專項(xiàng)03平行性質(zhì)綜合(原卷版+解析)

專項(xiàng)3：平行性質(zhì)綜合解答題1．（2020·四川資陽(yáng)市·七年級(jí)期末）如圖，直線和直線相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別在、、上，連接、，是上一點(diǎn)，已知

（1）求證：；（2）若平分，，求的度數(shù)．（用表示）2．（2021·甘肅酒泉市·八年級(jí)期末）如圖，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求證：DF∥AC．（注：證明時(shí)要求寫出每一步的依據(jù)）3．（2021·全國(guó)七年級(jí)）已知：如圖，DE∥BC，BE∥FG．求證：∠1＝∠2．4．（2020·山東省青島第五十九中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知，，．（1）請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，平分，試求的度數(shù)．5．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）如圖，平分，點(diǎn)，分別在邊，上，且，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，求證：．6．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級(jí)期末）已知：直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，并且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)角，使寫出的每個(gè)角的度數(shù)都為．7．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過(guò)，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口問(wèn)題”．

（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)與有何關(guān)系并說(shuō)明理由．8．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級(jí)期末）三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FC，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接BE，若，，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是線段FC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，BE平分，求的度數(shù)．9．（2021·福建泉州市·）問(wèn)題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問(wèn)題：如圖1，AB∥，，，求度數(shù)．經(jīng)過(guò)討論形成的思路是：如圖2，過(guò)P作∥，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得度數(shù)．（1）按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：如圖3，∥，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．請(qǐng)你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，已知兩條直線∥，點(diǎn)在兩平行線之間，且的平分線與的平分線相交于點(diǎn)Q，求的度數(shù)．絕密★啟用前2020-2021學(xué)年度初中數(shù)學(xué)期末考試卷試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明一、解答題1．如圖，直線和直線相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別在、、上，連接、，是上一點(diǎn)，已知

（1）求證：；（2）若平分，，求的度數(shù)．（用表示）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）90°＋α【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2＋∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°?α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°?α）∴∠3＝180°?（180°?α）＝90°＋α．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，注意：①內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．如圖，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求證：DF∥AC．（注：證明時(shí)要求寫出每一步的依據(jù)）【答案】見(jiàn)解析．【分析】先根據(jù)∠DGA=∠EGC證出AE∥BF，再根據(jù)平行證明出∠F=∠FBC即可求證出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠DGA=∠EGC(對(duì)頂角相等)又∵∠DGA=∠FHC（已知）∴∠EGC=∠FHC（等量代換）∴AE∥BF(同位角相等，兩直線平行）∴∠A=∠FBC(兩直線平行，同位角相等)又∵∠A=∠F（已知）∴∠F=∠FBC(等量代換)∴DF∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．3．已知：如圖，DE∥BC，BE∥FG．求證：∠1＝∠2．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出，由，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出，進(jìn)而可證出．【詳解】證明：，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記平行線的各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知，，．（1）請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，平分，試求的度數(shù)．【答案】（1）∠1=∠ABD，證明見(jiàn)解析；（2）∠ACF=55°．【分析】（1）先根據(jù)在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行得出BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合可得∠2=∠CBD，從而可得CF∥DB得出∠1=∠ABD；（2）利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得出∠2的度數(shù)，再根據(jù)∠ACB為直角，即可得出∠ACF．【詳解】解：（1）∠1=∠ABD，理由：

∵BC⊥AE，DE⊥AE，

∴BC∥DE，

∴∠3+∠CBD=180°，

又∵∠2+∠3=180°，

∴∠2=∠CBD，

∴CF∥DB，

∴∠1=∠ABD．

（2）∵∠1=70°，CF∥DB，

∴∠ABD=70°，

又∵BC平分∠ABD，

∴，

∴∠2=∠DBC=35°，

又∵BC⊥AG，

∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．5．如圖，平分，點(diǎn)，分別在邊，上，且，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)對(duì)頂角相等可得，最后根據(jù)等量代換即可得證．【詳解】平分，，，，，，又，，由對(duì)頂角相等得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、對(duì)頂角相等、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．已知：直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，并且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)角，使寫出的每個(gè)角的度數(shù)都為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定可以解答；

（2）由已知及（1）的結(jié)論可知∠CFN=45°，然后結(jié)合圖形根據(jù)角度的加減運(yùn)算可以得到解答．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵平分，平分，∴，．∴．∴．（2）由（1）知ABCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度數(shù)為135°的角有：、、、．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)及角平分線的綜合運(yùn)用，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理及角平分線的意義是解題關(guān)鍵．7．如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過(guò)，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口問(wèn)題”．

（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)與有何關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作直線a與AB，CD互相平行，運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明即可；（2）方法同（1），過(guò)E作直線b與AB，CD互相平行，運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明即可；（3）可先分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，作直線c，d，e與AB，CD互相平行，同樣運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作直線a，使得，則，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴，即：；（2），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作直線b，使得，則，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴，∵，∴，即：；（3），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作直線c，d，e，使得，則，，，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，，∴，∴，即：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)的運(yùn)用，準(zhǔn)確掌握平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．8．三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FC，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接BE，若，，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是線段FC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，BE平分，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）100°；（3）12°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定及其性質(zhì)即可求證結(jié)論；（2）過(guò)E作可得∥EK，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意設(shè)，則，根據(jù)∠AED＋∠DEB＋BEC＝180°，可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，∴，又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，∴，∴，（2）解：過(guò)E作，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴，答：的度數(shù)是100°，（3）解：∵BE平分，，∴，∴，∴設(shè)，則，∵DE∥BC，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，答：的度數(shù)是12°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定及其性質(zhì)的有關(guān)知識(shí)．9．問(wèn)題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問(wèn)題：如圖1，AB∥，，，求度數(shù)．經(jīng)過(guò)討論形成的思路是：如圖2，過(guò)P作∥，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得度數(shù)．（1）按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：如圖3，∥，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．請(qǐng)你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，已知兩條直線∥，點(diǎn)在兩平行線之間，且的平分線與的平分線相交于點(diǎn)Q，求的度數(shù)．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，見(jiàn)解析；（3）360°【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）由（1）可得，再進(jìn)行代入求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝1