2025屆山東省泰安一中、寧陽一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆山東省泰安一中、寧陽一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．在公比為的等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，則（）A.1 B.2C.3 D.43．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.24．若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于55．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.46．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或7．橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.8．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.29．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績，在高考后對我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機(jī)抽樣法10．若直線經(jīng)過，,兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，過焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則__________.14．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.15．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標(biāo)系中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則其“歐拉線”的方程為___________.16．已知數(shù)列滿足，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍19．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線C上，點(diǎn)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.20．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程22．（10分）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、C【解析】先利用和的關(guān)系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.3、A【解析】根據(jù)弦長求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A4、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時，考慮四個點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯題5、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C6、A【解析】確定對應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個二次的關(guān)系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A7、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B8、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C9、B【解析】考生分為幾個不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D11、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A12、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】由拋物線：可知則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴過焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：14、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊的中點(diǎn)，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)給定條件求出，構(gòu)造新數(shù)列并借助單調(diào)性求解作答.【詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)，時，，則有，而滿足上式，因此，，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，又對任意恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定數(shù)列的前項(xiàng)和或者前項(xiàng)積，求通項(xiàng)時，先要按和分段求，然后看時是否滿足時的表達(dá)式，若不滿足，就必須分段表達(dá).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫嬷校云矫嫫矫?（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，不妨設(shè)，則有，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點(diǎn)M，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）判斷是否存在的問題，一般先假設(shè)存在；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作為已知條件，代入計(jì)算；（3）根據(jù)結(jié)果，判斷是否存在.18、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出、，化簡計(jì)算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因?yàn)椋?，所以所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問2詳解】設(shè)，則因?yàn)?，，所以，所?0、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.21、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線