2024年初中九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義（人教版）第11課 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（學(xué)生版）

第11課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；會用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式；（2）通過圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識精講知識精講知識點(diǎn)01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1．頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2．一般式化成頂點(diǎn)式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【注意】1．拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象的畫法1．一般方法列表、描點(diǎn)、連線2．簡易畫法：五點(diǎn)定形法步驟：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求和，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．【注意】當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，知識點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．簡記：在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．簡記：最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最值，2．二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號圖象的特征a開口向上開口向下b對稱軸在y軸左側(cè)對稱軸在y軸右側(cè)c圖象過原點(diǎn)與y軸正半軸相交與y軸負(fù)半軸相交b2-4ac與x軸有唯一交點(diǎn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與x軸沒有交點(diǎn)知識點(diǎn)04求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時(shí)，．【注意】如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖所示是二次函數(shù)的圖象，以下結(jié)論：①；②；③的兩個(gè)根是，；④，其中正確的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【即學(xué)即練】如圖，拋物線的對稱軸為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【即學(xué)即練】關(guān)于拋物線，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，對稱軸是軸 B．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)C．不論為何值，都過定點(diǎn) D．時(shí)，對稱軸在軸的左側(cè)考法02二次函數(shù)的最值【典例3】已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)＝﹣+2x+4，關(guān)于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【典例4】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【即學(xué)即練】已知拋物線過（1，m），（-1，3m）兩點(diǎn)，若，且當(dāng)時(shí)，y的最小值為-6，則m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例5】已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數(shù)），則下列說法正確的是____________．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線上；②對于任意的實(shí)數(shù)m，都是方程的一個(gè)根；③若，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；④已知點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)．【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點(diǎn)，，與軸的交于點(diǎn)．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，設(shè)的面積為．下列結(jié)論：①；②；③，其中，正確結(jié)論的序號是________．（所有正確的序號都填上）分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．拋物線經(jīng)過點(diǎn)（m，3），則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（）A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝3．若二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y35．已知函數(shù)y＝a﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（

）A．若a＞0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大C．當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)圖像過點(diǎn)（﹣1，1） D．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)6．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．8．二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，若當(dāng)時(shí)．隨著的增大而減小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求這條拋物線的對稱軸；(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求拋物線的函數(shù)解析式；10．已知拋物線．(1)寫出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)取得最大值，請求出這個(gè)最大值．題組B能力提升練1．將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為，則、的值為（

）A．， B．，C．， D．，2．如圖是二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋a2﹣9圖象，圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，則a的值是（

）A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)＝－3 C．a(chǎn)＝－9 D．a(chǎn)＝3或a＝﹣33．已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．5．直線與拋物線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A． B． C． D．6．二次函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（，0），對稱軸為直線，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若點(diǎn)A（，），點(diǎn)B（，），點(diǎn)C（，）在該函數(shù)圖象上，則；（5）m為任意實(shí)數(shù)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是______．8．如圖，拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．10．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)0＜x＜3時(shí)，直接寫出y的取值范圍；題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．2．若點(diǎn)A（﹣3，），B（1，），C（m，）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜13．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的大致圖象如圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．b2﹣4ac＞0 B．a(chǎn)+b+c＞0C．a(chǎn)x2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝04．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)bc＜0 B．a(chǎn)＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝15．二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…012……tmn…且當(dāng)時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值．有下列結(jié)論：①；②和3是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根；③對稱軸為；④；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知拋物線（c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為8，則的值是____．8．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________．9．已知拋物線的頂點(diǎn)（0，1）．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，直線交x軸于A，交拋物線于B、C，BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，試比較AE?