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文檔簡介
第11課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)(1)會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象;會用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式;(2)通過圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì);(3)經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程,能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題,深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想.知識精講知識精講知識點(diǎn)01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式
從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn),所以我們稱為頂點(diǎn)式,將頂點(diǎn)式去括號,合并同類項(xiàng)就可化成一般式.2.一般式化成頂點(diǎn)式.對照,可知,.∴拋物線的對稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.【注意】1.拋物線的對稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用.2.求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法:配方法、公式法、代入法,這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn),應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用.知識點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法列表、描點(diǎn)、連線2.簡易畫法:五點(diǎn)定形法步驟:(1)先根據(jù)函數(shù)解析式,求和,在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線畫出對稱軸.(2)求拋物線與的交點(diǎn),當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D,將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來.【注意】當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí),描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D,由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖;如果需要畫出比較精確的圖象,可再描出一對對稱點(diǎn)A、B,然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn),畫出二次函數(shù)的圖象,知識點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù),a≠0)圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)時(shí),y隨x的增大而;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)時(shí),y隨x的增大而.簡記:在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)時(shí),y隨x的增大而;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)時(shí),y隨x的增大而.簡記:最大(小)值拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)時(shí),y有最值,拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)時(shí),y有最值,2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號圖象的特征a開口向上開口向下b對稱軸在y軸左側(cè)對稱軸在y軸右側(cè)c圖象過原點(diǎn)與y軸正半軸相交與y軸負(fù)半軸相交b2-4ac與x軸有唯一交點(diǎn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與x軸沒有交點(diǎn)知識點(diǎn)04求二次函數(shù)的最大(?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值,即當(dāng)時(shí),.【注意】如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2,那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi),若在此范圍內(nèi),則當(dāng)時(shí),,若不在此范圍內(nèi),則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性,如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而增大,則當(dāng)x=x2時(shí),;當(dāng)x=x1時(shí),,如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而減小,則當(dāng)x=x1時(shí),;當(dāng)x=x2時(shí),,如果在此范圍內(nèi),y值有增有減,則需考察x=x1,x=x2,時(shí)y值的情況.能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖所示是二次函數(shù)的圖象,以下結(jié)論:①;②;③的兩個(gè)根是,;④,其中正確的是(
)A.③④ B.①② C.②③ D.②③④【即學(xué)即練】如圖,拋物線的對稱軸為,下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C.當(dāng)時(shí),隨的增大而減小 D.當(dāng)時(shí),隨的增大而減小【典例2】已知4a-2b+c=0,9a+3b+c=0,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)可能在(
)A.第一或第四象限 B.第三或第四象限C.第一或第二象限 D.第二或第三象限【即學(xué)即練】關(guān)于拋物線,下列說法錯(cuò)誤的是(
)A.當(dāng)時(shí),對稱軸是軸 B.當(dāng)時(shí),經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)C.不論為何值,都過定點(diǎn) D.時(shí),對稱軸在軸的左側(cè)考法02二次函數(shù)的最值【典例3】已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí),y取得的最大值為15,則a的值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)=﹣+2x+4,關(guān)于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內(nèi),下列說法正確的是()A.有最大值4,有最小值0 B.有最大值0,有最小值﹣4C.有最大值4,有最小值﹣4 D.有最大值5,有最小值﹣4【典例4】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的最小值為﹣3,當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)的最小值為﹣2,則b的值為(
)A.6 B.2 C.﹣2 D.﹣3【即學(xué)即練】已知拋物線過(1,m),(-1,3m)兩點(diǎn),若,且當(dāng)時(shí),y的最小值為-6,則m的值是(
)A.4 B.2 C.–2 D.-4考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例5】已知A(?3,?2),B(1,?2),拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動,形狀保持不變,與x軸交于C,D兩點(diǎn)(C在D的右側(cè)),下列結(jié)論:①c≥?2
;②當(dāng)x>0時(shí),一定有y隨x的增大而增大;③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5,點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3;④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí),a=.其中正確的是(
)A.①③ B.②③ C.①④ D.①③④【即學(xué)即練】如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn),P為AC上的一個(gè)動點(diǎn),則有以下結(jié)論:①拋物線的對稱軸為直線;②拋物線的最大值為;③;④OP的最小值為.則正確的結(jié)論為(
)A.①②④ B.①② C.①②③ D.①③④【典例6】已知拋物線的解析式為(m為常數(shù)),則下列說法正確的是____________.①當(dāng)時(shí),點(diǎn)在拋物線上;②對于任意的實(shí)數(shù)m,都是方程的一個(gè)根;③若,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大;④已知點(diǎn),則當(dāng)時(shí),拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn).【即學(xué)即練】如圖,已知拋物線與x軸相交于于點(diǎn),,與軸的交于點(diǎn).點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動,設(shè)的面積為.下列結(jié)論:①;②;③,其中,正確結(jié)論的序號是________.(所有正確的序號都填上)分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.拋物線經(jīng)過點(diǎn)(m,3),則代數(shù)式的值為(
)A.0 B.1 C.2 D.32.二次函數(shù)(a≠0)中x,y的部分對應(yīng)值如下表:x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為()A.y軸 B.直線x= C.直線x=1 D.直線x=3.若二次函數(shù)y=x2+2x+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,y1),(﹣2,y2),則y1,y2與的大小關(guān)系為()A.y1>y2 B.y1=y(tǒng)2 C.y1<y2 D.不能確定4.已知(﹣4,y1),(2.5,y2),(5,y3)是拋物線y=﹣3x2﹣6x+m上的點(diǎn),則y1、y2、y3的大小關(guān)系是()A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y35.已知函數(shù)y=a﹣2ax﹣1(a是常數(shù),a≠0),下列結(jié)論正確的是(
)A.若a>0,則當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而減小 B.若a<0,則當(dāng)x≤1時(shí),y隨x的增大而增大C.當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)圖像過點(diǎn)(﹣1,1) D.當(dāng)a=﹣2時(shí),函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有以下4個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的結(jié)論有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.已知二次函數(shù)y=x2-4x-m的最小值是1,則m=_______.8.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),,若當(dāng)時(shí).隨著的增大而減小,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.9.已知拋物線y=ax2-2ax-3+2a2(a<0).(1)求這條拋物線的對稱軸;(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的函數(shù)解析式;10.已知拋物線.(1)寫出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)當(dāng)為何值時(shí),函數(shù)取得最大值,請求出這個(gè)最大值.題組B能力提升練1.將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,則、的值為(
)A., B.,C., D.,2.如圖是二次函數(shù)y=ax2﹣x+a2﹣9圖象,圖象過坐標(biāo)原點(diǎn),則a的值是(
)A.a(chǎn)=3 B.a(chǎn)=-3 C.a(chǎn)=-9 D.a(chǎn)=3或a=﹣33.已知二次函數(shù),當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí),x的取值范圍是(
)A. B. C. D.4.已知拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則拋物線的表達(dá)式是(
)A. B. C. D.5.直線與拋物線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是(
)A. B. C. D.6.二次函數(shù)()的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(,0),對稱軸為直線,下列結(jié)論:(1);(2);(3);(4)若點(diǎn)A(,),點(diǎn)B(,),點(diǎn)C(,)在該函數(shù)圖象上,則;(5)m為任意實(shí)數(shù),則.其中正確的結(jié)論有(
)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)7.已知二次函數(shù),當(dāng)時(shí),自變量的取值范圍是______.8.如圖,拋物線的對稱軸為直線,點(diǎn)A,B均在拋物線上,且與x軸平行,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2).(1)求此拋物線的解析式和對稱軸.(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PAC的周長最???若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.10.如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)當(dāng)0<x<3時(shí),直接寫出y的取值范圍;題組C培優(yōu)拔尖練1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(
)A. B. C. D.2.若點(diǎn)A(﹣3,),B(1,),C(m,)在拋物線y=ax2+4ax+c上,且<<,則m的取值范圍是()A.﹣3<m<1 B.﹣5<m<﹣1或﹣3<m<1C.m<﹣3或m>1 D.﹣5<m<﹣3或﹣1<m<13.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的大致圖象如圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()A.b2﹣4ac>0 B.a(chǎn)+b+c>0C.a(chǎn)x2+bx+c≥﹣1 D.2a﹣b=04.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論不正確的是(
)A.a(chǎn)bc<0 B.a(chǎn)+b>m(am+b)(m≠1)C.4a﹣2b+c<0 D.3a+c=15.二次函數(shù)(a,b,c是常數(shù),)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:x…012……tmn…且當(dāng)時(shí),其對應(yīng)的函數(shù)值.有下列結(jié)論:①;②和3是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根;③對稱軸為;④;其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(
)A.0 B.1 C.2 D.36.已知拋物線(c為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),則m的取值范圍為(
)A. B.C. D.7.已知二次函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為8,則的值是____.8.若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上,且點(diǎn)到軸的距離小于2,則的取值范圍是____________.9.已知拋物線的頂點(diǎn)(0,1).(1)求該拋物線的解析式;(2)如圖1,直線交x軸于A,交拋物線于B、C,BE⊥x軸于E,CF⊥x軸于F,試比較AE?
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