數學北師大版（2019）必修第二冊 5.22復數的乘法與除法523復數乘法幾何意義初探 課件

5.2.2

復數的乘法與除法

*5.2.3

復數乘法幾何意義初探課標闡釋

1.掌握復數的乘法與除法,能夠進行復數的乘、除運算.(數學運算)2.掌握虛數單位i冪值的周期性,能進行有關的運算.(數學運算)3.能在復數范圍內解有關方程問題.(數學運算)思維脈絡

激趣誘思知識點撥我們知道,兩個實數的乘法對加法來說滿足分配律,即a,b,c∈R時,有(a+b)c=ac+bc,而且,實數的正整數次冪滿足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均為正整數,那么,復數的乘法應該如何規(guī)定,才能使得類似的運算法則仍成立呢?激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥名師點析1.對復數乘法的三點說明(1)類比多項式運算:復數的乘法運算與多項式乘法運算很類似,可仿多項式乘法進行,但結果要將實部、虛部分開(i2換成-1).(2)運算律:多項式乘法的運算律在復數乘法中仍然成立,乘法公式也適用.(3)常用結論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.激趣誘思知識點撥微練習1復數i(2-i)=(

)A.1+2i

B.1-2iC.-1+2i D.-1-2i解析i(2-i)=1+2i.答案A微練習2如果復數(m2+i)(1+mi)是實數,則實數m等于(

)A.1 B.-1解析因為(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是實數,m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1.答案B激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥二、復數范圍內一元二次方程的解法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在復數范圍內的根名師點析復數集內一元二次方程的解法類型實系數一元二次方程復系數一元二次方程Δ的作用可以用來判斷根的情況不能用來判斷根的情況求根公式適用適用韋達定理適用適用激趣誘思知識點撥答案B激趣誘思知識點撥微練習2已知1+i是關于x的方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數),則b,c的值分別為(

)A.-2,2 B.2,-2C.-1,1 D.1,-1解析因為1+i是關于x的方程x2+bx+c=0的一個根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.答案A激趣誘思知識點撥三、復數的除法

激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥答案B激趣誘思知識點撥答案D激趣誘思知識點撥四、in的周期性激趣誘思知識點撥微練習1i2020=

.

解析i2

020=i4×505=1.答案1激趣誘思知識點撥*五、復數乘法幾何意義初探

探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數的乘法與除法運算例1計算下列各題:探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測2.復數除法運算的技巧(1)根據復數的除法,通過分子、分母都乘分母的共軛復數,使“分母實數化”,這個過程與“分母有理化”類似.(2)復數除法運算的結果要進行化簡,通常要寫成復數的代數形式,即實部與虛部要完全分開的形式.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測i的乘方的周期性及應用例2(1)i為虛數單位,i607的共軛復數為(

)A.i B.-i C.1 D.-1(2)計算i1+i2+i3+…+i2019+i2020=

.

解析(1)因為i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共軛復數為i.故選A.(2)因為i1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

019+i2

020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

013+i2

014+i2

015+i2

016)+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.答案(1)A

(2)0反思感悟

虛數單位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推廣到整數集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測與復數有關的方程問題例3設關于x的一元二次方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實數根,則銳角θ以及實數根分別為(

)探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案C反思感悟

與復數有關的方程問題,一般是利用復數相等的充要條件,把復數問題實數化進行求解,此時根與系數的關系仍適用,但判別式“Δ”不再適用.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練2已知關于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實根b,求實數a,b的值.探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數乘法幾何意義初探

反思感悟

求解此類題目關鍵是要理解所求復數表示的向量是如何由已知復數所表示的向量旋轉得到的,可利用數形結合的方法,將已知或所求復數所表示的向量在