X）5+0.010+（）.010+0.015+。+0.025+O.（X）5）xl0=l,

解得a=0.030,故A錯(cuò)誤;

樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為：1-（0.025+0.005）*10=0.7,故8錯(cuò)誤；

［80,120）的頻率為：（0.005+0.010+0.01（）+0.015）x10=0.4,

［120,130）的頻率為：（）.030x10=0.3,

05-04

二總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為：120+————xl0al23.3分，故C正確：

0.3

樣本分布在［90,1（X））的頻數(shù)一定與樣本分布在［100,110）的頻數(shù)相等，

總體分布在［90,1（X））的頻數(shù)不一定與總體分布在［1（X）,110）的頻數(shù)相等，故力錯(cuò)誤.

故選：C.

12.連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為，"，〃，記。=加+”,則下列說(shuō)法正確的是

A.事件>=12”的概率為工B.事件是奇數(shù)”與“加=〃”互為對(duì)立事件

21

C.事件）=2"與3”互為互斥事件D.事件）>8且m<32”的概率為L(zhǎng)

4

【答案】D

【詳解】

對(duì)于A,f=12=6+6,則概率為選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6636

對(duì)于B,"f是奇數(shù)”即向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與偶數(shù)之和,其對(duì)立事件為都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,事件=2”包含在“f。3”中,不為互斥事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D,事件”f>8且加n<32"的點(diǎn)數(shù)有:（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共9

91

種，故概率為----=一，選項(xiàng)正確；

6x64

綜上可得，選D.

第n卷（非選擇題共40分）

二、填空題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)16分。

13.在△ABC中，有以下四個(gè)說(shuō)法：

①若AABC為銳角三角形，則sinA<cosB；

②若A>3，貝!lcos2A<cos23；

③存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得最大角是最小角的兩倍；

④存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得最大角是最小角的三倍；

其中正確的說(shuō)法有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填在橫線上）.

【答案】②③

【詳解】

對(duì)于①：AABC為銳角三南形，則A+B>工，即巴>A>三一8>0,又丫=4"在上單調(diào)遞增，所

222

以sinA>sincosB,故①不正確;

對(duì)于②：若A>8,又，A+B<〃，所以0<3<4<萬(wàn)一8<乃，又丁=以冶］在（0,4）內(nèi)單調(diào)遞減,

所以一cos3=cos（乃一3）vcosAvcos8,所以|cosA|<|cos3|,所以cos?A〈cos?3,

即2cos2A-lv2cos25一i,所以cos2A<cos28,故②正確；

對(duì)于③：設(shè)三邊長(zhǎng)為〃一1,〃,〃+1,〃為大于1的正整數(shù)，對(duì)角分別為4、B、C,若C=24,從而

cosC=cos2A=2cos2A—1,

+(n-l)2-(n+l)2_n-4rr+(n+l)--(n-1)2〃+4

而cosC=,cosA-,所以

2(-1)2(〃+l)

源［器jT，解得〃=5（-可舍去），

所以存在三邊為連續(xù)自然數(shù)4,5,6的三角形，使得最大角是最小角的兩倍，故③正確;

一不“一…,〃+1csinCsin3A_一24

對(duì)于④：若。=3A,由正弦定理何----=—=-=—；----=3-4sin~A,

n-\asinAsinA

nhsinBsin("一A-3A)sin4A,/8.2「不,％

——=—=------=——---------------=--------=4cosA(1-2sin~A),由此兩式洎去sin2A仔4cosAA=〃,

-1asinAsinAsinA'7

2

,A..n+(/?+l)'-(n-1)'n+4,..,

又由余弦定理得4cosA=4x--------------------------=4x=n,n2—n—8=0,而該方程無(wú)正整

2〃.("+1)2(〃+1)

數(shù)解，所以這樣的三角形不存在，故④不正確；

故答案為：②③.

14.如圖，已知在正方體ABCD—AMG。中，A5=4,點(diǎn)E為棱CC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面BE"與棱

交于點(diǎn)F，給出下列命題：

①無(wú)論E在CG如何移動(dòng)，四棱錐耳-BEQE的體積恒為定值；

②截面四邊形BEQR的周長(zhǎng)的最小值是86；

③當(dāng)E點(diǎn)不與C,G重合時(shí)，在棱A。上恒存在點(diǎn)G,使得CG〃平面6ER；

④存在點(diǎn)E，使得耳。，平面ARE；其中正確的命題是

【答案】①@④

【詳解】

解:①由題意可得〃BE,BF〃D、E,如圖建立坐標(biāo)系:

7

AF=CtE,四邊形"EB/為平行四邊形

…°0EB-°AD\FB

…VB「BEDF=2VB「BEDI

又???丹iW=沁泗?4（4為E到平面ABBl距離）且CG〃BB,

.-.cc,上點(diǎn)到平面。乃與距離相等

???無(wú)論E在CG上何處，4不變

**-VB「BEDI不變

*,*1-SERF不變

故①正確

②由①知：四邊形2上3廠的周長(zhǎng)=2（|2同十|七同）

設(shè)|。閩=加，則0閩=，42+/,|￡B|=^42+（4-/n）2

等價(jià)于y=4上點(diǎn)（m,4）到（0,0）與（4,0）距離

此時(shí)m=2

\DtE\=2y[5

二周長(zhǎng)最小為4x2j5=8石

故②正確

③在D[F上尋找一點(diǎn)H,使H到AD的距離為CE距離

：.HE//CG,且HE在平面已防中

但當(dāng)CE<2時(shí)，GE=AF>2,HG=CE<2與HG>AF>2矛盾

故③錯(cuò)誤；

A

④當(dāng)E與C重合時(shí)，顯然4OADt,BQ八AC

BQJ.平面ARE

故④正確

綜上可得:正確為①②④.

故答案為:①②④.

15.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5

天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)：（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）

①甲地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24：

③丙地5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有.

【答案】①?

【詳解】

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,根據(jù)數(shù)據(jù)得出：甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能

為：22、22、24、25、26,其連續(xù)5天的日平均氣溫均不低于22;

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24,當(dāng)5個(gè)數(shù)據(jù)為19、20、27、27、27,可知其連續(xù)5

天的日平均溫度有低于22,故不確定；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,若有低于22,假設(shè)取21,此時(shí)方差就超出了1（）.8,

可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22,如22、25、25、26、32,這組數(shù)據(jù)的平均值為26,方差

為10.8,但是進(jìn)一步擴(kuò)大方差就會(huì)超過(guò)10.8,故③對(duì).

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，故答案為①@.

16.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)

取出一球放入乙罐，分別以和43表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)

取出一球，以5表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（寫(xiě)出所有正確結(jié)論

的編號(hào)）.

2

①P（8）=w；

②P（B|A）=（；

③事件B與事件A相互獨(dú)立；

④4,A2,4是兩兩互斥的事件；

⑤P（B）的值不能確定，因?yàn)樗c4,4,4中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)

【答案】②?

【詳解】

由題意可知事件A,，&，43不可能同時(shí)發(fā)生，則4，42，43是兩兩互斥的事件，則④正確;

544

由題意得P（BIA）=2P（BI4）=H，P（BIA）=H，故②正確;

P（5）=P（A8）+P（4B）+P（A8）=P（A）P（5|4）+P（d）尸（8I4）+P（4）P（5IA）

5524349

一X--1---X---1---X——，①⑤錯(cuò);

10111011101122

5599

因?yàn)镻（AB）=—，P（A）P（B）=—x——=——,所以事件B與事件Ai不獨(dú)立，③錯(cuò)；綜上選②④

22102244

故答案為：②④

三、解答題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)24分。

17.己知復(fù)數(shù)z=l+,位（i是虛數(shù)單位，msR）,且J（3+i）為純虛數(shù)（三是z的共軌復(fù)數(shù)）.

（1）設(shè)復(fù)數(shù)馬=吧2,求㈤；

[—1

2m

（2）設(shè)復(fù)數(shù)Z2=aU-i—,且復(fù)數(shù)Z?所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

Z

【答案】（1）|4|=返；（2）a>-

11123

【詳解】

z=l+mi,:.z=1-mi■z-(3+z)=(1-mi)(3+z)=(3+/n)+(1—3m)i.

-3+m=0

又：z<3+i)為純虛數(shù)，.，解得，"=-3..>.2=1-3/.

l-3/n^0

—3+2z51...?V26

2,=—~i,??Iz,I=-----

a—i(a+3)+(3a—l)z

(2)Vz=l-3z,

7^3/-io-

又,/復(fù)數(shù)z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

a+3>01

,解得:a>-.

3?-1>03

18.如圖，棱柱48CO-A與GQ中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱A&J?底面過(guò)AB的截

面與上底面交于PQ,且點(diǎn)尸在棱AA上，點(diǎn)。在棱G片上，且A5=l，AC=6,BC=2.

⑴求證:PQ//AR；

（2）若二面角A-G。-。的平面角的余弦值為2叵，求側(cè)棱的長(zhǎng).

19

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.

【詳解】

（1）在棱柱ABCD-A&GQ中，ABH面4片GA,ABi面ABPQ,

面n面ABPQ=PQ,由線面平行的性質(zhì)定理有AB//PQ,

又AB〃A4,故尸。〃AB/

（2）證明：在底面ABC￡>中，AB=\,AC=6BC=2.

AB2+AC2=BC2,：.AB±AC,AC1CD

又因?yàn)閭?cè)棱AA1底面ABCD,則CC11底面ABCD

ACu而ABBlAl,CC,_LAC

又canco=c,，AC_L面cr>RG

過(guò)點(diǎn)C作CS_LG。于s,連接A5,則NCSA是二面角A—G?！?。的平面角.

cosNCSA=,cos2NCSA+sin2NCSA=1,

19

則sinNCSA=理，故tanNCSA=叵,

V192

tan/CSA=^=^=回：.cs2

2CSCS6

設(shè)CG=x,則￡ccQ=g.GOCS=gc￡)CG

_____x2

???ECS=X'3討=忑

故CCj=2,故BB[=2.

19.已知AAOB中，邊。A=0,OB=y/3,令麗=%礪=5,萬(wàn)?5=1,過(guò)AB邊上一點(diǎn)＜（異于端點(diǎn)）

引邊。B的垂線60,垂足為Q,再由。引邊。4的垂線。內(nèi)，垂足為凡，又由R1引邊A8的垂線R冏，垂足

為，設(shè)礪=4巧—￡）（0＜：＜1）.

UL11

⑴求|A例；

----2-

（2）證明：BQt=--（l-0Z?；

（3）當(dāng)4、鳥(niǎo)重合時(shí)，求A《Q因的面積.

【答案】（1）百：（2）證明見(jiàn)解析；（3）正.

32

【詳解】

（1）在AaiB中，因?yàn)?4=血,08=百，且礪=￡,礪=6,

可得忖=0,W=G,ab=1,

則府卜忸-4第2+同。2￡石=3,所以|祠=6.

（2）由（1）與已知，可得|AQ=6,|。4=\/5,|0q=J3,

阿2+西2一0Al_3+3-2_2

由余弦定理可得cosNAB。=

2網(wǎng)通-2XV3XV3-3

又因?yàn)閨麗|=4B_q=氐,則?甌|=|荏|一|福|=6-GA,

―?2一

則|BQ|=|B^|COSZABO=_4),所以BQ、.

ab11

（3）由已知可得cosN3OA=

忖卡|V6'

因?yàn)閨O@=|A3]=J^,所以cosN8AO=,

NBOA=百一地(1—fJ

|網(wǎng)=函］儂/804（國(guó)-阿cosX表嗑。+2/J，

因?yàn)閨砧|=I砥IcosZBAO=(|礪H靖。cosZBAO

［及一擊（1+2切*=加5一2%）,

A用I115

所以q=p~~q-=——(5—2/j)=—4H—,

2\b--a^\18'9118，

當(dāng)％￡重合時(shí)，4=/2,解得6=—<4+得，解得6=；,

——?1_

此時(shí)BQ}———Z?,

73■當(dāng)M=網(wǎng)|=乎，國(guó)4|=3乎72