專題08思想方法專題：勾股定理中的方程思想(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題08思想方法專題：勾股定理中的方程思想【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 1【考點(diǎn)二幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 8【考點(diǎn)三實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 10【典型例題】【考點(diǎn)一幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)B落在AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，Rt中，，現(xiàn)將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A剛好落在上，則_____．2．（2022·江蘇蘇州·八年級(jí)期末）如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為__________．3．（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市第三十五中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，，分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)和頂點(diǎn)A重合，則的長(zhǎng)為___________．4．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)在邊上，且，，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為________．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，求．6．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時(shí)，連接AA'，求AA'的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時(shí)，連接A'D，求A'D的長(zhǎng)．【考點(diǎn)二幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在等腰中，，，垂足為，已知，．(1)求與的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【考點(diǎn)三實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小強(qiáng)放風(fēng)箏時(shí)，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度OA．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出2米，然后把風(fēng)箏線沿直線l向后拉開6米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端B剛好接觸地面，請(qǐng)你幫小強(qiáng)求出風(fēng)箏距離地面的高度OA．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022春·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．3．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．(1)求旗桿距地面多高處折斷（）；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？4．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．5．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，地面上放著一個(gè)小凳子，點(diǎn)距離墻面，在圖①中，一根細(xì)長(zhǎng)的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點(diǎn)處，．在圖②中，木桿的一端與點(diǎn)重合，另一端靠在墻上點(diǎn)處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木桿的長(zhǎng)度比長(zhǎng)，求木桿的長(zhǎng)度和小凳子坐板的寬．6．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人著迷．(1)應(yīng)用場(chǎng)景1—在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖1，在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使，以原點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是；(2)應(yīng)用場(chǎng)景2—解決實(shí)際問(wèn)題．如圖2，秋千由靜止鉛錘位置AB推至AC處，它的繩索始終拉直，量得水平距離，求繩索的長(zhǎng)．專題08思想方法專題：勾股定理中的方程思想【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 1【考點(diǎn)二幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 8【考點(diǎn)三實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 10【典型例題】【考點(diǎn)一幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)B落在AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)CD=x，則BD=4-x，根據(jù)求出x得到CD的長(zhǎng)，利用面積求出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折疊得AE=AB=5，DE=BD，設(shè)CD=x，則BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴圖中陰影部分的面積是，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，Rt中，，現(xiàn)將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A剛好落在上，則_____．【答案】##2.5【分析】設(shè)，將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A剛好落在上，則．則直角中根據(jù)勾股定理，即可得到一個(gè)關(guān)于的方程，即可求得．【詳解】解：設(shè)，則在Rt中，．則．在Rt中：．即：．解得：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)勾股定理把求線段的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇蘇州·八年級(jí)期末）如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為__________．【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，設(shè)CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，由折疊可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，設(shè)CD=x，則BD=B′D=3-x，在△B′CD中，，即，解得：x=，即CD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，利用折疊的性質(zhì)求出B′C的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市第三十五中學(xué)?？计谀┰谥校?，，，，分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)和頂點(diǎn)A重合，則的長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)，勾股定理列方程求解即可；【詳解】解：設(shè)，則，由題意得，由勾股定理得，∴，解得，即的長(zhǎng)為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校考期末）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)在邊上，且，，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】由將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)，可得，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，即可解得答案．【詳解】解：∵將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)，∴，，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形中的翻折問(wèn)題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，得出．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，求．【答案】或【分析】分為兩種情況，一種是點(diǎn)在線段上，另一種是點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，三點(diǎn)共線，由折疊可知：，，，，，在中，由勾股定理，得；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，在中，由勾股定理，得；綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論．6．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時(shí)，連接AA'，求AA'的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時(shí)，連接A'D，求A'D的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再設(shè)，則，，在和中，根據(jù)勾股定理可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：，∴；(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，根據(jù)題意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②聯(lián)立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【答案】8【解析】【分析】作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在等腰中，，，垂足為，已知，．(1)求與的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【答案】(1)，(2)當(dāng)或3或3.6時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）由勾股定理直接求得，設(shè)，由勾股定理列出的方程，即可求得；（2）分三種情況：，，，分別進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得，，設(shè)，則，在Rt中，由勾股定理得，，解得，；（2）解：當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作于點(diǎn)，，設(shè)，則，，即，解得，，綜上，當(dāng)或3或3.6時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小強(qiáng)放風(fēng)箏時(shí)，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度OA．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出2米，然后把風(fēng)箏線沿直線l向后拉開6米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端B剛好接觸地面，請(qǐng)你幫小強(qiáng)求出風(fēng)箏距離地面的高度OA．【答案】風(fēng)箏距離地面的高度OA為8米【分析】設(shè)OA=x米，則AB=（x+2）米，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進(jìn)而得出風(fēng)箏距離地面的高度OA．【詳解】解：設(shè)OA=x米，則AB=（x+2）米，由圖可得，，，在中，，即，解得．答：風(fēng)箏距離地面的高度OA為8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，由題意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．(1)求旗桿距地面多高處折斷（）；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)旗桿距地面3m處折斷(2)距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫好圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：由題意，知．因?yàn)椋O(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)，則，解得．故旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖．因?yàn)辄c(diǎn)D距地面，所以，所以，所以距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練的從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．【答案】(1)CH是從村莊C到河邊的最近路；理由見解析；(2)原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為1.25千米．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△CHB是直角三角形即可；（2）設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根據(jù)勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是從村莊C到河邊的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解這個(gè)方程，得x=1.25，答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為1.25千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．5．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，地面上放著一個(gè)小凳子，點(diǎn)距離墻面，在圖①中，一根細(xì)長(zhǎng)的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點(diǎn)處，．在圖②中，木桿