2025屆河北省衡水市高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆河北省衡水市高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或3．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知橢圓及以下3個(gè)函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)5．已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.3C.5 D.76．直線的方向向量為（）A. B.C. D.7．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，8．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b29．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.10．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.11．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.12．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱(chēng)為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為_(kāi)_____cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為_(kāi)_____(單位：cm)14．已知函數(shù)，則_________15．甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)，則兩船中有一艘在?？坎次粫r(shí)、另一艘船必須等待的概率為_(kāi)_____.16．若不同的平面的一個(gè)法向量分別為，，則與的位置關(guān)系為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線軸，垂足為H，，圓N過(guò)點(diǎn)O，與l的公共點(diǎn)的軌跡為（1）求的方程；（2）過(guò)M的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，求18．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn).（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：直線面.19．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：PB∥面AEC；（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.20．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，且（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知橢圓．離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，直線：與x軸相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；②證明：直線過(guò)定點(diǎn)G，并求點(diǎn)G的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓方程，所以，設(shè)，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A2、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.3、D【解析】由題意得當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，又，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個(gè)單位，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，作出其大致圖象得，當(dāng)時(shí)，由得，或，由圖可知，若對(duì)任意，都有，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題4、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②滿(mǎn)足題意,對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.6、D【解析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個(gè)方向向量，因?yàn)?，所以向量為直線的方向向量，故選：D7、B【解析】由空間向量?jī)?nèi)容知，構(gòu)成基底的三個(gè)向量不共面，對(duì)選項(xiàng)逐一分析【詳解】對(duì)于A：，因此A不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿(mǎn)足題意.故選：B8、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問(wèn)題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來(lái)進(jìn)行求解.9、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B10、A【解析】由題意設(shè)直線方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線上求參數(shù)即可得方程.【詳解】由題設(shè)，令直線方程為，所以，可得.所以直線方程為.故選：A.11、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.12、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，則，，設(shè)異面直線與所成角為（），則.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿(mǎn)足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿(mǎn)足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.14、【解析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計(jì)算可得的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.15、【解析】利用幾何概型的面積型概率計(jì)算，作出邊長(zhǎng)為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設(shè)甲乙兩艘輪船到達(dá)的時(shí)間分為，則，記事件為兩船中有一艘在?？坎次粫r(shí)、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)概率模型的抽象成面積型.16、平行【解析】根據(jù)題意得到，得出，即可得到平面與的位置關(guān)系.【詳解】由題意，平面的一個(gè)法向量分別為，，可得，所以，所以，即平面與的位置關(guān)系為平行.故答案為：平行三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出圓N與l的公共點(diǎn)坐標(biāo)，再探求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并由圓的性質(zhì)列出方程化簡(jiǎn)即得.(2)設(shè)出直線AB的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合已知條件并借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為圓N與l的公共點(diǎn)，而直線軸，垂足為H，則，又，，于是得，因O，P在圓N上，即，則有，化簡(jiǎn)整理得：，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為，，由消去x并整理得：，則，因?yàn)?，則點(diǎn)A到x軸距離是點(diǎn)B到x軸距離的2倍，即，由解得或，則有，因此有，所以.18、（1）平面AEC，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問(wèn)1詳解】連接BD，設(shè)，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點(diǎn)，則.因?yàn)橹本€OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問(wèn)2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，根據(jù)三角形中位線證明BP∥EO即可；(2)根據(jù)三棱錐P－ABD的體積求出AB長(zhǎng)度，過(guò)A作AH⊥BP于H，可證AH即為要求的距離，根據(jù)直角三角形等面積法即可求AH長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO.∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB，又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.【小問(wèn)2詳解】，又V＝，可得AB＝2.在面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作交于.由題設(shè)易知平面，∴故平面，由等面積法得：，∴點(diǎn)A到平面的距離為.20、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小?wèn)2詳解】，所以，，所以.所以21、（1）；（2）是定值，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意有，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形有，即可寫(xiě)出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理即有，已知應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式即可說(shuō)明的面積是否為定值；【詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程：，整理得，設(shè)，則，，，，原點(diǎn)到的距離，為定值；【點(diǎn)睛】本