新人教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.1圓導(dǎo)學(xué)案

新人教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.1圓導(dǎo)學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、圓的有關(guān)概念（弦、弧、圓心角、圓周角）

2、圓的有關(guān)性質(zhì)（旋轉(zhuǎn)不變性、軸對稱性）

3、圓的重要定理（圓周角定理、垂徑定理）

【重點難點】

1、圓的有關(guān)概念（弦、弧、圓心角、圓周角）

2、圓的有關(guān)性質(zhì)（旋轉(zhuǎn)不變性、軸對稱性）

3、圓的重要定理（圓周角定理、垂徑定理）

知識概覽圖

弦：連接圓上任意兩點的線段

?。簣A上任意兩點之間的部分

圓的有關(guān)概念圓心角：頂點在圓心的角

圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角

圓旋轉(zhuǎn)不變性：繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都與自身重合

圓的有關(guān)性質(zhì)’

軸對稱性：對稱軸有無數(shù)條，是直徑所在的直線

圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的

一半

圓的重要定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧

新課導(dǎo)引

2012年7月27日第三十屆奧林匹克運動會將在倫敦隆重開幕，世界各國人民都將

目光聚焦在倫敦，下面是幾個參加奧運會的國家的國旗，你能觀察出它們有什么共同的

特征嗎?

【問題探究】這幾面國旗的共同特征不能僅從一個角度去考慮，角度不同，得到的

答案也不同，但從幾何圖形這一角度考慮，易于得出結(jié)論.

【解析】這幾面國旗的共同特征中，最明顯的是都有圓形圖案.

教材精華

知識點1圓的有關(guān)概念

圓：如圖24—1所示，在一個平面內(nèi),線段。4繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一

個端點8所形成的圖形叫做圓，固定的端點a叫做圓心，線段2a叫做半徑.

以點。為圓心的圓，記作“。。"，讀作“圓?！?一

拓展(匕!〃

(1)圓上各點到圓心的距離都等于半徑.

(2)到圓心的距離等于半徑的點都在圓上.圖247

(3)圓可以看做是到定點的距離等于定長的點的集合.

(4)圓是一條封閉的曲線，是指圓周而不是指圓面，圓由圓心確定位置，由半徑確

定大小.

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做

直徑.如圖24—2所示,線段AB,AC,BC都是。。的弦，且線段AB是。。的直

徑.

拓展/)、

(1)弦是一條線段，它的兩個端點都在圓上.(o/

(2)直徑是弦，但弦不一定是直徑，直徑是圓中最長的弦.VJ//

?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.圖2/2

以A,8為端點的弧記作AB,讀作“圓弧AB”或“弧A8”.圓的任意一條直徑的兩個

端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.一

B

如圖24—3所示，像AB,BC,這樣小于半圓的圓弧叫做劣弧,A像

BAC這樣大于半圓的圓弧叫做優(yōu)弧，一般用弧的兩個端點及弧

任一點（放在中間）表示，有時在優(yōu)弧的中間標(biāo)一個小寫字母加，記

圖24-3

為優(yōu)弧BmC.

等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.

等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.實質(zhì)上,等弧是全等的，不僅弧

長相等，形狀大小也一樣.

知識點2圓的對稱性

圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

在。。中，將圓周繞圓心。旋轉(zhuǎn)180。，能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它

的對稱中心是圓心。.將圓周繞圓心。旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與自身重合.

經(jīng)過圓心。畫任意一條直線，并沿此直線將0。對折，直線兩旁的部分能夠完全重

合，所以圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，因為圓有無數(shù)條直

徑，所以圓有無數(shù)條對稱軸.

拓展因為圓是軸對稱圖形，所以在圓內(nèi)任意作一條直徑就可以把圓2等分，作

兩條互相垂直的直徑就可以把圓4等分,再作兩條互相垂直的直徑的兩組對角的平分線,

可以把圓8等分，進而進行16

等分、32等fo\（L.\分……如圖24—4

4等分

圖24-4

知識點3垂直于弦的直徑（垂徑）定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

拓展(1)由垂徑定理可以得到以下結(jié)論：

①若直徑垂直于弦，則直徑平分弦及其所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧.

③垂直且平分一條弦的線段是直徑.

④連接弦所對的兩弧的中點的線段是直徑.

(2)利用垂徑定理及其推論可以證明平分弧，平分弦，證垂直，證一條線段是直徑.

(3)利用垂徑定理的推論，可以確定圓心的位置：在圓中找出兩條不平行的弦，分別

作

兩弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即是圓心.

(4)由于垂直于弦的直徑平分弦，所以可以在圓中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列

方程求弦長(或半徑).

知識點4圓心角

圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)

的其余各組量也相等.

在同圓或等圓中：

(1)如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦相等，

(2)如果弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等，

(3)如果弦相等，那么它們所對的圓心角相等，圓心角所對的弧相等.

拓展(1)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系的結(jié)論必須是在同圓或等圓中才能成立.

(2)利用同圓(或等圓)中圓心角、弦、弧之間的關(guān)系可以證明角、弦或弧相等.

知識點5圓周角

圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

1、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一

爰

2、半圓(直徑)所對的圓周是直角；90°的圓周角所對的弦是圓的直徑.

拓展此性質(zhì)介紹了一種常見的引輔助線的方法：有直徑，通常構(gòu)造直徑所對的圓

周角；反過來，有90。的圓周角，通常構(gòu)造直徑.

3、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧相等.

拓展“同弧或等弧所對的圓周角相等”常用來證明兩角相等或進行角的轉(zhuǎn)換，將一

個圓周角轉(zhuǎn)換為同弧所對的其他圓周角，從而達到解題的目的.

知識點6圓內(nèi)接多邊形

(1)如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，

這個圓叫做這個多邊形的外接圓.

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

探究交流

1、下列說法正確嗎?為什么？

①直徑是弦，弦也是直徑.

②半圓是弧，弧也是半圓.

③兩條等弧的長度相等，長度相等的弧是等弧.

解析①②③都不正確.直徑是過圓心的弦，但弦不一定是直徑，半圓是一條特殊的弧,

但弧不一定是半圓，等弧是指在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，它們的長度相等，

形狀大小一樣，但長度相等的弧，只確定了長度相等，形狀表必相同，所以不一定是等

弧.

2,下列說法正確嗎?為什么？

①過弦的中點的直線平分弦所對的兩條??；

②弦的垂線平分它所對的兩條弧；

③過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條??；

④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.

解析①②③都不對，過弦的中點且垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.①中缺少垂

直于弦的條件；②中缺少平分弦的條件；③中“過弦的中點”中的弦一定要強調(diào)“不是

直徑”，否則不對.只有④正確.

課堂檢測

基本概念題

1、下列命題正確的有（）

①頂點在圓周上的角為圓周角；②頂點在圓心的角為圓心角；③弦是直徑；④直徑

是弦；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑥圓的對稱軸是它的直徑.

A.2個B.3個C.4個D.5個

基礎(chǔ)知識應(yīng)用題

2、在同圓或等圓中，如果AB=CO,那么AB與的關(guān)系是（）

A.AB>CDB.AB^CD

C.AB<CDD.AB=2CD

3、如圖所示，已知A3是的直徑，弦CD與相交于點

E,當(dāng)時，（填寫一個你認為適當(dāng)?shù)臈l件）

4、如圖所示，43為0。的直徑，從圓上一點C作弦43,NOC。的平分線

交于點P，求證=

綜合應(yīng)用題

5、如圖所示，在00中，A3為弦，OCVAB,垂足為C,若AO=5,OC=3,則

弦AB的長為（）

A.10B.8C.6

6、如圖所示,一圓弧形門拱的拱高為1m,跨度為4m,

這個門拱的半徑為—m.

探索創(chuàng)新題

7、如圖所示，AD,5c于點。，且4。=5,8=3,48=4血,則00的直徑等于.

體驗中考

1、若。。的半徑為4cm,點A到圓心。的距離為3cm,則點A與。。的位置關(guān)系是

）

A.點A在圓內(nèi)B.點A在圓上

C.點A在圓外D.不能確定

2、如圖所示，在AABC中，AB為。。的直徑，ZB=60°,ZC=70°,

/BOD的度數(shù)是度.

3、如圖所示，是的直徑，C,￡＞是O。上的兩點，且AC=CD

(1)求證OC〃6O；

(2)若6c將四邊形OB0C分成面積相等的兩個三角形，試確定四

邊形QBDC的形狀.

學(xué)后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、B本題主要考查圓的有關(guān)概念.根據(jù)圓周角的定義，頂點在圓周上，兩邊與圓相

交的角為圓周角，兩個條件缺一不可，故①錯誤；由圓心角的定義可知②正確；由弦、

弧、直徑及半圓的定義易知③錯誤，④⑤均是正確的；圓的對稱軸為其直徑所在的直線,

故⑥錯誤.故選B.

2、B本題主要考查的是同圓或等圓中弧與弦的關(guān)系.在同圓或等圓中，若兩條弧相

等，則它們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所以=.故選B.

3、分析本題考查垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓的對稱性，若ABJ_CE＞，則將0。沿A3

對折，可知點C與點。重合，所以有C￡=O￡,AC=AD,BC=BD,反之也對，填

上一個即可.

4、分析本題考查垂徑定理的應(yīng)用，連接。P,證弧相等，只需證明。P垂直平分A3

即可.

證明：連接0P,;OC=OP,ZOCP=ZOPC.

-■CP是ZOCD的平分線，ZDCP=ZOCP.

ZOPC=ZDCP..-.OP//CD.

又?.?C"AB,..OPLAB

又Q4=OB,OP垂直平分AB

AP=BP.

【解題策略】本題是利用垂徑定理證明弧相等，垂徑定理是證弧相等的常用方法之

5、分析本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用.解答此題的關(guān)鍵是對“OC_LA3”的理

解.OC經(jīng)過圓心且垂直于弦AB,由垂徑定理可知AC=BC=」AB,由勾股定理，得

2

AC=Sl-OC。=代1=4所以AB=2AC=8.故選B.

規(guī)律.方法（1）在關(guān)于“垂直于弦的直徑”的題目中，很多情況下不直接給出直徑，而

只給出直徑的一部分，如半徑或圓心到弦的距離等，此時要注意靈活運用.

⑵圓心到弦的距離叫做弦心距，弦心距是圓中聯(lián)系直徑（半徑）和弦的重要紐帶，同時也

是一條十分重要的輔助線.

6、分析本題主要考查的是垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是理解

題中的“拱高”和“跨度”，拱高是指弧的中點到弦的中點的線段長，跨度是指弦長，

根據(jù)垂

徑定理及其相關(guān)結(jié)論“平分弦且平分弦所對的一條弧的直線垂直于弦并且過圓心”，需

利用圓的半徑及弦心距，故設(shè)CO所在的圓的圓心為。，連接則AOBC為直角

三角形，4,民0三點共線，且BC=LcD=2m,設(shè)半徑為xm,那么QB=（x-l）m,利

2

用勾股定理，得。。2=082+3。2,EPX2=（X-D2+22,解得X=2.5,即門拱的半徑為

2.5m.故填2.5.

【解題策略】（1）圖中由CO及弦C。圍成的圖形叫弓形，A3是弓形的高.

（2）在解答有關(guān)弓形的問題時，常利用解直角三角形的方法求解，所以首先應(yīng)找到弓

形的弧所在的圓的圓心，然后利用垂徑定理與勾股定理等求半徑、弦長的一半和圓心到

弦的距離.

7、50分析由ADL8C可知AAOC為直角三角形，又知AC=5,CO=3,所以

4。=4,又由43=4收，可由勾股定理推出30=4,從而得出是等腰直角三角

形，所以N6=45。，所以AC所對的圓心角為90。，若連接。4,OC,則4c是等腰

直角三角形，且斜邊AC=5,通過勾股定理可求出半徑。4=0C=*及，所以。。的

2

直徑為5vL故填5VL

體驗中考

1'A分析本題考查點和圓的位置關(guān)系，由于點A到圓心的距離小于半徑，所以點A

在。。內(nèi).故選A.

2、100分析本題綜合考查三角形內(nèi)角和定理及同圓中同弧所對的圓心角、圓周角

的關(guān)系，由/8=60。,/。=70。，可知NA=50。，由同圓或等圓中同弧所對的圓周角等

于這條弧所對的圓心角的一半可知NBOD=2ZA=2x50。=100。.故填100.

3、分析本題考查弦、弧以及圓周角、圓心角之間的關(guān)系.

證明：（1）?.?AC=C。,.?.弧4c與弧。相等，

:.ZABC=ZCBD.

又-.?OC=OB,NOCB=NOBC,

：.ZOCB=ZCBD,：.OC//BD.

解：（2）由（1）知。?！?￡）,不防設(shè)平行線OC與間的距離為九，

又Sme=2OCxh,S.DBC=2BDxh,

???BC將四邊形O8DC分成面積相等的兩個三角形，

即S9c=S.C，，OC=B。,.?.四邊形08。。為平行四邊形?

又；OC=OB,.?.四邊形OBDC為菱形.

【解題策略】本題利用了相等的弦所對應(yīng)的劣弧相等，相等的弧所對的圓周角

相等這一性質(zhì)，還利用了“面積相等的兩個三角形，若它們的高相等，則它們的

底邊長相等”這一性質(zhì)證線段相等.

24.2點、直線的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握點與圓的位置關(guān)系（點P在圓外、圓上、圓內(nèi)）及形成條件;

2、掌握直線與圓的位置關(guān)系（相離、相切、相交）及形成條件；

3、掌握并能靈活運用切線的判定和性質(zhì)、切線長定理；；

【重點難點】

1、掌握點與圓的位置關(guān)系（點尸在圓外、圓上、圓內(nèi)）及形成條件;

2、掌握直線與圓的位置關(guān)系（相離、相切、相交）及形成條件；

3、掌握并能靈活運用切線的判定和性質(zhì)、切線長定理；

知識概覽圖

■①點P峭外d>r

點與圓的位置關(guān)系②點P存就上d=r

③點Pg|內(nèi)d<r

①圖離d>r

r切線的判定和性質(zhì)：經(jīng)過半徑

外端且垂

直于這條

J半徑的直

線是圓的

切線，圓的

\切線垂直

于過切點

的半徑

直線與圓的位置關(guān)系②篇切d=r切線長定理：從圓外一點外圓的

兩?,11*

與圓有關(guān)的'

條切線，它們的切

線

位置關(guān)系長相等，這一點與

圓心的連線平分

兩

切線的夾角

③口交d<r

皖離d>rt+r2

①相離哈含d<rt+r2(4>4)

汾切d=ri+r2

圓與圓的位置關(guān)系(附加),切內(nèi)切d=r2-rx(弓>4)

③枳交r2-r[<d<r]+r2(224)

新課導(dǎo)引

奧運五環(huán)中的五個圓之間有怎樣的位置關(guān)系呢？在射擊靶上，射擊彈著點與靶上各

圓上之間存在幾種位置關(guān)系呢？還有哪些圖形與圓之間存在一定的位置關(guān)系？

OQ9>

【解析】奧運五環(huán)中的五個圓有相交，也有相離，射擊彈著點可能在某個圓內(nèi)，

也可能在圓周上，還可能在圓外，我們常研究的有點與圓、直線與圓及圓與圓之間的位

置關(guān)系.

教材精華

知識點1點與圓的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系有三種，設(shè)點到圓心。的距離為d,圓的半徑為，如圖24-55

所示.

點在圓的外部：點到圓心的距離大于半徑，OR=d>r；

馬

點在圓上：點到圓心的距離等于半徑，OP?=d=r；

點在圓的內(nèi)部：點到圓心的距離小于半徑，。鳥=dVr.I。少

在圖24-55中，點耳在圓外，點鳥在圓上，點A在圓內(nèi).圖24-55

拓展

(1)圓心是圓內(nèi)的特殊點，它到圓上各點的距離都相等.

(2)除圓心外，圓內(nèi)各點與圓上各點的距離都有最大值和最小值，如圖24-59所示,

過點尸作直徑。及PD的長是點尸到圓上各點的最長距離，PE的長是點P到圓上各點的

最短距離.

(3)圓外各點到圓上各點的距離也有最大值和最小值.如圖24-60所示，連接P。并延長,

交于于。，民尸。的長是點P到圓上各點的最短距離，PE的長是點P到圓上各點的

最長距離.

(4)過圓內(nèi)一點作最長弦與最短弦，如圖24-61所示，過圓內(nèi)一點P的最長弦是直徑AB,

過P點的最短弦是上述直徑垂直的弦DE.

圖24-61

不在同一直線上的三個點確定一個圓.

拓展(1)過同一直線上的三點不能作圓，要注意“過三點的圓”中的“三點”

不在同一直線上，故“三點確定一個圓”這種說法是不對的.

(2)“確定”一詞指不僅能作出圓，而且只能作出一個圓，即“有且只有”的意

思.

知識點2三角形的外接圓

三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,

處接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個

三角形的外心.

圓的內(nèi)接三角形：在圓上任取三點首尾順次連接組成的三角形

叫做圓的內(nèi)接三角形.

拓展(1)任意三角形都有且只有一個外接圓.

（2）三角形的外心不僅是三角形外接圓的圓心，它還是三角形三條邊的垂直平分

線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.

（3）圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個，它可以是任意的銳角三角形、直角三角形、鈍角

三角形.

知識點3反證法

探究交流中證明“過同一直線上的三點不能作圓”的方法與我們以前學(xué)過的證明方

法不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過同

一直線上的三點可以作一個圓），由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,

從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法.在某些情形下,反證法是很有效的證明方法.

知識點4直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有三種，設(shè)圓心。到直線/的距離為d,的半徑為r,如圖

（1）（2）（3）所示.

相交：直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的

割線，兩個公共點是直線與圓的交點.

如圖（1）所示，直線/與0。有兩個公共點A3,此時d<r.

相切：直線和圓有一個公共點，這時我們說條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切

線，這個點叫做切點.

如圖（2）所示，直線/與。。有唯一的公共點A,此時d=r.

相離：直線和圓設(shè)沒有公共點，這時我們說條直線和圓相離.

如圖（3）所示，直線/與沒有公共點，此時

拓展（1）已知一條直線到圓心。的距離為d,。。的半徑為r.①當(dāng)dVr時，直線/

與相交，/是。。的割線；②當(dāng)d=7?時，直線/與相切，/是的切線；③當(dāng)d

>/"時，直線/與相離.

(2)判定直線和圓的位置關(guān)系有兩個途徑：一是通過直線與圓的交點的個數(shù)來判

定.二是通過圓心到直線的距離與半徑的大小來判定.方法一是直觀的，方法二是通過計

算、推理才能得出結(jié)論的.證明時往往用方法二.

(3)點(圓心)到直線的距離是指從這點(圓心)向直線所作的垂線段的長度.

知識點5切線

切線的判定定理.

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.如圖24-65所示,直線/與

相切，切點為點A.

拓展(1)判定一條直線是圓的切線的方法：

①定義：直線與圓只有一個公共點，則直線是圓的切線.

②圓心到直線的距離等于半徑，則直線是圓的切線.

③切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(2)利用切線的判定定理需滿足兩個條件：①經(jīng)過的外端.

②和半徑垂直.兩個條件缺一不可，否則不一定是切線，如圖24-66所示，這里的直線

/都不是圓的切線.

(3)由切線的判定定理可以得出畫切線的準(zhǔn)確方法：已知圓心和圓上一點，先畫出半

徑，然后過圓上的點作半徑的垂線，即為圓的切線.

(4)如果知道圓的切點和切線，可以確定直徑，進而確定圓心，只需過切點作切線的

垂線，則垂線和圓相交所成的線段即為直徑，直徑的中點即為圓心.

圖24-66圖24-67

切線的性質(zhì)定理.

圓的切線垂直于過切點的半徑.

此性質(zhì)可能用反證法證明如下：如圖24-67所示，假設(shè)Q4與/不垂直，過點。作±/,

垂足為根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)有這說明圓心。到直線/的距離小于半

徑Q4,于是直線/就要與圓相交，而這與直線/是的切線矛盾.因此，假設(shè)不成立，OA

與直線/垂直.

規(guī)律方法小結(jié)”有切線，連半徑，得垂直”，這是已知圓的切線時常用的輔助線的作

法.

切線長的定義及切線長定理.

(1)切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段的長，叫做這

點到圓的切線長.如圖24-68所示,尸是外一點，PAPB是的切線，

A6是切點，線段PAPB的長為線長.

(2)切線長定理.

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩

條切

線的夾角.

如圖24-68所示，從圓外一點P可以引圓的兩條切線PAPRAB是切

B

點，根據(jù)切線長定理，我們知道OAYPA,OB±PB,而圖24-68

OA=OBQP=OP,所以RtOAP三Rt^OBP,所以PA=PB,ZAPO=ZBPO.

拓展(1)從圓外任意一點都可以引圓的兩條切線，過圓上一點只能引圓的一條切線.

(2)由PAPB是的切線，得出R4=P8,NAP0=N8P。的結(jié)論可以直接運用，

不必再證明.

(3)在圖24-68中，若連接,則不難得出

ZAOB+NAPB=180°,ZAOP=ZBOP=-ZAOB,OP垂直平分AB,這三個結(jié)論也可以直

2

接運用.

(4)此定理主要用于證明線段相等、角相等及垂直關(guān)系，應(yīng)重點掌握.

直線和圓的

相交

CD1

位置關(guān)系相切Z相離

公共點個數(shù)2個1個0個

d與r的關(guān)系d<rd=rd>r

公共點名稱交占切點—

直線名稱割線切線—

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分

線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.

規(guī)律方法小結(jié)(1)數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法，在很多題目中都配有相應(yīng)的

圖形，結(jié)合圖形探索數(shù)量關(guān)系是解答許多問題的重要手段，在沒有給出圖形的問題中,

很多情況下要根據(jù)題中條件畫出盡可能精確的圖形，借圖形加深對問題的理解，從而加

快解決問題的速度.

(2)①直線和圓的位置關(guān)系和相應(yīng)概念.

②三角形內(nèi)心、外心的比較

名稱確定方法圖形性質(zhì)

外心：三角形(1)到三個頂點的距

外接圓的三角形三條邊的垂離相等；

圓心直平分線的交點aOA=OB=OC

(2)夕卜心不一定在三

角形的內(nèi)部

(1)到三邊的距離相

等；OE=OF=OD

⑵30,CO,AO分另U

內(nèi)心：三角形

平分

內(nèi)切圓的三角形三條平分線

BADC

圓心的交點ZABC,ZACB,NBAC

(3)內(nèi)心一定在三角

形的內(nèi)部

探究交流

1、經(jīng)過同一直線上的三個點能作出一個圓嗎？

解析假設(shè)過同一直線/上A8,C三點可以作一個圓，設(shè)這個圓的圓心為尸，如圖

24-63所示，那么點P既在線段AB的垂直平分線4上，又在線段

BC的垂直平分線4上，即點P為/4的交點，而4?IL"，1'這與

A

“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以經(jīng)過同一直

線上的三點不能作圓.

2、鈍角三角形的內(nèi)切圓心一定在三角形的外部嗎？

解析三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部，此題易受鈍角三角形的外心在三角形的

外部的影響.

拓展(1)設(shè)直角三角形兩直角邊為力，斜邊為c,內(nèi)切圓半徑為r,則

1,,、

r-—(a+b-c).

(2)三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部，是三角形三條角平分線的交點，它到三角形

各邊的距離相等.

(3)一個三角形只有一個內(nèi)切圓.

課堂檢測

基本概念題

1、已知。0的半徑為5cm,A為線段OP的中點，當(dāng)0P滿足下列條件時，分別指

出點A與。。的位置關(guān)系.

(1)0P=6cm；(2)OP=10cm；(3)OP=14cm.

基礎(chǔ)知識應(yīng)用題

2、在平面直角坐標(biāo)系中，以點(2,1)為圓心、1為半徑的圓必與()

A.x軸相交B.y軸相交C.x軸相切D.y軸相切

3、如圖27-24所示，兩個同心圓中，大圓的弦AB,CD相等，且A3與小圓相切于

點E.試判斷CD與小圓的位置關(guān)系，并說明理由.

圖24-74

4、如圖所示，AABC的內(nèi)切圓與BC,CA45分別相切于點。，E,F,且

AS=9cm,BC=14cm,C4=13cm,求AE,BD,C￡的長.

綜合應(yīng)用題

5、如圖所示，A是。。上一點，半徑0C的延長與過點A

線交于3點。。=BC,AC=-OB.

2

(1)求證45是的切線；

(2)若44。。=45。,0。=2,求弦CD的長.

探索創(chuàng)新題

6、(1)如圖24-79(1)所示，04,。3是。。的兩條半徑，且。點C是06

延長線上任意一點，過點。作。。切0。于點。，連接AO交OC于點E,試說明

CD=CE;

(2)若將圖24-79(1)中的半徑。8所在的直線向上平移交Q4于尸，交于所，

其他條件不變，如圖24-792(2)所示，那么CD=CE還成立嗎？為什么？

(3)若將圖24-79(1)中的半徑08所在的直線向上平移到0。外的“，點E是

的延長線與CE的交點，其他條件不變，如圖24-79(3)所示，那么上述結(jié)論還成立嗎？

為什么？

體驗中考

1、如果一個圓的半徑是8cm,圓心到一條直線的距離也是8cm,那么這條直線和

這個圓的位置關(guān)系是()

A.相離B相交C.相切D.不能確定

2、已知和。Q的半徑分別為2cm和3cm,兩圓的圓心距為5cm,則兩圓的位

置關(guān)系是（）

A.外切B.外離C.相交D.內(nèi)切

3、已知圓圓O?的半徑不相等，圓。的半徑長為3,若圓。2上的點A滿足

AQ=3,則圓01與圓。2的位置關(guān)系是（）

A.相交或相切B.相切或相離C.相交或內(nèi)含D.相切或內(nèi)含

4、如圖所示，王在爺家屋后有一塊長12m、寬8m的矩形空地，他在以BC為直徑

的半圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時拴在A處，為了不讓羊吃到菜，拴

羊的繩長可以選用（）nny

2m

A.3mB.5mIwjj

C.7mD.9m'葭

5、如圖所示，小圓的圓心在原點，半徑為3,大圓的圓心坐標(biāo)為（。,0）,半徑為5.

如果兩圓內(nèi)含，那么。的取值范圍是.

學(xué)后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、解：因為A為線段0P的中點，所以。4

2

(1)當(dāng)0P=6cm時，Q4=3cm<5cm,點A在內(nèi)部.

(2)當(dāng)OP=10cm時，Q4=5cm,點A在OO上.

(3)當(dāng)0P=14cm時，OA=7cm>5cm,點A在。。外部.

2、分析本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系.解答本題的關(guān)鍵在平面直角坐標(biāo)系中

確定圓心的位置，因為點(2,1)在第一象限，到y(tǒng)軸的距離為2,

到x軸的距離為1,如圖24-72所示，所以這個圓與x軸相切.1故選

圖24-72

3、分析由圖可以看出CD與小圓相切，關(guān)鍵是怎樣證相切，目前條件下不知道CQ

與小圓是否有公共點.這種情況下，可以先過。作CO的垂線段，然后證明垂線段，然后

證明垂線段正好是半徑，這樣就可以利用切線的判定定理得出結(jié)論.

解：CD是小圓的切線.理由：連接。E,過。作。產(chǎn)J_CD于點尸.

切于小圓于點E,，AB.'才力〃

=CD,OE±AB,OF±CD,：.AE=CF.

圖24-74

連接AO,CO,則AO=CQ

:.^AEO=^CFO.OE=OF,B[JOF是，卜圓的半徑.

又Ob_L8，,CO是小圓的切線.

【解題策略】證明直線和圓相切，應(yīng)選用合適的方法，若知道直線與圓有公共點,

則可連半徑證垂直.若不知道直線與圓有無公共點，則采用作垂線段，證垂線段是半徑的

方法.

4、分析本題旨在考查切線長定理.

解：AF=xcm,則AE=AF=xcm,

因為A6=9cm,jBC=14cm,C4=13cm,

所以BE=3O=(9—x)cm,

DC-CE=[14—(9-x)]cm=(5+x)cm,

AE=AC-EC=[13—(5+x)]cm=(8一x)cm,

所以x=8—x,所以x=4,

所以AEndcm,BD=5cm,CE=9cm.

5、分析本題考查切線的判定方法與勾股定理的綜合應(yīng)用.

證明：(1)連接。4,

???OC=BC,AC=；OB,：.OC=BC=AC=OA,

??.△ACO是等邊三角形，

ZOCA=ZOAC=60°,.-.ZB=ZCAB=30°,

NOAB=90。,;.AB是O。的切線.

解：(2)作于E,.?.NO=60。,NO=30。，

又ZACD=45°,AC=OC=2,

在R/AACE中，CE=AE=&,

在用中，???/￡>=30。,

AD=2AE=2V2,DE=#>AE=瓜

CD=DE+CE=5/6+V2.

6、分析解答探究性問題的關(guān)鍵解答第一個問題，它能給后面的問題的探索帶來很多

的信息和提示.在（1）中，要說明C￡=CD,必須先說明/。。e=/?！辍?由于。4,08,

所以NAOB=90。，連接QD,根據(jù)。4=0。,ZAEO+ZA=90。,N0D4+NCOE=90。及對

頂角相等可得NC￡D=NCD￡，而（2）（3）中的問題，可由垂直關(guān)系及切線的特征，

同樣連接。?？山獯?

解：（1）連接QD,因為CD是。0的切線，所以O(shè)D_LCD,

所以ZCDE+ZODA=90°,

由題意知ZAOE=90°

在用AAOE中，ZAEO+ZA^Z90°.

在00中，因為。4=。。，所以NA=NO94,

所以NC￡>E=ZAEO=NCED,所以CD=CE

（2）8=CE仍然成立.

因為原來的半徑。8所在的直線向上平移，所以CF_LAO于F,

在RAAFE中，ZA+ZAEF=90°,

連接OD,有NODA+NCDE=90°,且。4=。。，

所以ZA=ZODA,所以NAEF=NCDE,又NAEF=ZCED,

ZCED=ZCDE,所以8=CE.

（3）CE=CD仍然成立.

因為原來的半徑。8所在的直線向上平移，所以AO_LCF.

延長。4交于C77于G,在必AAEG中，NA￡G+NGA￡=90。，

連接O。，有NCD4+NOD4=90°，且。4=QD,

所以ZADO=ZOAD=ZGAE,

所以ZCDE=ZCED,所以CD=CE.

規(guī)律?方法（1）在探究開放性問題中，認真思考、觀察第一個問題的解答過程是

解答后面問題的關(guān)鍵，所以要認真總結(jié)題中條件和解答過程中得出的信息，從中獲取規(guī)

律性內(nèi)容.

（2）點的運動、直線的運動、圖形的運動，實際上是在一定范圍內(nèi)的“任意一點、

一條直線、一個圖形”，它可以使整個題目發(fā)生相應(yīng)的變化，要抓住在“在運動”過程

中的不變的量和規(guī)律，這往往是解答這類問題的突破點.

體驗中考

1、分析本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判定.因為圓心到直線的距離等于半徑，

所以這條直線和圓相切.故選C.

2、分析本題考查兩圓的位置關(guān)系.由兩圓的半徑是2cm和3cm,它們的和正好與

圓心距5cm相等，可知兩圓的位置關(guān)系是外切.故選A.

3、分析本題考查兩圓的位置關(guān)系.由于圓。2上的點A滿足=3,但是題中并

沒有指明否只有這一點A.當(dāng)點A是唯一一個到。上的距離等于3的圓。2上的點時，這

時兩圓相切（內(nèi)切或外切），當(dāng)點A不是唯——個點，另外還有一個到。?的距離等于

3,且在圓O?上的點時，兩圓相交.故選A.

4、A分析本題考查兩圓相外切的應(yīng)用，圓心距等于兩圓半徑的和，羊不能吃到

草，就是說以A為圓心的圓與以。為圓心的圓不能相交，只能相切或相外離.連接

與半圓交于點P,由AB=8m,OB=6m可知。4=10m,所以AP=10-6=4（m）,即

當(dāng)AP=4m時，OA和相切，所以拴羊的繩子應(yīng)小于等于4m.故選A.

5、分析本題考查兩圓位置關(guān)系中的內(nèi)含問題.當(dāng)圓心距小于半徑之差時，兩圓內(nèi)

含，所以|。一0|<2時，兩圓內(nèi)含，所以-2<a<2.故填-2<aV2.

【解題策略】（1）判斷兩圓的的位置關(guān)系，一定要根據(jù)兩圓位置關(guān)系的判定方

法，當(dāng)d>R+r,兩圓外離，當(dāng)d=R+r時，兩圓外切，當(dāng)R-rVdVR+r時，兩

圓相交，當(dāng)〃=/?一「時，兩圓內(nèi)切.

0<dVR—r時，兩圓內(nèi)含.

（2）判斷兩圓相切時，一定要考慮周全，既要考慮外切，又要考慮內(nèi)切，其中內(nèi)切容

易被忽略.

24.3正多邊形和圓關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、正多邊形的有關(guān)計算（中心角、內(nèi)角、外角等）；

3、正多邊形的畫法；

4、正多邊形的對稱性；

【重點難點】

1、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、正多邊形的有關(guān)計算（中心角、內(nèi)角、外角等）；

3、正多邊形的畫法；

4,正多邊形的對稱性；

知識概覽圖

<（1）把圓〃（〃23）等分，依次連各分點所得的多邊形是這

個圓的內(nèi)接正〃邊形

正多邊形和（2）把圓〃（〃23）等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰

切

圓的關(guān)系線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正〃邊形

（3）任何正多邊形都有一個外接圓和一內(nèi)切圓，且這兩個圓

是同心圓

（1）正〃邊形的中心角為迎

正

多

邊（2）正〃邊形的內(nèi)角為（〃二2）"80°

正多邊形的

形

有關(guān)計算

和（3）正“邊形的外角為迎

圓

（4）正〃多邊形的其他運算均可歸結(jié)到直角三角形中

正多邊形的（1）用量角器等分圓周畫

（2）用直尺和圓規(guī)等分圓周來畫

（1）所有的正多邊形都是軸對稱圖形，一個正〃邊形共有〃條

對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正〃邊形的中心

正多邊形的（2）如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是

對稱性心對稱圖形，它的中心就是對稱中心

新課導(dǎo)引

我國國旗上的五角星及正六邊形、正三角形等許多圖形都可以利用圓的有關(guān)知識畫

出來.早在古代，就有人用直尺和圓規(guī)作出三角形、正方形及正五邊形了.目前對于正

多邊形的研究，我們經(jīng)常借助圓來討論，那么它們之間有怎樣的聯(lián)系呢？我們這節(jié)課便

一起來研究.

教材精華

知識點1正多邊形的外接圓A

Z1

二個正多邊形的各個頂點都在圓上，我們就說這個圓是這個o匚

B梭心角、尸

正多邊形的外接圓.其中我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫（）

做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正

多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角―,中心到正多

邊形的二邊c的電離叫做亞多邊形的邊心垣.如右圖所示,六邊

形ABCDEF是Q0的內(nèi)接正六邊形或Q0是正六邊形ABCDEF的外接圓.

知識點2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對角互補

圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.

知識點3圓內(nèi)接正〃邊形的性質(zhì)（〃23,且〃為自然數(shù)）

圓內(nèi)接正〃邊形都是軸對稱圖形，都有〃條對稱軸.

例如：圓內(nèi)接正三角形有三條對稱軸，圓內(nèi)接正四邊形有四條對稱軸，圓內(nèi)接正六

邊形有六條對稱軸，而圓內(nèi)接正五邊形有五條對稱軸.

圓內(nèi)接正2〃（〃22,且〃為自然數(shù)）邊形是中心