2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語測(cè)評(píng)含解析北師大版選修1-1

PAGEPAGE1第一章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.下列語句是真命題的是()A.這是一棵大樹嗎? B.x+y+z=3C.函數(shù)f(x)=x2是增函數(shù) D.素?cái)?shù)不肯定是奇數(shù)答案D解析選項(xiàng)A和B不是命題;選項(xiàng)C是假命題;2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù),故D項(xiàng)正確.2.下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是()A.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件B.命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則x2-3x+2≠0”C.若命題p:?x∈R,使得x2+x+1<0,則p:?x∈R,均有x2+x+1≥0D.若p∧q為假命題,則p,q均為假命題答案D解析對(duì)于A,x2-3x+2=0的解為x=1或x=2,所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件,A正確;對(duì)于B,命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則x2-3x+2≠0”,B正確;對(duì)于C,特稱命題的否定為全稱命題,C正確;對(duì)于D,若p∧q為假命題,則p,q中至少有一個(gè)為假命題,D錯(cuò)誤.故選D.3.已知命題p:“若(a-b)3b2>0,則a>b”,則在命題p的逆命題、否命題、逆否命題中,假命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析原命題p為真,故其逆否命題為真;p的逆命題為假,故其否命題也為假,因此假命題的個(gè)數(shù)為2.4.已知命題p:?x>0,x+≥2,那么命題p為()A.?x>0,x+<2 B.?x≤0,x+<2C.?x>0,x+<2 D.?x≤0,x+<2答案C解析全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞,后面否定結(jié)論,故選C.5.對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若a+b=0,則a=-b,所以a∥b.若a∥b,則a+b=0不肯定成立,所以“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.6.設(shè)命題p:函數(shù)y=在定義域上是減函數(shù);命題q:存在實(shí)數(shù)a,b∈(0,+∞),當(dāng)a+b=1時(shí),=3,以下說法正確的是()A.p∨q為真 B.p∧q為真C.p真q假 D.p,q均為假答案D解析明顯命題p為假命題.當(dāng)a,b>0,a+b=1時(shí),=(a+b)=2+≥4,故不存在a,b∈(0,+∞),使得=3,即命題q為假命題.7.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若對(duì)隨意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min=f(0)=0.當(dāng)x∈[1,2]時(shí),g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.故選A.8.已知命題p:存在x∈(1,2),使得ex-a>0,若p是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-∞,e) B.(-∞,e]C.(e2,+∞) D.[e2,+∞)答案D解析因?yàn)閜是真命題,所以p是假命題,所以隨意x∈(1,2),有ex-a≤0,即a≥ex,又y=ex在(1,2)上的最大值為e2,所以a≥e2.9.已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:隨意x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.{m|m≥2} B.{m|m≤-2} C.{m|m≤-2或m≥2} D.{m|-2≤m≤2}答案A解析由p:存在x∈R,mx2+1≤0,可得m<0.由q:隨意x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.因?yàn)閜∨q為假命題,所以p與q都是假命題.若p是假命題,則有m≥0;若q是假命題,則有m≤-2或m≥2.故符合條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥2.10.已知p:實(shí)數(shù)x滿意x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:實(shí)數(shù)x滿意x2-5x+6≤0.若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1,2] B.(1,2) C.(2,+∞) D.(0,1)答案B解析設(shè)A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0},B={x|x2-5x+6≤0},則A={x|a<x<3a},B={x|2≤x≤3},因?yàn)閜是q的必要不充分條件,所以B?A,所以所以1<a<2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).11.已知函數(shù)f(x)=(a∈R),給出兩個(gè)命題:p:函數(shù)f(x)的值域不行能是(0,+∞);q:函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間可以是(-∞,-2].則下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(q)C.(p)∧q D.(p)∧(q)答案C解析當(dāng)a=0時(shí),f(x)=的值域?yàn)?0,+∞),故命題p為假命題;要使函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的遞減區(qū)間是(-∞,-2],這時(shí)只要滿意解得a=,因此命題q為真命題.故(p)∧q為真.12.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(4,+∞) D.(-∞,4)答案A解析若2x>a-x,即2x+x>a,設(shè)f(x)=2x+x,該函數(shù)為增函數(shù),由題意知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1;反之不成立,因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),f(x)>3,所以a>3.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.使得“2x>”成立的一個(gè)充分條件是.

答案x0<x<解析由于,故2x>,等價(jià)于x>2x2,解得0<x<,使得“2x>”成立的一個(gè)充分條件只需為集合x0<x<的子集即可,故答案可以為x0<x<.14.已知命題p:若a,b∈R,則ab=0是a=0的充分條件,命題q:函數(shù)y=的定義域是,則“p∨q”“p∧q”“p”是真命題的是.

答案p∨q,p解析依題意知p假,q真,所以“p∨q”“p”是真命題.15.函數(shù)f(x)=有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是.

答案a≤0或a>1解析當(dāng)x>0時(shí),x=1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),要使函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),應(yīng)使函數(shù)f(x)在(-∞,0]上沒有零點(diǎn),即-2x+a=0無解,而當(dāng)x≤0時(shí),0<2x≤1,所以實(shí)數(shù)a應(yīng)滿意a≤0或a>1.16.下列四個(gè)命題:①“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定;②“若x2+x-6≥0,則x>2”的否命題;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要條件;④“函數(shù)f(x)=tan(x+φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命題的序號(hào)是.(真命題的序號(hào)都填上)

答案①②解析對(duì)于①,因?yàn)閤2-x+1=x-2+>0,所以命題“?x∈R,x2-x+1≤0”為假命題,所以命題“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定為真命題;對(duì)于②,由x2+x-6=(x+3)(x-2)≥0,解得x≥2或x≤-3,即命題“若x2+x-6≥0,則x>2”的逆命題為真命題,所以其否命題為真命題;對(duì)于③,例如A=160°,此時(shí)sinA<sin150°=,所以充分性不成立,反之,若sinA>且0°<A<180°,依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),可得A>30°,即必要性成立,所以在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要條件是假命題;對(duì)于④,由函數(shù)f(x)=tan(x+φ)為奇函數(shù)可得φ=kπ或φ=+kπ(k∈Z),所以該命題為假命題.故答案為①②.三、解答題(本大題共6小題,需寫出演算過程與文字說明,共70分)17.(本小題滿分10分)寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題.(1)若α-β=,則sinα=cosβ;(2)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),若a≠b,c≠d,則a+c≠b+d.解(1)逆命題:若sinα=cosβ,則α-β=.否命題:若α-β≠,則sinα≠cosβ.逆否命題:若sinα≠cosβ,則α-β≠.(2)逆命題:已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),若a+c≠b+d,則a≠b,c≠d.否命題:已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),若a=b或c=d,則a+c=b+d.逆否命題:已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),若a+c=b+d,則a=b或c=d.18.(本小題滿分12分)推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并推斷其真假.(1)至少有一個(gè)整數(shù),它既能被11整除,又能被9整除.(2)隨意x∈{x|x>0},x+≥2.(3)存在x∈{x|x∈Z},log2x>2.解(1)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”,因此是特稱命題,真命題.(2)命題中含有全稱量詞“隨意”,是全稱命題,真命題.(3)命題中含有存在量詞“存在”,是特稱命題,真命題.19.(本小題滿分12分)已知命題:“存在實(shí)數(shù)x∈{x|-1<x<1},使等式x2-x-m=0成立”是真命題.(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合M;(2)設(shè)不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集為N,若x∈N是x∈M的必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范圍就為函數(shù)y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=.(2)因?yàn)閤∈N是x∈M的必要條件,所以M?N.當(dāng)a=1時(shí),解集N為空集,不滿意題意.當(dāng)a>1時(shí),a>2-a,此時(shí)集合N={x|2-a<x<a},則解得a>.當(dāng)a<1時(shí),a<2-a,此時(shí)集合N={x|a<x<2-a},則解得a<-.綜上可知,a的取值范圍為.20.(本小題滿分12分)已知曲線C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲線C在x軸上所截的線段的長(zhǎng)度為1的充要條件.解充要條件是G2-4F=1.必要性:令y=0,則x2+Gx+F=0.設(shè)x1,x2為此方程的根,若|x1-x2|==1,則G2-4F=1.充分性:令y=0,則x2+Gx+F=0.設(shè)方程的兩根為x1,x2,則x1+x2=-G,x1x2=F.因?yàn)镚2-4F=1,所以|x1-x2|===1.21.(本小題滿分12分)已知p:>2,q:x2-ax+5>0.(1)若p為真,求x的取值范圍;(2)若q是p的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)因?yàn)閜為真,所以>2,所以<0,所以(x-2)(x-5)<0,解得2<x<5,即x的取值范圍是(2,5);(2)因?yàn)閝是p的充分不必要條件,所以p是q的充分不必要條件,所以p對(duì)應(yīng)的x取值集合是q對(duì)應(yīng)的x取值集合的真子集,即對(duì)隨意x∈(2,5),x2-ax+5>0恒成立,所以對(duì)隨意x∈(2,5),a<x+,即a<x+min,x∈(2,5),又因?yàn)閤+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),等號(hào)成立,所以a∈(-∞,2).22.(本小題滿分12分)已知命題p:函數(shù)f(x)=|2x+3c|在[-1,+∞)上是增加的;命題q:函數(shù)g(x)=+2有零點(diǎn).(1)若命題p和q均為真命題,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)c,使得p∧(q)是真命題?若存在,求出c的取值范圍;若不存在,說