2024年初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（人教版）第14課 實(shí)際問題與二次函數(shù)（教師版）

第14課實(shí)際問題與二次函數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問題的最大（?。┲?，提高解決問題的能力。（2）通過求最大面積、最大利潤等問題，體會(huì)二次函數(shù)是一類解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01列二次函數(shù)解應(yīng)用題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題.(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．知識(shí)點(diǎn)02建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【注意】

(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.知識(shí)點(diǎn)03利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積。求矩形的最大面積時(shí)，通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值，同時(shí)要注意自變量的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)04利用二次函數(shù)求最大利潤問題（1）利潤問題是本節(jié)的重點(diǎn)問題之一，在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試熱點(diǎn)。對(duì)于這類問題，只要審清題意，記住利潤問題中的幾個(gè)公式，便可解決此類問題。①每件的利潤=銷售單價(jià)-成本單價(jià)；②總利潤=總銷售價(jià)-總成本價(jià)=每件利潤×銷售量。（2）利用二次函數(shù)的最值解答商品銷售中的“最大利潤”問題時(shí)，可采用以下步驟：①設(shè)出自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價(jià)或銷售量及銷售收入；②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的成本；③用因變量及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，即可得到函數(shù)表達(dá)式；④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時(shí)自變量的值，注意結(jié)果要符合實(shí)際意義及題意。知識(shí)點(diǎn)05利用二次函數(shù)解決拋物線型建筑物問題這類問題所給的問題情境常有一個(gè)拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構(gòu)造二次承數(shù)的表達(dá)式來解決，解決這類問題般是利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。

1．一般解題思路

(1)在示意圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將題目中所給條件轉(zhuǎn)化平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

(2)根據(jù)圖中坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的表達(dá)式。

(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)去分析解決問題，檢驗(yàn)問題的結(jié)果是否符合實(shí)標(biāo)意義，并作答。

2．卡車過拱橋(隧道)問題

在問題中，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是首要條件，有時(shí)函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)給出，有時(shí)需要先求出來，求出函數(shù)表達(dá)式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：(1)固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當(dāng)于已知x的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求y的值，然后與限制的高的值比較大?。?2)固定卡車的高，看橋是否足夠?qū)挘聪喈?dāng)于已知y的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求x的值，然后與限制的寬的值比較大?。┠芰ν卣鼓芰ν卣箍挤?1求幾何圖形面積的最值【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個(gè)矩形（ABCD）花園，這個(gè)花園的最大面積是（

）A．18m2 B．12m2 C．16m2 D．22m2【答案】A【詳解】解：設(shè)與墻垂直的矩形的邊長為xm，則這個(gè)花園的面積是：S=x（12-2x）=，∴當(dāng)x=3時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S=18，故選：A．【即學(xué)即練】如圖，四邊形中，，若，則四邊形的面積最大值為（

）A．6 B．18 C．36 D．144【答案】B【詳解】如圖，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)M設(shè)四邊形的面積即四邊形的面積當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大為18．故選：B．【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（為常數(shù)）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在軸左側(cè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，連接PA，PB，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【詳解】解：設(shè)，聯(lián)立，得，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小面積為.故選：B.【即學(xué)即練】如果一個(gè)矩形的周長與面積的差是定值，我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩形中，，，，那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線的長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴有最小值為（取正值），故選：C．考法02利用二次函數(shù)解最大利潤問題【典例3】某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某時(shí)間段內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價(jià)x應(yīng)為（

）A．35元 B．45元 C．55元 D．65元【答案】D【詳解】解：設(shè)所獲得的利潤為W，由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值1225，故選D．【即學(xué)即練】某商品的利潤y（元）與售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+8x+9，且售價(jià)x的范圍是1≤x≤3，則最大利潤是（）A．16元 B．21元 C．24元 D．25元【答案】C【詳解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，∵a=-1＜0，∴利潤y有最大值，當(dāng)x＜4時(shí)，y隨x的增大而增大，∵售價(jià)x的范圍是1≤x≤3，∴當(dāng)x=3時(shí)，最大利潤y是24元，故選：C．【典例4】某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．銷售單價(jià)降低15元時(shí)，每天獲得利潤最大B．每天的最大利潤為1250元C．若銷售單價(jià)降低10元，每天的利潤為1200元D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價(jià)一定降低了5元【答案】D【詳解】因?yàn)槊拷档?元，每天可多售出10件，所以每降價(jià)1元可多售2件，設(shè)每件降價(jià)x元，每天的利潤為y元，則每天可售（20+2x）件，每件利潤為40-x，所以每天的利潤為將整理成頂點(diǎn)式有，由頂點(diǎn)式可知當(dāng)銷售單價(jià)降低15元時(shí)，每天獲得利潤最大，每天的最大利潤為1250元，故A、B正確；將x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正確；令y=1050，則，解得，即當(dāng)每天的利潤為1050元，則銷售單價(jià)可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D錯(cuò)誤；綜上所述，答案選D.【即學(xué)即練】某公司銷售一種藜麥，成本價(jià)為30元/千克，若以35元/千克的價(jià)格銷售，每天可售出450千克．當(dāng)售價(jià)每漲0.5元/千克時(shí)，日銷售量就會(huì)減少15千克．設(shè)當(dāng)日銷售單價(jià)為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當(dāng)日銷售量為（千克）．有下列說法：①當(dāng)時(shí)，②與之間的函數(shù)關(guān)系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價(jià)應(yīng)定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，故①正確；由題意得：，故②正確；日銷售利潤為，由題意得：，整理得：，解得：，，∵銷售單價(jià)為38元/千克時(shí)的銷售量比銷售單價(jià)為42元/千克時(shí)大，∴不合題意，即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價(jià)應(yīng)定為38元/千克，故③錯(cuò)誤；由上問可知：，即，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即若使日銷售利潤最大，銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/千克，故④正確；故正確的是①②④；故答案選B．考法03利用二次函數(shù)解拱橋問題【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測(cè)得水面寬AB＝1.6m，涵洞頂點(diǎn)O與水面的距離CO是2m，則當(dāng)水位上升1.5m時(shí)，水面的寬度為（

）A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m【答案】C【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由題意得：，∴，解得：，∴，當(dāng)y=-0.5時(shí)，則有，解得：，∴水面的寬度為0.8m；故選C．【即學(xué)即練】如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面寬4m時(shí)，頂點(diǎn)離水面2m，當(dāng)水面寬度增加到6m時(shí)，水面下降（）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【答案】C【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸通過，縱軸通過中點(diǎn)且通過頂點(diǎn)，則通過畫圖可得知為原點(diǎn)，由平面直角坐標(biāo)系可知，，即，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為，即，當(dāng)時(shí)，，所以水面下降，故選：C．【典例6】如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在l時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面3米，水面寬4米．如果按圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，那么拋物線的解析式是_____．【答案】【詳解】解：設(shè)出拋物線方程y=ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經(jīng)過（-2，-3）點(diǎn)，∴-3=4a，a=-，∴拋物線解析式為y=-x2．故答案為：．【即學(xué)即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，，最高點(diǎn)C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為，已知點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，位于點(diǎn)C右側(cè)且距離水面3m，若以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以平C行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系時(shí)，該物線的表達(dá)式為___________．【答案】##【詳解】解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，解得x＝3或x＝9，∵點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，位于點(diǎn)C右側(cè)且距離水面3m，∴xD﹣xA＝9，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以平行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系，如圖：根據(jù)題意知此時(shí)頂點(diǎn)D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+3）2+1，將A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，解得a＝﹣，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，故答案為：y＝﹣x2﹣x．考法04利用二次函數(shù)求噴水、投球等實(shí)際問題【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米，離地面3米，那么水流落點(diǎn)B與墻的距離OB是（

）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【答案】C【詳解】解：由題意可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+3，2.25=a（0-1）2+3，解得a=-0.75，∴y=-（x-1）2+3，當(dāng)y=0時(shí)，-（x-1）2+3=0，解得，x1=-1，x2=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴OB=3，答：水流下落點(diǎn)B離墻距離OB的長度是3米．故選：C．【即學(xué)即練】如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可知點(diǎn)（1，3）是拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．∵該拋物線過點(diǎn)（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3．∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-（0-1）2+3=-+3=，∴水管應(yīng)長m．故選：A【典例8】如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝10t﹣5t2，則小球飛行的最大高度為_____m．【答案】5【詳解】解：∵，∴小球飛行的最大高度為5m，故答案為5．【即學(xué)即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【答案】10【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x1=10，x2=-2（不合題意，舍去），所以推鉛球的距離是10米；故答案為：10．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時(shí)間t（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h=﹣5t2+20t﹣14，則小球距離地面的最大高度是（

）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米【答案】C【詳解】高度h和飛行時(shí)間t滿足函數(shù)關(guān)系式：h=﹣5t2+20t﹣14，當(dāng)時(shí)，小球距離地面高度最大，米，故選：C．2．在地球上同一地點(diǎn)，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時(shí)下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時(shí)間相同．物體的下落距離h（m）與下落時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式為h＝gt2．其中g(shù)取值為9.8m/s2．小莉進(jìn)行自由落體實(shí)驗(yàn)，她從某建筑物拋下一個(gè)小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（

）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m【答案】B【詳解】解：把t=4代入h＝gt2得，故選：B．3．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15【答案】A【詳解】解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得(x+3)(4-0.5x)=15，故選：A．4．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，矩形的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，∵S＝xy＝x（5﹣x）∴矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S＝x（5﹣x），由題意可知自變量的取值范圍為，故選：A．5．某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：，故選B．6．向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時(shí)的高度為y米，且高度與時(shí)間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮彈在第6秒與第18秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】C【詳解】解：此炮彈在第6秒與第18秒時(shí)的高度相等，拋物線的對(duì)稱軸直線是：，拋物線開口向下，時(shí)，函數(shù)值最大，即第12秒炮彈所在高度最高，故選：C．7．據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_________．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意可得：2020年的蔬菜產(chǎn)量為，2021年的蔬菜產(chǎn)量為，∴，故答案為：．8．如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱．AB//x軸，AB＝4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm則右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為___（不用寫x的取值范圍）．【答案】【詳解】解：∵眼鏡鏡片下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，AB∥x軸，AB＝4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B（﹣1，1），∴點(diǎn)D（1，1），點(diǎn)F（3，0），設(shè)右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：y＝a（x﹣3）2，則1＝a（1﹣3）2，解得，a＝，∴右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：9．某商場(chǎng)經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）若商場(chǎng)每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）求銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】（1）銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元．（2）當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的最大利潤為2250元．【詳解】解：（1）設(shè)銷售單價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解得x1＝30，x2＝40答：銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元．（2）設(shè)銷售單價(jià)為x元，每天的銷售利潤w元，可列函數(shù)解析式為：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x＝35時(shí)，w有最大值，最大值為2250元，答：當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的最大利潤為2250元．10．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)G在AD的延長線上，DG

=2BE．設(shè)BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需寫自變量的取值范圍）；（2）根據(jù)改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請(qǐng)問此時(shí)BE的長為多少米？【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米【詳解】解：（1）∵BE邊長為x米，∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x

苗圃的面積=AE×AG=(4-x)(4+2x)則苗圃的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+4x+16（2）依題意，令y=16

即-2x+4x+16=16解得：x=0(舍）x=2答：此時(shí)BE的長為2米．題組B能力提升練1．如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20）2+4，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好位于水面，且AC⊥x軸，若OA=5米，則橋面離水面的高度AC為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【詳解】解：∵AC⊥x軸，OA=5米，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5，當(dāng)x=-5時(shí)，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，∴C（-5，-2.25），∴橋面離水面的高度AC為2.25米．故選：C．2．如圖，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米．當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【詳解】解：∵噴水頭的高度（即的長度）是1米．當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得解得∴拋物線解析式為令，解得（負(fù)值舍去）即，故選：A3．飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)滑行時(shí)間為10秒時(shí)，滑行距離為450米；當(dāng)滑行時(shí)間為20秒時(shí)，滑行距離為600米，則飛機(jī)的最大滑行距離為（

）A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米【答案】A【詳解】解：∵時(shí)，；時(shí)，，∴，解得：，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S最大，且最大值為600，即飛機(jī)的最大滑行距離為600米，故A正確．故選：A．4．使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0＜x≤90）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（

）A．37.5° B．40°C．42.5° D．45°【答案】B【詳解】解：由圖象可得，該函數(shù)的對(duì)稱軸x＞且x＜50，∴37.5＜x＜50，即對(duì)稱軸位于直線x＝37.5與直線x＝50之間且靠近直線x＝37.5∴此燃?xì)庠顭_壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為40°，故選：B．5．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段的延長線上，且,連接,．設(shè)，的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，即，，則，，圖象是開口向下，對(duì)稱為：的拋物線，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，即，，則，，圖象是開口向上的拋物線，故選：B．6．某超市銷售一種商品，每件成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價(jià)不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？每月最大利潤是多少？（

）A．元，元 B．元，元C．元，元 D．元，元【答案】B【詳解】解：設(shè)每月總利潤為，依題意得：，此圖象開口向下，又，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為元．故選：B．7．某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)表達(dá)式是，該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的最大距離是______．【答案】600m##600米【詳解】解：∵，∴x=20時(shí)，y取得最大值，最大值=600，故答案為：600m．8．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為__；自變量x的取值范圍為__．【答案】

【詳解】解：設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為：；由題意可得：，解得：．故答案為：，．9．為滿足市場(chǎng)需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進(jìn)價(jià)格為12元/盒的某品牌月餅，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌月餅每盒售價(jià)14元時(shí)，每天能售出200盒，并且售價(jià)每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定：該品牌月餅的售價(jià)不能超過20元/盒．(1)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)當(dāng)銷售單價(jià)為16元/盒時(shí)，該超市每天的利潤為720元(2)當(dāng)銷售單價(jià)20元/盒時(shí)，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元【詳解】(1)解：設(shè)銷售單價(jià)為x元/盒，依據(jù)題意得解得（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)銷售單價(jià)為16元/盒時(shí)，該超市每天的利潤為720元．(2)設(shè)銷售單價(jià)為x元/盒，每天銷售該品牌月餅的利潤為w元，依據(jù)題意得∵，拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大．∴時(shí)，w最大為1120元答：當(dāng)銷售單價(jià)20元/盒時(shí)，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元．10．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)(2)2或6m【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，拋物線的解析式為，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．題組C培優(yōu)拔尖練1．兩個(gè)正方形的周長和是10，如果其中一個(gè)正方形的邊長為，則這兩個(gè)正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵兩個(gè)正方形的周長和是10，如果其中一個(gè)正方形的邊長為，∴另一個(gè)正方形的邊長為，∴這兩個(gè)正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，故選：D．2．某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤元，每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品利潤增加元，用同樣工時(shí)，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)件，提高一個(gè)檔次將減少件．如果用相同的工時(shí)生產(chǎn)，總獲利潤最大的產(chǎn)品是第檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量増加），那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)總利潤為y元，∵第檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了個(gè)檔次，∴每天利潤為，∴當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品利潤最大，每天獲利864元，故選C．3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿BC→CD方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，△APQ的面積為S，則S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵正方形邊長為4，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，t=4s，當(dāng)t=4s時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了4×2=8個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D，故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為：點(diǎn)B——點(diǎn)C——點(diǎn)D；令運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ=2t，AP=t（0<t≤2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=t，此時(shí)三角形的高=4，(2≤t<4)故選：D4．足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（

）t01234567…h(huán)08141820201814…A．足球距離地面的最大高度超過20m B．足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線C．點(diǎn)（10，0）在該拋物線上 D．足球被踢出時(shí)，距離地面的高度逐漸下降．【答案】C【詳解】解：由題意，可得對(duì)稱軸為，則可得拋物線經(jīng)過（0，0），（9，0）設(shè)拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，，∴足球距離地面的最大高度為20.25m＞20m，A選項(xiàng)正確，不符合題意；∴拋物線的對(duì)稱軸，故B正確，不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，h隨t的增大而減小，∴足球被踢出時(shí)，距離地面的高度逐漸下降，D選項(xiàng)正確，不符合題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（9，0），不經(jīng)過（10，0），∴點(diǎn)（10，0）不在該拋物線上，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：C5．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對(duì)防疫物資需求量激增．某廠商計(jì)劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當(dāng)銷量x為多少時(shí)，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價(jià)（元）每瓶成本（元）每日其他費(fèi)用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意，得∴，∴，∵，∴拋物線的開口向下，有最大值，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，故選：D6．如圖，公園中一正方形水池中有一噴泉，噴出的水流呈拋物線狀，測(cè)得噴出口高出水面0.8m，水流在離噴出口的水平距離1.25m處達(dá)到最高，密集的水滴在水面上形成了一個(gè)半徑為3m的圓，考慮到出水口過高影響美觀，水滴落水形成的圓半徑過大容易造成水滴外濺到池外，現(xiàn)決定通過降低出水口的高度，使落水形成的圓半徑為2.75m，則應(yīng)把出水口的高度調(diào)節(jié)為高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米【答案】B【詳解】解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得，對(duì)稱軸為x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），設(shè)解析式為y＝ax2+bx+c，∴，解得：，所以解析式為：y＝x2+x+，當(dāng)x＝2.75時(shí)，y＝，∴使落水形成的圓半徑為2.75m，則應(yīng)把出水口的高度調(diào)節(jié)為高出水面08﹣＝，故選：B．7．某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個(gè)成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)時(shí)，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．【答案】121【詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式為，設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，，∵1<0，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為121，故答案為：121．8．如圖①，“東方之門”通過簡(jiǎn)單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為______．【答案】40米【詳解】解：如圖，以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平