專題30與圓有關(guān)的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專題30與圓有關(guān)的位置關(guān)系【專題目錄】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算【題型】三、確定圓的條件【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進(jìn)行計算【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、利用切線長定理進(jìn)行計算【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系【考綱要求】1.了解直線和圓的位置關(guān)系，并會判斷直線和圓的位置關(guān)系．2.了解點和圓的位置關(guān)系，并會判斷點和圓的位置關(guān)系．3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)．4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).【考點總結(jié)】一、點、線與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r,某一點到圓心的距離為d,那么:（1）點在圓外?d>r;（2）點在圓上?d=r;（3）點在圓內(nèi)?d<r.2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r3.切線的性質(zhì)與判定（1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4.*切線長定理（1）切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長.（2）定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【技巧歸納】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法類型一：點與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法1)定義法1．如圖，在網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)選取9個格點(格線的交點稱為格點)．如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為()A．2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D．5<r<eq\r(29)(第1題)2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3eq\r(5)，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD的長為半徑的圓，那么下列判斷正確的是()A．點B，C均在圓P外B．點B在圓P外，點C在圓P內(nèi)C．點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外D．點B，C均在圓P內(nèi)eq\a\vs4\al(方法2)比較法3．⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線l的距離OD＝3cm，在直線l上有P，Q，R三點，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三點與⊙O的位置關(guān)系各是怎樣的？類型二：直線與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法3)交點個數(shù)法4．已知直線l經(jīng)過⊙O上的A，B兩點，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．無法確定eq\a\vs4\al(方法4)距離比較法5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以點C為圓心，4cm為半徑畫⊙C，試判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．(第5題)6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊只有一個公共點，求R的取值范圍．(第6題)技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型類型一：應(yīng)用于求線段的長1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若AE＝4，cosA＝eq\f(2,5)，求DF的長．(第1題)類型二：應(yīng)用于求三角函數(shù)值2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點B，交BC于另一點F.(1)求證：CD與⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．(第2題)類型三：應(yīng)用于求圓的半徑3．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA，CD的延長線相交于點E.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．(第3題)類型四：應(yīng)用于求圖形的面積4．如圖，AB為⊙O的直徑，D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，連接OD交弦AC于點F，過點D作DE∥AC，交BA的延長線于點E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)連接CD，若OA＝AE＝4，求四邊形ACDE的面積．(第4題)技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法類型一：作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A，D在半圓O上，頂點B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半圓O的直徑上，點G在大正方形的邊AB上．若小正方形的邊長為4cm，求該半圓的半徑．(第1題)類型二：連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線與圓交于D點，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足為H.求證：AP＝BH.(第2題)類型三：作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．(第3題)類型四：證切線時輔助線作法的應(yīng)用4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．(第4題)類型五：遇弦加弦心距或半徑5．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)(第5題)(第6題)6．如圖，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于點H，點P是優(yōu)弧上一點，若AB＝2eq\r(3)，OH＝1，則∠APB＝________.類型六：遇直徑巧加直徑所對的圓周角7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D是BC的中點．(1)求證：△ABC為等邊三角形；(2)求DE的長．(第7題)類型七：遇切線巧作過切點的半徑8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)已知PA＝eq\r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(第8題)類型八：巧添輔助線計算陰影部分的面積9．如圖，點B，C，D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq\r(3)cm.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)求由弦CD，BD與eq\o(BC,\s\up8(︵))所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．(第9題)【題型講解】【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系例1、若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定例2、已知⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算例3、有一題目：“已知；點為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（）A．淇淇說的對，且的另一個值是115°B．淇淇說的不對，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，應(yīng)得50°D．兩人都不對，應(yīng)有3個不同值例4、過三點（2，2），（6，2），（4，5）的圓的圓心坐標(biāo)為（）A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）【題型】三、確定圓的條件例5、如圖，、為⊙O的切線，切點分別為A、B，交于點C，的延長線交⊙O于點D．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線例6、如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點，線段交于點M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系例7、如圖，中，，，，以點為圓心，為半徑作，當(dāng)時，與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進(jìn)行計算例8、如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°例9、如圖，AB是的切線，A切點，連接OA，OB，若，則的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°例10、如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°例11、如圖，△ABC內(nèi)接于圓，，過點的切線交的延長線于點．則（）A． B． C． D．例12、如圖，分別與⊙O相切于兩點，，則()A． B． C． D．【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合例13、如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長．例14、如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O與相交于點，過點作⊙O的切線交于點．（1）求證：；（2）若⊙O的半徑為，，求的長．【題型】七、利用切線長定理進(jìn)行計算例15、如圖，P為⊙外一點，PA、PB分別切⊙于A、B兩點，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5例16、如圖，PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，PO的延長線交圓O于點D，下列結(jié)論不一定成立的是()A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算例17、如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9例18、如圖，內(nèi)心為，連接并延長交的外接圓于，則線段與的關(guān)系是（）A． B． C． D．不確定【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算例19、如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（）A． B． C． D．例20、如圖，AB為⊙O的直徑，點C，點D是⊙O上的兩點，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°例21、如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系例22、已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長是（）A．11 B．10 C．9 D．8例23、如果兩個圓的圓心距為3，其中一個圓的半徑長為4，另一個圓的半徑長大于1，那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交與圓有關(guān)的位置關(guān)系（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（3，5）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則tan∠ACM的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知⊙O上三點A、B、C，連接AB、AC、OB、OC，切線BD交OC的延長線于點D，∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如圖，的內(nèi)接四邊形中，，則為（

）A． B． C． D．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°5．如圖，的直徑與弦的夾角為25°，過點C的切線與的延長線交于P，則的度數(shù)為（

）°．A．25 B．30 C．35 D．406．下列說法正確的是（）A．為調(diào)查全國人民對糧食的關(guān)注度，應(yīng)采用全面調(diào)查B．“三點確定一個圓”是必然事件C．成語“水中撈月”是隨機事件D．隨意擲一枚5角錢幣，落地后每一面向上的機會一樣二、填空題7．如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點C．若∠BCD＝50°，則∠ABC的大小為______°．8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是______．三、解答題9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB=AC；（2）求證：DE是⊙O的切線；（3）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，則DE=________．10．如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．與圓有關(guān)的位置關(guān)系（提升測評）一、單選題1．如圖，四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．2．如圖，，分別與相切于點，，過圓上點作的切線分別交，于點，，若，則的周長是（

）A． B． C． D．3．如圖，的內(nèi)切圓與各邊相切于，，，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．如圖，已知圓心角，則圓周角（

）A． B． C． D．5．下列事件中，不是隨機事件的是（

）A．函數(shù)中，當(dāng)時，y隨x的增大而減小B．平分弦的直線垂直于弦C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．的半徑為5，若點P在外，則6．如圖，、分別與相切于、，，為上一點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，是半圓的直徑，點是弧的中點，若，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，點D，E分別為邊上的中點，延長交于點F，若，則（

）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，是的直徑，、為上的點，若，則______°．10．如圖，是的內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)是_____度．三、解答題11．如圖，四邊形中，，點E是邊上一點，且平分，作的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長．12．如圖，在中，，是的平分線，是上一點，以為半徑的經(jīng)過點．(1)求證：是切線；(2)若，，求的長．專題30與圓有關(guān)的位置關(guān)系【專題目錄】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算【題型】三、確定圓的條件【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進(jìn)行計算【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、利用切線長定理進(jìn)行計算【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系【考綱要求】1.了解直線和圓的位置關(guān)系，并會判斷直線和圓的位置關(guān)系．2.了解點和圓的位置關(guān)系，并會判斷點和圓的位置關(guān)系．3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)．4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).【考點總結(jié)】一、點、線與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r,某一點到圓心的距離為d,那么:（1）點在圓外?d>r;（2）點在圓上?d=r;（3）點在圓內(nèi)?d<r.2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r3.切線的性質(zhì)與判定（1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4.*切線長定理（1）切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長.（2）定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【技巧歸納】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法類型一：點與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法1)定義法1．如圖，在網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)選取9個格點(格線的交點稱為格點)．如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為()A．2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D．5<r<eq\r(29)(第1題)2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3eq\r(5)，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD的長為半徑的圓，那么下列判斷正確的是()A．點B，C均在圓P外B．點B在圓P外，點C在圓P內(nèi)C．點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外D．點B，C均在圓P內(nèi)eq\a\vs4\al(方法2)比較法3．⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線l的距離OD＝3cm，在直線l上有P，Q，R三點，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三點與⊙O的位置關(guān)系各是怎樣的？類型二：直線與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法3)交點個數(shù)法4．已知直線l經(jīng)過⊙O上的A，B兩點，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．無法確定eq\a\vs4\al(方法4)距離比較法5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以點C為圓心，4cm為半徑畫⊙C，試判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．(第5題)6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊只有一個公共點，求R的取值范圍．(第6題)答案1．B2.C3．解：如圖，連接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，(第3題)∴OP＝eq\r(PD2＋OD2)＝eq\r(42＋32)＝5(cm)＝r.∴點P在⊙O上．∵QD＝5cm，∴OQ＝eq\r(QD2＋OD2)＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)(cm)>5cm＝r.∴點Q在⊙O外．∵RD＝3cm，∴OR＝eq\r(RD2＋OD2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)(cm)<5cm＝r.∴點R在⊙O內(nèi)．4．B5．解：直線BD與⊙C相交．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8cm.∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4eq\r(3)cm.由三角形的面積公式得eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝2eq\r(3)cm.∵2eq\r(3)cm<4cm，∴直線BD與⊙C相交．6．解：本題應(yīng)分兩種情況討論．一種情況是：如圖①，以C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相切，過點C作CD⊥AB于點D，則CD＝R.由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.由三角形的面積公式，得S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，解得R＝CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝2.4.另一種情況是：如圖②，點A在圓內(nèi)，以點C為圓心，R為半徑的圓與斜邊AB相交于一點，那么R應(yīng)滿足AC<R≤BC，即3<R≤4.綜上所述，R的取值范圍為R＝2.4或3＜R≤4.(第6題)技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型類型一：應(yīng)用于求線段的長1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若AE＝4，cosA＝eq\f(2,5)，求DF的長．(第1題)類型二：應(yīng)用于求三角函數(shù)值2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點B，交BC于另一點F.(1)求證：CD與⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．(第2題)類型三：應(yīng)用于求圓的半徑3．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA，CD的延長線相交于點E.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．(第3題)類型四：應(yīng)用于求圖形的面積4．如圖，AB為⊙O的直徑，D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，連接OD交弦AC于點F，過點D作DE∥AC，交BA的延長線于點E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)連接CD，若OA＝AE＝4，求四邊形ACDE的面積．(第4題)答案1．(1)證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G.(第1題)∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∴DF是⊙O的切線．(2)解：∵OG⊥AE，∴AG＝eq\f(1,2)AE＝2，∵cosA＝eq\f(AG,OA)，∴OA＝eq\f(AG,cosA)＝eq\f(2,\f(2,5))＝5.∴OG＝eq\r(OA2－AG2)＝eq\r(21).∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，∴四邊形OGFD為矩形，∴DF＝OG＝eq\r(21).2．(1)證明：過點O作OG⊥DC，垂足為G，如圖所示．[第2(1)題]∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.在△ADO和△GDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAD＝∠OGD，,∠ADO＝∠GDO，,OD＝OD，))∴△ADO≌△GDO.∴OA＝OG.∴CD與⊙O相切．(2)解：如圖，連接OF.[第2(2)題]∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝eq\f(1,2)BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF＝eq\r(OE2＋EF2)＝13.∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,2).3．(1)證明：如圖，連接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.(第3題)又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切線，∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴CD是⊙O的切線．(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝r，OE＝r＋1，∵CD是⊙O的切線，∴∠EDO＝90°.∴ED2＋OD2＝OE2.∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4.∴⊙O的半徑為4.4．(1)證明：∵D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，∴OD⊥AC.∵AC∥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線．(2)解：如圖，∵D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，∴AF＝CF，∵AC∥DE，且OA＝AE，(第4題)∴F為OD的中點，即OF＝FD，在△AFO和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝CF，,∠AFO＝∠CFD，,OF＝DF，))∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD.∴S四邊形ACDE＝S△ODE.在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4，∴OE＝8，∴DE＝eq\r(OE2－OD2)＝4eq\r(3)，∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝eq\f(1,2)×OD×DE＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3).技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法類型一：作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A，D在半圓O上，頂點B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半圓O的直徑上，點G在大正方形的邊AB上．若小正方形的邊長為4cm，求該半圓的半徑．(第1題)類型二：連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線與圓交于D點，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足為H.求證：AP＝BH.(第2題)類型三：作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．(第3題)類型四：證切線時輔助線作法的應(yīng)用4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．(第4題)類型五：遇弦加弦心距或半徑5．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)(第5題)(第6題)6．如圖，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于點H，點P是優(yōu)弧上一點，若AB＝2eq\r(3)，OH＝1，則∠APB＝________.類型六：遇直徑巧加直徑所對的圓周角7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D是BC的中點．(1)求證：△ABC為等邊三角形；(2)求DE的長．(第7題)類型七：遇切線巧作過切點的半徑8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)已知PA＝eq\r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(第8題)類型八：巧添輔助線計算陰影部分的面積9．如圖，點B，C，D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq\r(3)cm.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)求由弦CD，BD與eq\o(BC,\s\up8(︵))所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．(第9題)答案1．解：如圖，連接OA，OF.設(shè)OA＝OF＝rcm，AB＝acm.(第1題)在Rt△OAB中，r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋a2，在Rt△OEF中，r2＝42＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(a2,4)＋a2＝16＋16＋4a＋eq\f(a2,4).解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2)＋82＝80.∴r1＝4eq\r(5)，r2＝－4eq\r(5)(舍去)．即該半圓的半徑為4eq\r(5)cm.點撥：在有關(guān)圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題．2．證明：如圖，連接AD，BD.(第2題)∵∠DAC，∠DBC都是eq\o(DC,\s\up8(︵))所對的圓周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAP＝∠DBH，,∠DPA＝∠DHB＝90°，,DP＝DH.))∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.點撥：本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件．3．(1)證明：如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.(第3題)∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵)).∴BC＝AE.在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.(2)解：如圖，過點O作OF⊥AD于點F.∵弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝eq\f(\r(26),2).∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O為DE的中點，∴OF＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，即點O到AD的距離為eq\f(1,2).點撥：本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個直角三角形，給解題帶來了方便．4．解：CD與⊙O相切，理由如下：如圖，作⊙O的直徑CE，連接AE.(第4題)∵CE是⊙O的直徑，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．5．C6.60°(第7題)7．(1)證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵點D是BC的中點，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC為等邊三角形．(2)解：如圖，連接BE.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等邊三角形，∴AE＝EC，即E為AC的中點．又∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線．∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1.8．(1)證明：如圖，連接OB，∵OA＝OB，(第8題)∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．(2)解：如圖，連接OP，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．∵OA＝OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．∴OP為線段AB的垂直平分線．又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半徑為1.(第9題)9．(1)證明：如圖，連接CO，交DB于點E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵點C在⊙O上，∴AC是⊙O的切線．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝eq\f(1,2)DB＝3eq\r(3)cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OB.∵EB＝3eq\r(3)cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S陰影＝S扇形COB＝eq\f(60,360)π·62＝6π(cm2)．【題型講解】【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系例1、若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定【答案】A【提示】先根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），∴AP==4＜5，∴點P在⊙A內(nèi)，故選A．例2、已知⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷【答案】A【提示】已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時，點P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r=d時，點P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時，點P在⊙O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【詳解】∵⊙O的半徑為5，若PO＝4，∴4＜5，∴點P與⊙O的位置關(guān)系是點P在⊙O內(nèi)，故選：A．【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算例3、有一題目：“已知；點為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（）A．淇淇說的對，且的另一個值是115°B．淇淇說的不對，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，應(yīng)得50°D．兩人都不對，應(yīng)有3個不同值【答案】A【提示】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A還應(yīng)有另一個不同的值∠A′與∠A互補．故∠A′＝180°?65°＝115°．故選：A．例4、過三點（2，2），（6，2），（4，5）的圓的圓心坐標(biāo)為（）A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）【答案】A【提示】根據(jù)題意，可知線段AB的線段垂直平分線為x=4，然后由C點的坐標(biāo)可求得圓心的橫坐標(biāo)為x=4，然后設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)勾股定理可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)勾股定理可知：，解得r=，因此圓心的縱坐標(biāo)為，因此圓心的坐標(biāo)為（4，）.故選A【題型】三、確定圓的條件例5、如圖，、為⊙O的切線，切點分別為A、B，交于點C，的延長線交⊙O于點D．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【提示】連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，∵B，C為切點，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．例6、如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點，線段交于點M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【提示】由切線長定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】解：如圖，是的兩條切線，故①正確，故②正確，是的兩條切線，取的中點，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯誤，綜上：正確的說法是個，故選C．【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系例7、如圖，中，，，，以點為圓心，為半徑作，當(dāng)時，與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【提示】根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當(dāng)時，與的位置關(guān)系是：相切故選：B【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進(jìn)行計算例8、如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【提示】利用切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAC及∠OAB即可解決問題．【詳解】解：∵AC與⊙O相切于點A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB＝＝25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故選：B．例9、如圖，AB是的切線，A切點，連接OA，OB，若，則的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【提示】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出.【詳解】∵AB是的切線∴∵∴故選D.例10、如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【提示】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故選：B．例11、如圖，△ABC內(nèi)接于圓，，過點的切線交的延長線于點．則（）A． B． C． D．【答案】B【提示】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.例12、如圖，分別與⊙O相切于兩點，，則()A． B． C． D．【答案】C【提示】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，結(jié)合四邊形AOBP的內(nèi)角和為360°，即可推出∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理，即可推出∠C的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OB，

∵直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∵∠P=72°，

∴∠AOB=108°，

∵C是⊙O上一點，

∴∠ACB=54°．

故選：C．【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合例13、如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）【提示】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，再根據(jù)AD⊥DC，和半徑線段即可證明AC是∠DAB的角平分線；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明Rt△ADC∽Rt△ACB，對應(yīng)邊成比例即可求出AC的長．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝例14、如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O與相交于點，過點作⊙O的切線交于點．（1）求證：；（2）若⊙O的半徑為，，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）4.8．【提示】（1）連接OD，由AB=AC，OB=OD，則∠B=∠ODB=∠C，則OD∥AC，由DE為切線，即可得到結(jié)論成立；（2）連接AD，則有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面積公式，即可求出DE的長度．【詳解】解：連接OD，如圖：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切線，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）連接AD，如（1）圖，∵AB為直徑，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中線，∴CD=BD=，∠ADC=90°，∵AB=AC=，由勾股定理，得：，∵，∴；【題型】七、利用切線長定理進(jìn)行計算例15、如圖，P為⊙外一點，PA、PB分別切⊙于A、B兩點，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根據(jù)切線長定理即可得到答案.【詳解】因為PA和PB與⊙相切，根據(jù)切線長定理，所以PA＝PB＝3，故選B.例16、如圖，PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，PO的延長線交圓O于點D，下列結(jié)論不一定成立的是()A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【提示】先根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時，AB平分PD，由此可判斷D不一定成立．【詳解】∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切線，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時，AB平分PD，所以D不一定成立，故選D．【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算例17、如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【提示】先利用勾股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案.【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，∴OE=OF=r，∴S四邊形AEOF=r2，連接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四邊形AEOF=r2=4，故選A.例18、如圖，內(nèi)心為，連接并延長交的外接圓于，則線段與的關(guān)系是（）A． B． C． D．不確定【答案】A【提示】連接，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，，再根據(jù)圓周角定理得到，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明，從而可判斷．【詳解】連接，如圖，內(nèi)心為，，，，，即，．故選A．【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算例19、如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)，為中點求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【詳解】∵為中點，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故選：A．例20、如圖，AB為⊙O的直徑，點C，點D是⊙O上的兩點，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°【答案】B【提示】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則∠B＝50°，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故選：B．例21、如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】B【提示】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，故選：B．【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系例22、已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長是（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【提示】通過外切、內(nèi)切的性質(zhì)，列出方程組求解．【詳解】設(shè)⊙A的半徑為X,⊙B的半徑為Y,⊙C的半徑為Z.解得故選C例23、如果兩個圓的圓心距為3，其中一個圓的半徑長為4，另一個圓的半徑長大于1，那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交【答案】C【提示】首先利用一個圓的半徑為4，另一個圓的半徑大于1來求得兩圓的半徑之差的范圍，然后根據(jù)圓心距d與兩半徑的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵一個圓的半徑R為4，另一個圓的半徑r大于1，∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5即：R﹣r＜3，∵圓心距為3，∴兩圓不可能外切，故選：C．與圓有關(guān)的位置關(guān)系（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（3，5）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則tan∠ACM的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點為D，連接MD，過點C作CE⊥MD于點E，可知MD⊥x軸，從而AC∥MD，∠ACM=∠CME，根據(jù)M的坐標(biāo)求出ME的長，利用正切的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】圖，設(shè)切點為D，連接MD，過點C作CE⊥MD于點E，∵AB為直徑的圓與x軸相切，∴MD⊥x軸，∴AC∥MD，∴∠ACM=∠CME，∵M(jìn)（3，5）即MD=MC=5，OD=CE=3，∴,∴,故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知⊙O上三點A、B、C，連接AB、AC、OB、OC，切線BD交OC的延長線于點D，∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBD=90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余計算出∠D的度數(shù)．【詳解】解：∵BD為切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．3．如圖，的內(nèi)接四邊形中，，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C，點D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可求出∠C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一個外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度數(shù)可能是：125°，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵．5．如圖，的直徑與弦的夾角為25°，過點C的切線與的延長線交于P，則的度數(shù)為（

）°．A．25 B．30 C．35 D．40【答案】D【分析】連接OC，證明，利用，求出，即可求出．【詳解】解：連接OC，∵PC切⊙O與點C，∴，∵，∴，∴．故選：D【點睛】本題考查圓周角定理，切線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出，．6．下列說法正確的是（）A．為調(diào)查全國人民對糧食的關(guān)注度，應(yīng)采用全面調(diào)查B．“三點確定一個圓”是必然事件C．成語“水中撈月”是隨機事件D．隨意擲一枚5角錢幣，落地后每一面向上的機會一樣【答案】D【分析】根據(jù)隨機抽樣分類：抽樣調(diào)查及全面調(diào)查及定義，事件分類：必然事件、隨機事件及不可能事件及相關(guān)事件定義，概率定義逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、為調(diào)查全國人民對糧食的關(guān)注度，適合使用抽樣調(diào)查，不符合題意；B、只有不在同一直線上的三點確定一個圓，所以“三點確定一個圓”是不確定事件，不符合題意；C、成語“水中撈月”是不可能事件，不符合題意；D、隨意擲一枚5角錢幣，落地后每一面向上的機會一樣，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查概率統(tǒng)計相關(guān)概念，熟記隨機抽樣分類及定義、事件的分類及定義、概率定義等知識點是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點C．若∠BCD＝50°，則∠ABC的大小為______°．【答案】40【分析】直接利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接CO，∵CD切⊙O于點C，∴CO⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=90°-50°=40°，∵CO=BO，∴∠ABC=∠OCB=40°．故答案為：40．【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，正確得出∠OCB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是______．【答案】110°##110度【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補計算∠ADC即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠ABC=70°，∴∠ADC=180°-70°=110°．故答案為110°．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，熟練掌握這個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB=AC；（2）求證：DE是⊙O的切線；（3）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，則DE=________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）連接AD，由直徑所對的圓周角度數(shù)及中點可證AD是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接OD，由中位線的性質(zhì)可得OD∥AC，由平行的性質(zhì)與切線的判定可證；（3）易知是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得CB長及度數(shù)，利用直角三角形30度角的性質(zhì)及勾股定理可得結(jié)果.【詳解】（1）連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，AD是BC的垂直平分線∴AB=AC．（2）連接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O為AB中點，D為BC中點，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE是⊙O的切線．（3）由（1）得是等邊三角形在中，根據(jù)勾股定理得【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及的知識點主要有圓的切線的判定、圓周角定理的推論、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形與直角三角形的性質(zhì)，靈活的將圖形與已知條件相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.10．如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【答案】證明見解析【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可．【詳解】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切．【點睛】此題主要考查了切線的判定，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．與圓有關(guān)的位置關(guān)系（提升測評）一、單選題1．如圖，四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，分別與相切于點，，過圓上點作的切線分別交，于點，，若，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線長定理，得到：，進(jìn)而推出的周長等于，即可得解．【詳解】解：∵，分別與相切于點，，∴，∵過圓上點作的切線分別交，于點，，∴，∴的周長是：；故選B．【點睛】本題考查切線長定理．熟練掌握切線長相等