上海市實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷

2024－2025學(xué)年上海市實驗學(xué)校高一年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷2024.09一、填空題（本大題共有8小題，每題5分）1．已知全集且，則_______．2．請寫出一個條件，使得是它的一個必要非充分條件_______．3．用反證法證明命題“若，則，，都不為0”時，應(yīng)假設(shè)_______．4．集合的所有元素之和為_______．5．已知關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)解，則_______．6．若，則，就稱為自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的個數(shù)為_______．7．設(shè)集合，其中元素均為有理數(shù)，集合，求_______．8．已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的的集合，如果對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，則實數(shù)的取值范圍是_______．二、選擇題（每題5分）9．已知全集，集合或，那么陰影部分表示的集合為（）A． B． C．或 D．10．下列結(jié)論中不正確的是（）A．“”是“”的必要不充分條件B．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件C．若，則“”是“，不全為0”的充要條件D．“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的必要不充分條件11．若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）；（2）對于的任意子集，，當且時，有；（3）對于的任意子集，．當且時，有，則稱是集合的一個“－集合類”．例如：是集合的一個“－集合類”．已知，則所有含的“－集合類”的個數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．1212．設(shè)集合，集合，若的子集中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱為“破曉集”．那么使能分成兩個交集為空集的“破曉集”的并集，且這兩個破曉集的并集恰為時，的最大值是（）A．13 B．14 C．15 D．16三、解答題（本大題滿分40分）13．（本題滿分12分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）實數(shù)為何值時，方程有兩個不同的正根；（2）實數(shù)為何值時，方程有一個正根，一個負根；（3）實數(shù)為何值時，方程有一個根大于2，另一個根小于2；（4）實數(shù)為何值時，方程有一個根大于2，另一個根不大于0．14．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為．（1）當時，求集合；（2）若集合，求實數(shù)的取值范圍；（3）若集合中有2024個元素，求實數(shù)的取值范圍．15．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知集合．（1）判斷是否屬于集合；（2）已知集合，證明：“”是“”的必要非充分條件；（3）求所有滿足集合的偶數(shù)，并說明理由．四、附加題（本題滿分20分）16．（本題滿分10分）（1）設(shè)且互不相同時，中至少有一個小于；（2）設(shè)，求證中至少有一個不小于．17．（本題滿分10分）已知集合，，其中，定義，若，則稱與正交．（1）若，寫出中與正交的所有元素；（2）令，若，證明：為偶數(shù)；（3）若，且中任意兩個元素均正交，分別求出時，中最多可以有多少個元素．

2024－2025學(xué)年上海市實驗學(xué)校高一年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷2024.09一、填空題（本大題共有8小題，每題5分）1【答案】【解析】由題意知，集合，則．2．【答案】【解析】通過小范圍推大范圍即可得．3．【答案】假設(shè)，，至少有一個為0【解析】用反證法證明命題“若，則，，都不為0”時，假設(shè)正確的是：假設(shè)，，至少有一個為0．4．【答案】57【解析】由題意知集合為，則所有元素之和為57．5．【答案】1【解析】①（舍，此時解集為空集），②（舍）．6．【答案】15【解析】由題意知與與必須成組出現(xiàn)，則自倒集合的個數(shù)為．7．【答案】或【解析】觀察具體的六個數(shù)，其中沒有互為相反數(shù)，由此知的絕對值互不相等不妨設(shè)，則中最小的與次小的兩個數(shù)分別是及，最大的與次大的兩個數(shù)分別是及，從而必須有，于是，故，結(jié)合，只可能是，由此易知，或者，檢驗知，這兩組解均滿足問題的條件，故或．8．【答案】或【解析】給出的函數(shù)分子分母都是二次三項式，對應(yīng)的圖像都是開口向上的拋物線，若分子分母對應(yīng)的方程是同解方程，則，解得，此時函數(shù)的值為，若分子分母對應(yīng)的方程不是同解方程，要保證對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，則需要分子分母的判別式均小于0，即，解①得；解②得，所以的范圍是，當時，函數(shù)化為，函數(shù)定義域為，分母恒大于0，分子的判別式小于0，分子恒大于0，函數(shù)值恒正，綜上，對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，則實數(shù)的取值范圍是或．二、選擇題（每題5分）9．【答案】B【解析】由Venn圖可知，陰影部分的元素為屬于當不屬于的元素構(gòu)成，所以用集合表示為，則，則，故選：B．10．【答案】B【解析】對于A選項，，所以“”是“”的必要不充分條件，A選項正確；對于B選項，充分性：若，則為直角，所以為直角三角形，充分性成立；必要性：若為直角三角形，則“為直角”或“是直角”或“為直角”，所以“”或“”或“”，即必要性不成立．因此“”是“為直角三角形”的充分不必要條件，B選項錯誤．對于C選項，充分性：因為，若，則，所以不成立，所以、不全為0，充分性成立；必要性：若、不全為0，則，必要性成立．因此“”是“、不全為0”的充要條件，C選項正確；對于D選項，充分性：取，則為無理數(shù)，但為有理數(shù)，即充分性不成立；必要性：若為無理數(shù)，則是無理數(shù)，必要性成立．所以“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的必要不充分條件，D選項正確；故選：B．11．【答案】D【解析】依題意知，中至少含有這幾個元素：，將它看成一個整體；剩余的、、、、；①、、、、5個中添加0個的集合為，1種，②、、、、5個中添加1個的集合為，共3種，③、、、、5個中添加2個的集合共3種，即、；、；、3種添加方式，④、、、、5個中添加3個的集合共4種，即、、；、、；、、；、、，4種添加方式，⑤、、、、5個中添加4個的集合共0種，⑥、、、、添加5個的集合共1種，綜上含的“——集合類”的個數(shù)為12種．故選：D．12．【答案】B【解析】假設(shè)當時，能分成兩個不相交的“破曉集”的并集，設(shè)和是兩個不相交的“破曉集”使得，不妨設(shè)，則由于，所以，即，同理可得，可推出，當，這與為“破曉集”矛盾．再證滿足要求．當時，，可以分成2個“破曉集”的并集，事實上，只要取，則和都是“破曉集”，且，當時，集合中除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合，可以分為2個“破曉集”的并：．當時，集合中除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合，可以分為2個“破曉集”的并：．最后，集合中的數(shù)分母都是無理數(shù)，它與中的任何其他數(shù)的和都不是整數(shù)，因此令，則和是不相交的“破曉集”，且，故的最大值為14，選B．三、解答題（本大題滿分40分）13．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由題意知．（2）由題意知．（3）由題意知．（4）由題意知．14．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）當時不等式組為，可化為，解得，滿足條件的整數(shù)不存在，所以．（2）由解得或，因為有唯一整數(shù)解，且的兩根為和，令，解得，綜上，所求的取值范圍是．（3）當時，，所以，解得．當時，，所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍是．15．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）【答案】（1）8，9屬于，10不屬于；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）由于，所以，由于，所以，假設(shè)，則，且，由于，所以或，顯然均無整數(shù)解，所以；（2）證明：集合，則恒有，所以，即一切奇數(shù)都屬于；又，所以的充分非必要條件是，（3）集合成立，①當和同為奇數(shù)和偶數(shù)時，均為偶數(shù)，所以為4的倍數(shù)，②當和一奇一偶時，和均為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，綜上所述：所有滿足集合的偶數(shù)為．四、附加題（本題滿分20分）16．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】（1）假設(shè)均大于等于，則，因為且互不相同，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，故，這與均大于等于矛盾，故假設(shè)不成立，則且互不相同時，中至少有一個小于．（2）取依次為1，2，3有比較上式兩邊的系數(shù)，得，所以，所以．17．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】（1）中所有與正交的元素為；（2）對于，存在，其中，使得，令，；當時，；當時，，那么為偶數(shù)；（3）8個，2個時，不妨設(shè)，在考慮時