安徽省重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

安徽省重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-12．若圓與直線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或3．設(shè)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.4．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C. D.45．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.816．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線(xiàn)的距離為，則（）A.5 B.25C. D.7．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.8．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線(xiàn)，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④10．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，左焦點(diǎn)為F，實(shí)軸右端點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形11．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.12．已知圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)生到某工廠(chǎng)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個(gè)大圓柱中挖去一個(gè)小圓柱后的剩余部分（兩個(gè)圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______g.（?。?4．如圖，橢圓左頂點(diǎn)為軸上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且線(xiàn)段與橢圓交于點(diǎn)是以為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率為_(kāi)_________.15．點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)__________.16．寫(xiě)出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫(xiě)出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話(huà)精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開(kāi)展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽．為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓C1與拋物線(xiàn)C2：y2=2px（p>0）在第一象限的交點(diǎn)為Q，已知.（1）求的面積（2）求拋物線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.20．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）圓的圓心為，且與直線(xiàn)相切，求：（1）求圓的方程；（2）過(guò)的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，如果，求直線(xiàn)的方程22．（10分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點(diǎn)F在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).（1）若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)F滿(mǎn)足，求平面與平面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以故選：A.2、D【解析】利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線(xiàn)相切，則到直線(xiàn)的距離為，所以，解得，或.故選：D.3、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，故所求切線(xiàn)的傾斜角為.故選：C4、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長(zhǎng)為.故選：B5、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A6、B【解析】由漸近線(xiàn)方程得到，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為：，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為：焦點(diǎn)到它的一條漸近線(xiàn)的距離為：解得：故選：B7、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線(xiàn)向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.8、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線(xiàn)由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A9、C【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)椋?，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，因?yàn)?，，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C10、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A11、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D12、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒(méi)有公共點(diǎn)，則有或，即或，又，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故答案：4500.14、##【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)?，故，，且在軸的正半軸上，則在第二象限中，故，代入橢圓方程有：即，故，故答案為：.15、【解析】設(shè)與平行的直線(xiàn)與相切，求解出此時(shí)的方程，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值可根據(jù)平行直線(xiàn)間的距離公式求解出.【詳解】設(shè)與平行的直線(xiàn)，當(dāng)與橢圓相切時(shí)有：，所以，所以，所以，由題意取時(shí)，到直線(xiàn)的距離較小此時(shí)與（即）的距離為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，故答案為：.16、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線(xiàn)為，根據(jù)離心率可得，結(jié)合雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)符合要求的雙曲線(xiàn)方程，進(jìn)而寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線(xiàn)為且，∴，則，故為其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為.故答案為：，(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問(wèn)1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，由橢圓的定義可得，結(jié)合余弦定理可得出的值，從而可得面積.(2)設(shè),根據(jù)的面積結(jié)合橢圓的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)可得答案.【小問(wèn)1詳解】由橢圓方程知a=2，b=1，，設(shè)，則即，求得所以的面積為【小問(wèn)2詳解】設(shè)由（1）中，得又，，所以代入拋物線(xiàn)方程得，所以所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題21、（1）（2）或【解析】由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，求得弦長(zhǎng)為，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離，再由垂徑定理列式求，則直線(xiàn)方程可求【小問(wèn)1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，得，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即圓心到直線(xiàn)的距離，則，解得直線(xiàn)的方程為直線(xiàn)的方程為或22、（1）F為BD的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)