專題23動點與角度計算55道經(jīng)典題型專訓(xùn)（9大題型）

專題23動點與角度計算55道經(jīng)典題型專訓(xùn)（9大題型）【題型目錄】題型一與線段動點有關(guān)問題題型二線段動點中求定值問題題型三在圖形中運動的問題題型四動角有關(guān)問題題型五三角板中角度計算問題題型六幾何圖形中角度計算問題題型七實際問題中角度計算問題題型八角平分線的有關(guān)計算題型九角n等分線的有關(guān)計算【經(jīng)典題型一與線段動點有關(guān)問題】1．（2022上·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線向左運動，到達(dá)點A處即停止運動．

(1)若點C，D的速度分別是，．①當(dāng)動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達(dá)中點時，點D也剛好到達(dá)的中點，則_________；(2)若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運動時間為，則，再根據(jù)線段中點的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運動時間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運動時間為，則，∵當(dāng)點到達(dá)中點時，點也剛好到達(dá)的中點，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運動時間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了與線段有關(guān)的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的邊上有一動點P，從距離O點18cm的點M處出發(fā)，沿線段，射線運動，速度為3cm/s：動點Q從點O出發(fā)，沿射線運動，速度為2cm/s，點P、Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間是t（s）．

(1)當(dāng)點P在上運動時，t為何值，能使？(2)若點Q運動到距離O點16cm的點N處停止，在點Q停止運動前，點P能否追上點Q？如果能，求出t的值；如果不能，請說出理由；(3)若P、Q兩點不停止運動，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時，它們相距1cm．【答案】(1)(2)不能，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后由可得關(guān)于t的方程，解方程即得答案；（2）先計算點Q停止運動時用的時間，然后求出點P運動的路程，再比較即得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得：，由此構(gòu)建關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）運動時間是t（s）時，，若，則，解得：；（2）點Q停止運動時，用的時間為秒，此時點P運動的路程為，，∴點P不能追上點Q；（3）當(dāng)P、Q均在射線上，它們相距1cm時，根據(jù)題意得：，即，解得：或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、善于動中取靜、得到相關(guān)線段關(guān)于t的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點，，、兩點分別從、出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線向左運動（在線段上，在線段上），運動的時間為．(1)當(dāng)時，，請求出的長；(2)若、運動到任一時刻時，總有，請求出的長(3)在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由題意，當(dāng)時，，，則，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分類討論，當(dāng)點在線段上時和點在的延長線上時，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)、的運動速度知：，，則，∵，∴，即，∴，，∴，則；（2）根據(jù)、的運動速度知：∵，∴，即，∴；（3）當(dāng)點在線段上時，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；當(dāng)點在的延長線上時，．綜上所述，或12cm．【點睛】本題考查線段的和差運算，動點問題，數(shù)形結(jié)合，理解圖形中的等量關(guān)系式解題的關(guān)鍵．4．（2022上·吉林長春·七年級長春外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D①，點C在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點C是線段的“巧點”．(1)①一條線段的中點__________這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）②若線段，C是線段的“巧點”，則_________．（用含m的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）(2)如圖②，A、B為數(shù)軸上兩點，點A所表示的數(shù)為，點B所表示的數(shù)為20．動點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿向終點B勻速移動．點Q從點B出發(fā)，以每秒的速度沿向終點A勻速移動，點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時運動停止，若設(shè)移動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，點Q恰好是線段的“巧點”．【答案】(1)①是；②或或(2)10或或或15或或【分析】（1）①由中點可知這條線段的長度等于中點分出的線段長度的2倍，結(jié)合“二倍點”的定義進(jìn)行判斷；②由“二倍點”的定義知當(dāng)點C是線段的“二倍點”時，可分，，三種情況，根據(jù)計算，即可求解；（2）由題意知，然后分兩類討論：當(dāng)點P在點Q的左側(cè)時，當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時，結(jié)合“巧點”的定義，求解即可．【詳解】（1）解∶①根據(jù)題意得：這條線段的長度等于中點分出的線段長度的2倍，∴一條線段的中點是這條線段的“巧點”；故答案為：是②線段，C是線段的“巧點”，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述，或或；故答案為：或或（2）解∶∵點A所表示的數(shù)為，點B所表示的數(shù)為20，∴，根據(jù)題意得：點P所對應(yīng)的數(shù)為，點Q所對應(yīng)的數(shù)為，當(dāng)時，點P，Q相遇，當(dāng)點P在點Q的左側(cè)時，，，此時，若，則有，解得：；若，則有，解得：；若，則有，解得：；當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時，，，此時，若，則有，解得：；若，則有，解得：；若，則有，解得：；綜上所述，當(dāng)t為10或或或15或或時，點Q恰好是線段的“巧點”．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段間的數(shù)量關(guān)系，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2022上·全國·七年級專題練習(xí)）已知：數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別為、、，點為原點，且、、滿足．(1)直接寫出、、的值；(2)如圖1，若點從點出發(fā)以每秒1個單位的速度向右運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位的速度向右運動，點從點出發(fā)以每秒2個單位的速度向右運動，點、、同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為秒，為何值時，點到點、的距離相等；(3)如圖2，若點從點出發(fā)以每秒1個單位的速度向左運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位的速度向左運動，點，同時出發(fā)開始運動，點為數(shù)軸上的一個動點，且點始終為線段的中點，設(shè)運動時間為秒，若點到線段的中點的距離為3時，求的值．【答案】(1)6；2；1(2)1或5(3)3或7【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列出方程進(jìn)行解答便可；（2）先用t的代數(shù)式分別表示出點到點、的距離，再由點到點、的距離相等列出t的方程便可；（3）用t的代數(shù)式表示P點，再根據(jù)中點公式用t表示D點和K點，再由兩點距離公式由列出t的方程進(jìn)行解答便可．【詳解】（1）解：．，，，，，；（2）解：由題意得，或，解得，或，為或時，點到點、的距離相等；（3）解：由題意知，點表示的數(shù)為：，是的中點，表示的數(shù)為：，是的中點，點表示的數(shù)為：，，，或7．【點睛】此題考查了數(shù)軸，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出各線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，此題閱讀量較大應(yīng)細(xì)心分析．6．（2022上·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）已知：數(shù)軸上有點A，表示的數(shù)為a，且滿足關(guān)于x的方程為一元一次方程．?dāng)?shù)軸上還存在線段和線段（點M始終在點N左邊，點P始終在點Q左邊）．(1)當(dāng)三點重合，且，時，求的值及所表示的數(shù)．(2)如圖，若線段的中點為，線段的中點為，求的值．(3)在（1）的條件下，點M從A點出發(fā)，使線段以1個單位每秒的速度向右勻速運動，點P從A點出發(fā)，使線段以3個單位每秒的速度向右勻速運動，當(dāng)點P與點N重合時，線段以原速返回向左運動，當(dāng)點Q與點M相遇時，線段再次以原速向右運動……當(dāng)點N所表示的數(shù)為時，求點P與點N共相遇了多少次？【答案】(1)；點表示的數(shù)為；點表示的數(shù)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可求出的值，由三點重合，，可得，，進(jìn)而可求出點所表示的數(shù)；（2）由線段的中點為，線段的中點為可得：，；再通過線段的和差關(guān)系可得，即可得出結(jié)果；（3）計算出從點與點第一次重合到點與點第二次重合所需時間為秒；即從點與點第一次重合后的每秒，點與點相遇一次；依次計算即可；【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程為一元一次方程∴解得：∵三點重合∴，∴點表示的數(shù)為：；點表示的數(shù)為：（2）解：∵線段的中點為，線段的中點為∴，∴∴（3）解：在（1）的條件下表示的數(shù)為，當(dāng)點所表示的數(shù)為時；∴線段的總運動時間為：（秒）點與點第一次重合所用時間為：（秒）從點與點第一次重合到點與點第二次重合所需時間為：（秒）即從點與點第一次重合后的每秒，點與點相遇一次；故點與點共相遇：（次）答：當(dāng)點所表示的數(shù)為時，求點與點共相遇了次．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、線段的和差關(guān)系、圖形運動中的周期規(guī)律；熟練掌握上述基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2022上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點A表示的數(shù)是______；(2)若點P從點B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當(dāng)時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．【答案】(1)6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點運動了秒時，分情況列方程求解即可．【詳解】（1）AB=12，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，點表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點運動了秒時，①當(dāng)點在點左側(cè)時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點在點右側(cè)時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運動了秒或秒時．【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．8．（2022上·貴州黔西·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀】我們知道，數(shù)軸上原點右側(cè)的數(shù)是正數(shù)，越往右走，數(shù)字越大，原點左側(cè)則相反．于是，我們可以假設(shè)：若點P從原點出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向以每秒3個單位長度的速度運動，則t秒后點P表示的數(shù)是；反之，若點P從原點出發(fā)，沿數(shù)軸的負(fù)方向以每秒2個單位長度的速度運動，則t秒后點P表示的數(shù)是．【探究】已知數(shù)軸上兩點表示的數(shù)分別為，且分別為．(1)如圖1，若點P和點Q分別從點同時出發(fā)，都沿數(shù)軸的負(fù)方向運動，點P的運動速度為每秒2個單位長度，點Q的運動速度為每秒6個單位長度，設(shè)運動的時間為t秒．①t秒后，點P表示的數(shù)是_______，點Q表示的數(shù)是________；②當(dāng)兩點之間的距離為4時，則t的值為_______．(2)如圖2，若點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向以每秒2個單位長度的速度運動，到點B時停止運動，分別是線段的中點，則在運動過程中，線段的長度是否為定值？若是，請直接寫出線段的長度；若不是，請說明理由．【答案】(1)①，；②4或2(2)線段的長度為定值，6【分析】（1）①根據(jù)題意即可直接用t表示出點P所表示的數(shù)和點Q所表示的數(shù)；②由①可求出，再根據(jù)，即得出，解出t即可；（2）由分別為線段的中點，即得出，即可得出．求出，即可求出；【詳解】（1）①點P表示的數(shù)是，點Q表示的數(shù)是，故答案為：，；②因為點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，∵∴，解得：或2；（2）（2）線段的長度為定值，的長度為6．∵分別為線段的中點，∴，∴．∵，∴．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，線段的中點以及解絕對值方程．用t表示出點所表示的數(shù)和兩點之間的距離是解題關(guān)鍵．9．（2023上·山西太原·七年級?？计谀┤鐖D，直線上有，，，四個點，，，．

(1)線段______(2)動點，分別從A點，點同時出發(fā)，點沿線段以3/秒的速度，向右運動，到達(dá)點后立即按原速向A點返回；點沿線段以1/秒的速度，向左運動；點再次到達(dá)A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為（單位：秒）①求，兩點第一次相遇時，運動時間的值；②求，兩點第二次相遇時，與點A的距離．【答案】(1)(2)8、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點第一次相遇時，，兩點所走的路程之和是的長列方程即可求解；②根據(jù)，兩點第二次相遇時，點所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長為．（2）①，兩點第一次相遇時根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點第一次相遇時，運動時間的值是8秒；②由（1）得當(dāng)，兩點第二次相遇時：解得：秒故，兩點第二次相遇時，與點A的距離是20【點睛】本題考查了兩點之間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．10．（2022上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝_______；（2）設(shè)AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當(dāng)點D在線段AB上運動，求的值；②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當(dāng)點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運動的時間為t秒，表示出線段長即可得到結(jié)論；②分和兩種情況，根據(jù)三等分點求出BD的長，進(jìn)而求出運動時間，求出MD、NB的長即可．【詳解】解：（1）圖形補充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），設(shè)運動的時間為t秒，cm，cm，，②當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運動時間為：18÷3=6（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運動時間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【點睛】本題考查了線段的計算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練表示出線段長．【經(jīng)典題型二線段動點中求定值問題】11．（2023上·江西撫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足．

(1)______，______，______．(2)點P從點A出發(fā)，以秒的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸向左勻速運動，兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點A時，點P，Q停止運動．當(dāng)時，點Q運動到的位置恰好是線段的中點，求點Q的運動速度；（注：點O為數(shù)軸原點）(3)在（2）的條件下，當(dāng)點P運動到線段上時，分別取和的中點E，F(xiàn)．請問：的值是否隨著時間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)，1，7(2)點Q的運動速度是或者(3)不變，值為2【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性以及平方的非負(fù)性，得，的值，結(jié)合b是最小的正整數(shù)，即可得的值；（2）先求出點Q，此時，再進(jìn)行分類討論，當(dāng)點P在上時或當(dāng)點P在上時，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系以及路程等于時間乘速度等知識進(jìn)行列式，即可作答；（3）易得，，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得，再代入，化簡即可作答．【詳解】（1）解：因為所以，因為b是最小的正整數(shù)，所以；（2）解：∵點Q運動到的位置恰好是線段OA的中點，∴點Q表示的數(shù)是，此時，由，可分兩種情況：①當(dāng)點P在上時，得，此時；∴點P運動的時間為，∴點Q的運動速度；②當(dāng)點P在上時，得，此時，∴點P的運動時間是，∴點Q的運動速度，綜上，點Q的運動速度是或者；（3）解：不變，理由如下：設(shè)運動時間為t秒，此時，，∵點E是的中點，∴，∵點F是的中點，，∴，∴，

．∴．【點睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點間的距離，數(shù)軸上的動點問題，線段之間的和差關(guān)系等知識內(nèi)容，涉及分類討論，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知，點C、D分別為線段、上的動點，若點C從點O出發(fā)以的速度沿方向運動，同時點D從點B出發(fā)以的速度沿方向運動．

(1)如圖1，當(dāng)運動時間為時，求的值；(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使，點P是直線OB上一點，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）設(shè)運動時間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結(jié)果即可；（3）當(dāng)點P在O、B之間時，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當(dāng)點P在點B右邊時，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)運動時間為時，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設(shè)運動時間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點P在點O右邊，當(dāng)點P在O、B之間時，∴，∵，∴，∴，∴．

當(dāng)點P在點B右邊時，∵，，∴，∴；綜上，或．【點睛】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．13．（2023上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是a，點B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點C，滿足，求點C表示的數(shù)；(3)動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動；動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動；動點M從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．【答案】(1)8，(2)(3)的值不會發(fā)生變化，詳見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根據(jù)題意可得依題意得：，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案為：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴點C表示的數(shù)為；（3）解：的值不會發(fā)生變化，依題意得：，∴，，∴，∴的值不會發(fā)生變化．【點睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和與差，數(shù)軸上的動點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．14．（2021上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)），若．（1）求線段，的長；（2）若點，分別為線段，的中點，，求線段的長；（3）當(dāng)運動到某一時刻時，點與點重合，點是線段的延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正確，，見解析【分析】（1）利用兩個非負(fù)數(shù)和為0，可得每個非負(fù)數(shù)為0，可求，即可；（2）分類考慮當(dāng)點在點的右側(cè)和點在點的左側(cè)時，利用中點可求AM，DN，利用線段和差求AD，可求MN=ADAMDN即可；（3）利用PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC即可．【詳解】解：（1）由，，，得，，所以，；（2）當(dāng)點在點的右側(cè)時，如圖，因為點，分別為線段，的中點，，所以，，又因為，所以，當(dāng)點在點的左側(cè)時，如圖，因為點，分別為線段，的中點，所以，，所以所以．綜上，線段的長為9；（3）②正確，且．理由如下：因為點與點重合，所以，所以，所以，所以．【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點，線段和差，線段的比問題，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點，線段和差，線段的比，關(guān)鍵是利用線段和差PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC．15．（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒．(1)P在線段AB上運動，當(dāng)時，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【分析】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24x，PB=242x代入2BMBP后，化簡即可得出結(jié)論；（3）利用，，，，再根據(jù)MN=PMPN即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)是線段AP的中點，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側(cè)．∵，，，，∴，所以MN的長度無變化是定值．【點睛】本題是動點問題，考查了兩點間的距離，解答的關(guān)鍵是用含時間x的式子表示出各線段的長度．【經(jīng)典題型三在圖形中運動的問題】16．（2022上·江蘇淮安·七年級校考階段練習(xí)）知識準(zhǔn)備：如圖①，點P在以點O為圓心的圓上，若點P用時5分鐘在圓上繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一圈，此時點P剛好繞點O旋轉(zhuǎn)一個周角，即360度，則稱此時點P繞點O的旋轉(zhuǎn)速度為：度/分鐘．解決問題：如圖②，A、B兩點相距60厘米，點O在線段上且厘米，角度，點Q從點B沿直線向點A勻速運動．（1）在點Q運動的同時點P繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點P第一次運動到直線上時恰好與點Q相遇，求點Q的速度．（2）若點Q運動的同時，點O也以3厘米/分鐘的速度向點B運動，同時點P仍然以45度/分鐘的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P第二次運動到直線上時恰好與點Q相遇，求此時點Q的速度．

【答案】（1）18厘米/分鐘；（2）22厘米/分鐘【分析】（1）根據(jù)題意可求出點P的運動時間，由點P第一次運動到直線上時恰好與點Q相遇，即得出點Q的運動時間與點P的運動時間相等，再求出點Q運動的距離，最后由速度=路程÷時間求解即可；（2）求出點P的運動時間，即得出點O的運動時間和點Q的運動時間，從而可求出點O的運動距離，再求出點Q的運動距離，最后根據(jù)速度=路程÷時間求解即可．【詳解】解：（1）∵，點P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，∴點P的運動時間為：分鐘．∵點P第一次運動到直線上時恰好與點Q相遇，∴點Q的運動時間為2分鐘，且此時點Q運動的距離為厘米，∴點Q的速度為厘米/分鐘；（2）當(dāng)點P第二次運動到直線上時，點P繞點O順時針旋轉(zhuǎn)了，∴此時點P的運動時間為：分鐘．∵點O也以3厘米/分鐘的速度向點B運動，∴點O的路程為厘米．∵點P第二次運動到直線上時恰好與點Q相遇，∴點Q的運動時間為6分鐘，且此時點Q運動的距離為厘米，∴點Q的速度為厘米/分鐘．【點睛】本題考查線段上的動點問題，解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運用和掌握速度=路程÷時間．17．（2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）操作與探究：（1）已知：如圖線段長為，點從點A以的速度向點運動，點運動時間為，則______，______（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點以的速度從A點沿著運動，運動時間為，用含的式子表示______拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，動點從點出發(fā)，沿著線段向點運動，速度為，、同時出發(fā)，運動時間為．其中一點到達(dá)終點，另一個點也停止運動．當(dāng)點在上運動時，為何值時，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根據(jù)點P運動的速度及的長，即可解答；(2)根據(jù)點P運動的速度及、的長，即可解答；(3)分兩種情況，列出方程即可分別求解．【詳解】解：（1）線段長為，點從點A以的速度向點運動，，，故答案為：，；（2），，動點以的速度從A點沿著運動，當(dāng)點P在上時，，當(dāng)點P在上時，，故答案為：或；（3）當(dāng)點在點的左邊時，，即，，解得，當(dāng)點在點的右側(cè)時，，，解得，故為11或13時，．【點睛】本題考查了動點問題，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023上·河北石家莊·七年級?？计谀┰谥苯侨切沃校?，，，點從點開始以的速度沿的方向移動，點從點開始以的速度沿的方向移動．如果點同時出發(fā)，用表示移動時間，那么：(1)如圖1，請用含t的代數(shù)式表示（不用帶單位）：①當(dāng)點在上時，______；②當(dāng)點在上時，______；③當(dāng)點在上時，______；④當(dāng)點在上時，______；(2)如圖2，若點在線段上運動，點在線段上運動，當(dāng)時，試求出的值；(3)點到達(dá)點時，，兩點都停止運動．請直接寫出當(dāng)時的值．【答案】(1)；；；(2)2(3)或【分析】（1）根據(jù)三角形的邊長，點的運動速度解答即可；（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可；（3）分點在線段上運動，點在線段上運動；點在線段上運動，點在線段上運動；點在線段上運動，點在線段上運動三種情況列出方程，解方程即可．【詳解】（1）①當(dāng)點在上時，；②當(dāng)點在上時，；③當(dāng)點在上時，；④當(dāng)點在上時，；（2）解：由題意得，，解得（3）解：∵∴當(dāng)點在線段上運動，點在線段上運動時，，解得；當(dāng)點在線段上運動，點在線段上運動時，，解得；當(dāng)點在線段上運動，點在線段上運動時，，解得（不合題意）；綜上：或時．【點睛】此題主要考查了三角形的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是掌握點在三角形的各邊上的運動情況．19．（2022上·江蘇鹽城·七年級?？计谥校┤鐖D，點A、點B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段稱作互為圓周率伴侶線段(1)若，則______；(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達(dá)點C的位置(3)若點M、N均為線段的圓周率點，求線段的長度；(4)在圖2中，點P、Q分別從點O、C位置同時出發(fā)，分別以每秒3個單位長度、每秒2個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒．當(dāng)點P在點C左側(cè)時，P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構(gòu)成線段的圓周率點，請求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點的定義及相關(guān)線段的大小比較即可解題；（3）由題意可知，點C表示的數(shù)是，設(shè)M點離O點近，且，根據(jù)題意可得關(guān)于x的一元一次方程，求解即可；（4）根據(jù)題意分類討論計算即可：①點P在點C左側(cè)，；②點P在點C左側(cè)，．【詳解】（1）解：由題意得，∴，∵，∴；（2）解：如圖，∵，當(dāng)時，，，即點也是圖1中線段的圓周率點，與的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：；（3）解：由題意可知，點C表示的數(shù)是，∵點M、N均為線段的圓周率點，不妨設(shè)M點離O點近，且，∴，∴，解得：，∴，∴；（4）解：由題意可知，點P、C、Q所表示的數(shù)分別為：，當(dāng)P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構(gòu)成線段的圓周率點時，①如圖①，點P在點C左側(cè)，∵，，∴；如圖②，點P在點C左側(cè)，∵，∴，∴；綜上所述，t的值為或．【點睛】本題考查了一元一次方程在新定義類動點問題中的應(yīng)用，有一定綜合性，通過數(shù)形結(jié)合并分類討論，是解題的關(guān)鍵．20．（2022上·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知長方形ABCD的長米，寬米，x，y滿足，一動點P從A出發(fā)以每秒1米的速度沿著運動，另一動點Q從B出發(fā)以每秒2米的速度沿運動，P，Q同時出發(fā)，運動時間為t．(1)______________，______________．(2)當(dāng)時，求的面積；(3)當(dāng)P，Q都在DC上，且PQ距離為1時，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和乘方的非負(fù)性，即可求解；（2）根據(jù)題意得：當(dāng)t=4.5時，點P在CD上，DP=0.5米，點Q剛好到達(dá)點D處，可得米，再由，即可求解；（3）當(dāng)P，Q都在DC上，可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)P左Q右時，當(dāng)Q左P右時，即可求解．【詳解】（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案為：5，4；（2）解：當(dāng)t=4.5時，P走過的路程為4.5米，此時點P在CD上，DP=0.5米，Q走過的路程為9米，剛好到達(dá)點D處，∴米，∴平方米；（3）解：點P在DC上，，點Q在DC上，，∴，當(dāng)P左Q右時，，，∴，∴，解得：當(dāng)Q左P右時，，，∴，∴，解得，不符題意，舍去．綜上，滿足題意的．【點睛】本題主要考查了動點問題，涉及絕對值和平方式的非負(fù)性，三角形面積的求解，解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵題意用時間t表示出線段長度，列式求出t的值．【經(jīng)典題型四動角有關(guān)問題】21．（2021上·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期末）已知，，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時，求的值；(2)如圖2，當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會因的變化而變化？若不變化，請求出該定值；若變化，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時，．【答案】(1)(2)不變，(3)【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和的度數(shù)，然后根據(jù)求解；（2）首先由題意得，再根據(jù)角平分線的定義得，，然后由角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)題意得，故，解方程即可求出的值．【詳解】（1）解：因為平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根據(jù)題意，得：，則，．因為平分，平分，所以，，所以；（3）解：根據(jù)題意，得，所以，解得，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，．【點睛】本題考查的是角的和與差、角平分線定義，對角的和與差及角平分線定義的理解是解題關(guān)鍵．22．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上兩點之間的距離可以用右邊的點表示的數(shù)減去左邊的點表示的數(shù)來計算．如圖，數(shù)軸與數(shù)軸交于原點，且所夾銳角是．點，在數(shù)軸上，點，在數(shù)軸上．已知點是數(shù)軸上的一個動點，點是數(shù)軸上的一個動點，點，表示的數(shù)分別是，點，表示的數(shù)分別是．若點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．請完成下列問題：

(1)當(dāng)點運動到與點，的距離相等時，______；當(dāng)點運動到與點，的距離相等時，______；(2)當(dāng)點運動到與點的距離是它到點的距離的2倍，點運動到與點的距離是它到點的距離的2倍時，試求出，的值；(3)在（2）的條件下，若數(shù)軸以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，請直接寫出第秒時，的度數(shù)．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)或；或(3)或【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點間的距離公式列出方程進(jìn)行求解即可；（3）分表示的數(shù)分別為和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；，解得，故答案為：（2）當(dāng)點在點左側(cè)時：，解得：；當(dāng)點在點右側(cè)時：，解得：；綜上：或；當(dāng)點在點上方時：，解得：；當(dāng)點在點下方時：，解得：；綜上：或；（3）設(shè)第秒時，數(shù)軸轉(zhuǎn)到了如圖所示的位置，點，點轉(zhuǎn)到，點轉(zhuǎn)到，

由圖可知：，；綜上：或．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，幾何圖形中角度的計算．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，列出一元一次方程，理清角之間的和差關(guān)系．23．（2022上·北京海淀·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，，，OM，ON分別是，的角平分線．

(1)若，，當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)至射線OB與OC重合時（如圖2），則的大小為_______；

(2)在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時（如圖3），求的大小并說明理由．

(3)在繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，________．（用含，的式子表示）【答案】(1)(2)，理由見解析．(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可求得，，結(jié)合，即可求得答案．（2）根據(jù)角平分線的定義可求得，，結(jié)合，即可求得答案．（3）需要分三種情況討論：射線OB與OC重合；射線OB在OC下方；射線OB在OC上方．【詳解】（1）∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．故答案為：．（2）∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．（3）①如圖所示，射線OB與OC重合．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．②如圖所示，射線OB在OC下方．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．③如圖所示，射線OB在OC上方．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．綜上所述，．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的角平分線的定義，能采用分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．24．（2021下·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，將兩塊直角三角板的角和一個角的頂點疊放在一起，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的直角邊始終在的內(nèi)部，在旋轉(zhuǎn)過程中

(1)若時，______°；(2)善于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，①和②的度數(shù)均各為一個定值，請你寫出這兩個定值，定值：①______；②______．(3)作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值；若變化，請求出變化的范圍．【答案】(1)9(2)，；(3)【分析】（1）由角的和差關(guān)系可得：，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（2）由在的內(nèi)部，如圖，，，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（3）由角平分線的定義可得，，結(jié)合（1）得：，（2）得：，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）∵在的內(nèi)部，如圖，

∴；∴；（3）∵，分別平分和，

∴，，∵由（1）得：，由（2）得：，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的動態(tài)定義，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運算是解本題的關(guān)鍵．25．（2023下·江西上饒·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，點A，O，依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度轉(zhuǎn)動，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度轉(zhuǎn)動，直線保持不動，如圖2，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為秒．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)．(2)在轉(zhuǎn)動過程中是否存在，使得射線與射線垂直？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)或27時，射線與射線垂直．【分析】（1）根據(jù)題意，求出和的度數(shù)，即可得到的度數(shù)；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時，分別求解，即可得到的值．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，；（2）由題意可知，，，，①如圖，當(dāng)時，此時，，

，解得：；②如圖，當(dāng)時，此時，

，解得：；綜上可知，當(dāng)或27時，射線與射線垂直．【點睛】本題考查了垂線，一元一次方程的應(yīng)用，角的計算等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．26．（2023上·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）（1）探究：在①，②，③，④，⑤中，樂樂同學(xué)只利用一副三角板能畫出來的角是；__________（填序號）

（2）在探究過程中他發(fā)現(xiàn)：如圖1，他先用三角板畫出了直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（的頂點與角（的頂點互相重合，且邊都在直線上．固定三角板不動，將三角板繞點按順時針方向每秒旋轉(zhuǎn)（如圖2），當(dāng)邊第一次落在射線上時停止．在此過程中，若旋轉(zhuǎn)時間為秒，請用表達(dá)下列角度．__________．__________．（3）在此過程中，是否存在一個時間（秒），使？若存在，請求出所有符合題意的的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①④；（2）；（3）存在，當(dāng)或時，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運用角的和與差的計算，只要是15°的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度=旋轉(zhuǎn)速度乘以旋轉(zhuǎn)時間以及角的和差即可得出答案；（3）當(dāng)在內(nèi)時和在外部時，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴、和不能寫成、、、的和或差，故畫不出；故選①④；（2）（3）存在時間，使，理由如下：由題意得：，①當(dāng)在內(nèi)時，如圖所示，

解得，，符合題意；②當(dāng)在外部時，如圖．所示

解得，，符合題意；當(dāng)或時，．【點睛】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．27．（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進(jìn)一步求出，由角平分線的定義得到，進(jìn)而可得；（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，則；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由題意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．28．（2023上·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，O為直線上一點，過點O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時是否平分？說明理由；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由．【答案】(1)；平分，理由見解析(2)的值為或【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進(jìn)而求出時間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分；（2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前,當(dāng)平分時，，則,解得：，結(jié)論：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

則，∴，∴，當(dāng)停止時,平分,則有,

∴,綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題.29．（2018·甘肅蘭州·七年級統(tǒng)考期末）以直線上一點O為端點作射線，使，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：）

(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______°；(2)如圖2，將直角三角板繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若恰好平分，請說明所在射線是∠的平分線；(3)如圖3，將三角板繞點O逆時針轉(zhuǎn)動到某個位置時，若恰好，求的度數(shù)？【答案】(1)(2)見解析(3)的度數(shù)為或．【分析】（1）根據(jù)，，即可得；（2）根據(jù)平分得，根據(jù)得，，則，即可得；（3）設(shè)，則，有兩種情況：①OD在∠AOC內(nèi)部時，根據(jù)，，得，進(jìn)行計算得，即，即可得；②在的內(nèi)部時，根據(jù)，，，，得，進(jìn)行計算得，即，根據(jù)得，綜上，即可得．【詳解】（1）解：∵，又∵，∴，故答案為：；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴所在射線是的平分線；（3）解：設(shè)，則，有兩種情況：①如圖1，在∠AOC內(nèi)部時，

∵，，，∴，解得，即，∴；②如圖2，在的內(nèi)部時，

∵，，，，，∴，解得：，即，∵，∴，∴的度數(shù)為或．【點睛】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是分類討論，列出一元一次方程．30．（2022上·廣東珠海·七年級統(tǒng)考期末）已知是直線上的一點，是直角，平分．

(1)在圖1中，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，且保持射線在直線上方，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是多少時，？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定義，以及角平分線平分角進(jìn)行求解即可；（2）利用平角的定義，以及角平分線平分角進(jìn)行求解即可；（3）分點在直線上方和下方，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵是直角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）同法（1）可得：，即：；（3）設(shè)，則，∵平分，∴，①當(dāng)點在直線上方時：

，∵，∴，解得：；②當(dāng)點在直線下方時：

，∵，∴，解得：；綜上：當(dāng)?shù)亩葦?shù)是或時，．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的計算．正確的識圖，理清角之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型五三角板中角度計算問題】31．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點放置，且，，．將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，點在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時，點在的延長線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)三角板得到，，根據(jù)角平分線的定義求出，，相加可得結(jié)果；（2）求出、，利用角平分線的定義得到，，最后根據(jù)得出結(jié)果；（3）①求出，根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)果；②求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再加上和即可得解．【詳解】（1）解：如圖所示：，，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分別平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角板中的角度運算，角的和差，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析，得出每個小問中的的構(gòu)成．32．如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)，以及角的和差計算即可；（2）①先求，再利用得出結(jié)論；②分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，解答即可．【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案為：；．（2）解：①∵，，∴，∵射線是的角平分線，∴，∴，∵，∴；故答案為：；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，如圖所示：設(shè)，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解題的關(guān)鍵．33．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的直角頂點放在點處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時，求此時直角繞點的運動時間的值．【答案】(1)90(2)，理由見解析(3)22.5秒或58.5秒【分析】（1）根據(jù)，先求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的位置即可作答；（2）由圖可知，，兩式相減即可作答；（3）分兩種情況討論即可作答：當(dāng)射線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：；當(dāng)射線的反向延長線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：，問題隨之得解．【詳解】（1），，，，由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為：90．（2），，，即關(guān)系為：；（3）所在直線恰好平分，順時針旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)射線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：,即：（秒），當(dāng)射線的反向延長線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：，（秒）所以直角繞點的運動時間是22.5秒或58.5秒．【點睛】本題主要考查學(xué)生對幾何中心旋轉(zhuǎn)知識點的掌握，綜合運用幾何性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決問題的能力．要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運用到考試中去．掌握旋轉(zhuǎn)中角度的變化以及旋轉(zhuǎn)反向是解答本題的關(guān)鍵．34．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點F在線段的延長線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到的度數(shù)，再用即可；（2）①由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，分情況討論：當(dāng)是銳角時，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；當(dāng)是鈍角時，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：①，分別為，的角平分線，，，；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，分兩種情況：（Ⅰ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；（Ⅱ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查了角度的計算，利用角平分線定義和角的和差是解題關(guān)鍵，注意要分情況討論．35．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個過程時間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時在直線的右側(cè)，請問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板也繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時兩三角板同時停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時平分．【答案】(1)9(2)，仍成立．理由見解析(3)①，，②秒【分析】（1）繞過的角度為，據(jù)此除以旋轉(zhuǎn)速度，即可作答；（2）、在直線的異側(cè)，用很含式子表示出與，即可作答；、在直線的右側(cè)，同理可證明；（3）①根據(jù)題意直接列式即可；②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：（秒），故答案為：9；（2）∵，，，，、在直線的異側(cè)，如圖2所示，∵，，∴，∴即，、在直線的右側(cè)，仍成立．理由如下：如圖3所示，∵，，∴；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)旋轉(zhuǎn)t秒時，，,∴．②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解得：．答：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為秒時，平分．【點睛】本題考查三角形綜合題、三角形板中的角度的計算、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【經(jīng)典題型六幾何圖形中角度計算問題】36．如圖，點O在直線EF上，點A、B與點C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是可得的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)在下方時；當(dāng)在上方時，計算即可；（3）由，，設(shè)，則，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用表達(dá)出的度數(shù)，求出與的度數(shù)．【詳解】（1）平分，，，．（2）當(dāng)在下方時，

平分，，，，，，．當(dāng)在上方時，

平分，，，，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，．【點睛】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的性質(zhì)等知識，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．37．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)圖見解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，

即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，

，，綜上所述，的大小為或或或．【點睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．點為直線上一點，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點作射線，使為的角平分線，若時，則________，________；(2)如圖二，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當(dāng)時，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據(jù)求出，利用角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出，根據(jù)進(jìn)行求解即可；②同①法，進(jìn)行計算即可；（3）分在內(nèi)部和在外部兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的角平分線，∴，∴；故答案為：；（2）①解：∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴，②∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴；故答案為：；（3）①當(dāng)在內(nèi)部時，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，②當(dāng)在外部時，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴；綜上：的度數(shù)是或；故答案為：或．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關(guān)計算．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，理清角之間的和差關(guān)系．39．如圖，點在同一條直線上，從點引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請直接寫出的大?。敬鸢浮?1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)的角度可得出和的度數(shù)，由此可得出和的度數(shù)，根據(jù)和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②分當(dāng)時和當(dāng)時，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，；（2）解：①如圖1，

，當(dāng)時，則，，，，，，，，；②或．如圖2，當(dāng)時，

，，，，，解得；如圖3，當(dāng)時，

，，，，，解得，綜上所述，的大小為或．【點睛】本題主要考查了角的計算，涉及分類討論的思想，由圖得出角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時，請?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時，過點作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的度數(shù)是或．【分析】（1）根據(jù)已知條件，和是直角，可得出和與的關(guān)系式，再根據(jù)與和列出等量關(guān)系，即可得出答案；（2）根據(jù)已知條件，可設(shè)，則，再根據(jù)周角的關(guān)系可得到的等量關(guān)系，再根據(jù)，可得到的等量關(guān)系式，由、和可列出等量關(guān)系，即可得到答案；（3）分兩種情況，當(dāng)射線在內(nèi)部時，由，可得出結(jié)果，當(dāng)射線在外部時，由，可得出結(jié)果．【詳解】（1），理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（3）存在，當(dāng)射線在內(nèi)部時，∵，∴，當(dāng)射線在外部時，∵，∴，綜上所述，的度數(shù)是或．【點睛】此題考查了角的計算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型七實際問題中角度計算問題】41．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時，在圖中畫出的一個“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時，射線繞點O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時，則________°．【答案】(1)①③(2)見解析(3)60或80(4)或【分析】（1）分別求出和后判斷是否符合（k為正整數(shù)）；（2）先求出的度數(shù)，再任意畫出一個符合題意的角即可；（3）先求出的所有可能性，再分別求出的度數(shù)；（4）分兩種情況分別討論．【詳解】（1）當(dāng)時，，，①符合題意；當(dāng)時，，，②不符合題意；當(dāng)是的角平分線，，③符合題意；故答案為①③．（2）∵，，∴，如下圖：（3）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，∴應(yīng)逆時針旋轉(zhuǎn)，∵當(dāng)時，射線繞點O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，∴可取，，，，當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；故答案為：60或80．（4）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，①：如圖，；②：如圖，，∵，∴，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了用新定義計算角的和差，正確理解“倍銳角”是解題的關(guān)鍵．42．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α(2)t=秒，4秒，5秒【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運用的時間為t秒，則PM運用后有，，然后對PM和PQ的運動情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運動時間，即可得到答案．【詳解】（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運動前∠MPN＝120°，設(shè)運用的時間為t秒，則PM運用后有，，①當(dāng)時，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點睛】本題考查了新定義的角度運算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運動狀態(tài)，運用分類討論的思想進(jìn)行分析．43．如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動°；時針每分鐘轉(zhuǎn)動°；（2）當(dāng)與在同一直線上時，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或【分析】（1）由題意根據(jù)分針每60分鐘轉(zhuǎn)動一圈，時針每12小時轉(zhuǎn)動一圈進(jìn)行分析計算；（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據(jù)此進(jìn)行分析計算；（3）根據(jù)題意分當(dāng)時以及當(dāng)時兩種情況進(jìn)行分析求解.【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)動：；時針每分鐘轉(zhuǎn)動：.故答案為：6，0．5.（2）當(dāng)與在同一直線上時，時針轉(zhuǎn)了度，即分針轉(zhuǎn)了度，即∴解得，∴的值為．（3）①當(dāng)時，∵∴∴；②當(dāng)時，∵∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.【點睛】本題考查鐘表角的實際應(yīng)用，根據(jù)題意熟練掌握并運用方程思維進(jìn)行分析是解答此題的關(guān)鍵.44．借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，請按題意補全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.【分析】（1）根據(jù)三角板的特殊性角的度數(shù)，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和；（2）依題意設(shè)∠2＝x，列等式，解方程求出即可；（3）依據(jù)題意求出∠BOM,∠COM,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.【詳解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；答：由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是150°；故答案為75；（2）設(shè)∠2＝x，則∠1＝3x+30°，∵∠1+∠2＝90°，∴x+3x+30°＝90°，∴x＝15°，∴∠2＝15°，答：∠2的度數(shù)是15°；（3）如圖所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，∵OE為∠BOM的平分線，OF為∠COM的平分線，∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°，∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°．【點睛】本題主要考查了三角板各角的度數(shù)、角平分線的性質(zhì)及列方程解方程在幾何中的應(yīng)用，熟記概念是解題的關(guān)鍵.45．分類討論是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，如果一道題提供的已知條件中包含幾種情況，我們可以分情況討論來求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．情況①?若x=2，y=3時，x+y=5情況②若x=2，y=﹣3時，x+y=﹣1情況③若x=﹣2，y=3時，x+y=1情況④若x=﹣2，y=﹣3時，x+y=﹣5所以，x+y的值為1，﹣1，5，﹣5．幾何的學(xué)習(xí)過程中也有類似的情況：問題（1）：已知點A，B，C在一條直線上，若AB=8，BC=3，則AC長為多少？通過分析我們發(fā)現(xiàn)，滿足題意的情況有兩種情況①?當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖1，此時，AC=情況②當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，如圖2，此時，AC=通過以上問題，我們發(fā)現(xiàn)，借助畫圖可以幫助我們更好的進(jìn)行分類．問題（2）：如圖3，數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)分別是﹣1和2，點C是數(shù)軸上一點，且BC=2AB，則點C表示的數(shù)是多少？仿照問題1，畫出圖形，結(jié)合圖形寫出分類方法和結(jié)果．問題（3）：點O是直線AB上一點，以O(shè)為端點作射線OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度數(shù)．畫出圖形，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）11，5；（2）點C表示的數(shù)為﹣4或8；（3）①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時，30°；②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時，150°.【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，②當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，分別依據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，②當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，分別依據(jù)BC=2AB進(jìn)行計算；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時，②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時，分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算．【詳解】解：（1）滿足題意的情況有兩種：①?當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖1，此時，AC=AB+BC=8+3=11；②當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，如圖2，此時，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；故答案為11，5；（2）滿足題意的情況有兩種：①?當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，如圖，此時，BC=2AB=2（2+1）=6，∴點C表示的數(shù)為2﹣6=﹣4；②當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖，BC=2AB=2（2+1）=6，∴點C表示的數(shù)為2+6=8；綜上所述，點C表示的數(shù)為﹣4或8；（3）滿足題意的情況有兩種：①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時，如圖，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時，如圖，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，垂線的定義以及角的計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，解題時注意分類討論思想的運用．【經(jīng)典題型八角平分線的有關(guān)計算】46．定義：從的頂點P引一條射線（不與重合），若，則稱射線為關(guān)于邊的補線．

(1)下列說法：①一個角關(guān)于某邊的補線一定在這個角的外部；②一個角關(guān)于某邊的補線一定有2條；③一個角關(guān)于某邊的補線有1條或2條，其中正確的是；（填序號）(2)如圖，O是直線上一點，射線，在同側(cè)，是的平分線，則是關(guān)于邊的補線嗎？為什么？(3)已知射線為關(guān)于邊的補線，是的平分線．若，試用含α的式子表示（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)③(2)是關(guān)于邊的補線，理由見解答(3)可以表示為或或或【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)是的平分線，得出，求出，根據(jù)不與重合，結(jié)合補線定義進(jìn)行判斷即可；（3）分情況討論：當(dāng)為鈍角，且在內(nèi)部時，當(dāng)為鈍角，且在外部時，當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時，當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時，當(dāng)為銳角，且在外部，當(dāng)為直角時，只能在的外部，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)這個角是鈍角時，它的補線一條在內(nèi)部，鄰補的在外部；②當(dāng)這個角是直角時，它的補線只有1條；③當(dāng)這個角是直角時，它的補線只有1條，當(dāng)這個角不是直角時，有兩條；故答案為：③；（2）解：是關(guān)于邊的補線，理由如下：∵是的平分線，∴，∵，∴，又∵不與重合，∴是關(guān)于邊的補線．（3）解：當(dāng)為鈍角，且在內(nèi)部時，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴．當(dāng)為鈍角，且在外部時，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴．當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴；當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；當(dāng)為銳角，且在外部，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；當(dāng)為直角時，只能在的外部，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；綜上分析可知：可以表示為或或．【點睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義，數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．47．如圖，點O在直線上，在同一平面內(nèi)，以O(shè)為頂點作直角．射線、射線分別平分、．(1)如圖1，當(dāng)時，________，________．(2)如圖1，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)直接寫出圖2和圖3中，與的數(shù)量關(guān)系．圖2：__________；圖3：__________．【答案】(1)，(2)，理由見詳解(3)，【分析】（1）根據(jù)角平分的定義即可求解；（2）根據(jù)（1），可得，問題得解；（3）圖2，先表示出，，再根據(jù)角平分線可得，問題隨之得解；圖3，由，可得，根據(jù)，，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）∵射線、射線分別平分、，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下：在（1）中有：，，，∴；（3）圖2中，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∵射線、射線分別平分、，∴，，∴，∵，，∴；圖3中，，理由如下：∵，∴，∵射線、射線分別平分、，∴，，∵，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平角為，以及角度的計算，理清圖中各個角直角的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．48．（1）【特例感知】如圖1，已知線段，，點C和點D分別是，的中點．若，則________cm；（2）【知識遷移】我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度數(shù)；②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）【類比探究】如圖3，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若，，，，求∠COD的度數(shù)．（用含有k的式子表示計算結(jié)果）．【答案】（1）24；（2）①90°；②．理由見詳解；（3）．【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．點C和點D分別是，的中點，得，，那么，進(jìn)而解決此題．（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分別平分和，得，，進(jìn)而解決此題．②與①同理可證．（3）由，可得，，，所以，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵點C和點D分別是，的中點，∴，，∴．∴．故答案為：24．（2）①∵和分別平分和，∴，．∴．又∵，，∴．∴．∴．②．理由如下：∵和分別平分和，∴，．∴．∴．（3）∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查線段中點以及角平分線的定義，熟練掌握線段中點以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．49．點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線