湖南省邵陽市育英高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省邵陽市育英高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.2．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.3．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于54．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.35．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（）A. B.C. D.8．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知，，且，則（）A. B.C. D.10．拋物線的焦點坐標(biāo)是A. B.C. D.11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．若函數(shù)，當(dāng)時，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______15．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則___________.16．設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.18．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：19．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求b的值.20．（12分）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如表:零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖.（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，試預(yù)測加工10個零件需要多少小時?（注：，）21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項為，所以該數(shù)列一個通項公式為故選：A2、D【解析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時，滿足，推不出，故不充分；B.當(dāng)時，滿足，推不出，故不充分；C.當(dāng)時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D3、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點不共線，當(dāng)n=5時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯題4、D【解析】設(shè)出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設(shè)過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D5、D【解析】根據(jù)題意得出的符號，進(jìn)而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.6、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.7、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B8、A【解析】設(shè)，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中.①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時不存在；②當(dāng)時，，解得；③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.9、D【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，，因此，.故選：D10、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)為可知，拋物線即的焦點坐標(biāo)為，故選D.考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.12、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，利用等比中項由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知：，所以.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.(6)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解14、77【解析】依題意利用等差中項求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.15、2【解析】由兩點間的斜率公式及直線斜率的定義即可求解.【詳解】解：因為過兩點的直線的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.16、【解析】根據(jù)已知可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點在軸上，因為其一條漸近線為，所以，.故答案為：【點睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點所在位置，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析【解析】（1）求出曲線的斜率，切點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，18、（1）12（2）18【解析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項公式，要求前12項絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項為正項，后6項為負(fù)項，因此在算和的時候，后6項和可以取原通項公式的相反數(shù)即可計算，即為，然后再加上前6項和，即為要求的前12項絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項公式為，所以即19、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，將邊化角轉(zhuǎn)化，即可求得；（2）利用余弦定理，結(jié)合（1）中所求，即可求得.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，所以20、（1）見解析；（2），預(yù)測加工10個零件大約需要8.05小時【解析】（1）由題意描點作出散點圖；（2）根據(jù)題中的公式分別求和，即得，令代入求出的值即可.【詳解】（1）散點圖（2），，，∴，，∴回歸直線方程：，令，得，∴預(yù)測加工10個零件大約需要8.05小時.【點睛】本題主要考查了散點圖，利用最小二乘法求線性回歸方程，考查了學(xué)生基本作圖能力和運算求解能力.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是邊長為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因為面面，面面，，面，所以平面，因為面，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因為，所以，因為面，所以平面.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再運用導(dǎo)數(shù)求