2025屆吉林省高中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆吉林省高中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.132．在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.5．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為30．則正確的個(gè)數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.06．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒(méi)有并列名次），和去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)說(shuō)“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種7．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.8．一部影片在4個(gè)單位輪流放映，每個(gè)單位放映一場(chǎng)，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種9．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.310．函數(shù)的圖象如圖所示，是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A B.C. D.11．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.12．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.144二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列14．直線與直線間的距離為___________.15．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，則的周長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.16．直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為，則直線方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在橢圓上（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，）作一直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求直線的斜率；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)18．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.19．（12分）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：（1）；（2）；（3）與相交.20．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）21．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，由，得，則.故選：C.2、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對(duì)大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.3、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.5、B【解析】對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對(duì)于②，若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故②錯(cuò)誤對(duì)于③，對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個(gè)故選：B6、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問(wèn)題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.7、A【解析】由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，求解即可【詳解】由題意，，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上故焦距故選：A8、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C9、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.10、A【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定正確選項(xiàng).【詳解】，表示兩點(diǎn)連線斜率，表示在處切線的斜率；表示在處切線的斜率；根據(jù)圖象可知，.故選：A11、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因?yàn)閷?duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對(duì)恒成立，必須滿足.故選：D12、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件②寫出一個(gè)等比數(shù)列，再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列，令，當(dāng)時(shí)，，，是遞增數(shù)列，令是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，且，若，，成等差數(shù)列，則，即，則有，顯然、都是正整數(shù)，，都是偶數(shù)，于是得是奇數(shù)，從而有不成立，即，，不成等差數(shù)列，數(shù)列不成等差數(shù)列，所以.故答案為：14、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.15、【解析】作點(diǎn)分別關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性即可求出三角形周長(zhǎng)的最小值，利用三點(diǎn)共線求出的坐標(biāo).【詳解】如圖所示：定點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)與直線和的交點(diǎn)分別為時(shí)，此時(shí)的周長(zhǎng)取最小值，且最小值為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，即點(diǎn).故答案為：.16、【解析】直線斜率不存在不滿足題意，即設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出的值，即可求出直線方程.【詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為.原點(diǎn)到直線l的距離為，即直線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出橢圓的方程，再利用點(diǎn)差法求解；（2）由題得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)和韋達(dá)定理得到，即得證.【小問(wèn)1詳解】解：由題設(shè)橢圓的方程為因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所以橢圓的方程為.設(shè)，所以，所以，由題得，所以，所以，所以，所以直線的斜率為.【小問(wèn)2詳解】解：由題得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組y=kx+nx24所以，解得①，設(shè)，，，，則②，因?yàn)?，則，，，又，，所以③，由②③可得（舍或滿足條件①，此時(shí)直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過(guò)點(diǎn)建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，計(jì)算與后再求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問(wèn)2詳解】由已知可得，當(dāng)直線AB或DE有一條的斜率不存在時(shí)，可得，或，，此時(shí)有或.當(dāng)AB和DE的斜率都存在時(shí)且不為0時(shí)，設(shè)直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.19、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算；（2）根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算；（3）根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，解得或又時(shí)，直線，，兩直線不重合；時(shí)，直線，，兩直線不重合；故或；【小問(wèn)2詳解】，，解得或；【小問(wèn)3詳解】與相交故由（1）得且.20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算推理作答.(2)插入所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項(xiàng)中包含數(shù)列前9項(xiàng)，數(shù)列前41項(xiàng)，所以.22、（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，進(jìn)而應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離