2021高中數(shù)學(xué)人教A版必修一（第三單元 函數(shù)的應(yīng)用）章節(jié)練習(xí)試題（含詳細解析）

2021年09月17日試卷

一、單選題（共20題；共0分）

1、（0分）已知函數(shù)/（x）=|/。930一1）|一（｛）“一1有2個不同的零點XI、X2,則

（）

Xx

A.%1,x2<1B.xx-%2=1+2

C.?%2>+x2D.?%2V+x2

2、（0分）函數(shù)〃>）=靖+%-2的零點所在的一個區(qū)間是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

3、(0分)設(shè)函數(shù)f(x)=X3-X-2的零點為X。，則X。所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4、(0分)函數(shù)f(x)=lnx一的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,3)

5、(0分)函數(shù)y=loga(x+1)+x2(0<a<l)的零點的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無法確定

6、（0分）函數(shù)y=的圖象與直線，i：y=小從左至右分別交于點4B,與直線%：y=

丁工?（m>0）從左至右分別交于點C,D.記線段4c和BD在x軸上的投影長度分別為a,b,則的

2m+la

最小值為（）

A.81遮B.27HC.9bD.373

7、(0分)設(shè)函數(shù)/?(x)=1,YA1若/(%)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍

141%十CLJ^X-rLCL),XN1

是（）

A?卜乙-,B.(-0),-2]U(-l,-1]

C.(-00,-1)D.[-2,+oo)

8、（0分）有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示:

X12345

y1.55.913.424.137

下列所給函數(shù)模型較適合的是（)

A.y=logx(a>l)

aB.y=ax+b(a>1)

2

C.y=ax~+b(a>0)D.y=logax+b(a>l)

9、(0分)定義：對于一個定義域為0的函數(shù)f(x),若存在兩條距離為d的直線y=依+"和

y=kx+m2,使得xCD時，恒有質(zhì)+如<f(x)<依+如，則稱/(%)在。內(nèi)有一個寬度為d的

通道。下列函數(shù)：

①/(x)=x2(x>0)；②/'(x)=V4-%2；

③/竟1；@AX)=|(|X|>4).

其中有一個寬度為2的通道的函數(shù)的序號為

A.①②B.②③C.②④D.②③④

10、(0分)已知函數(shù)八%)=[■]竽*5J，若始終存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=/(x)-b的零

點不唯一，貝la的取值范圍是()

A.[2,4)B.(-8,2)C.(-co,4)D.(-00,4]

11、(0分)函數(shù)y=^^的大致圖象是()

7x4-1

12、(0分)已知函數(shù)f(x)=eax'bx-1,其中a,beR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，若

f(1)=0,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，

則a的取值范圍是()

9、

A.(e2-3,e2+l)B.(e--3,+8)

222

C.(-8,2e+2)D.(2e-6,2e+2)

13、(0分)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(O)=-l,f(一、)＜其導(dǎo)函數(shù)

m-lm-1

f(x)滿足f'(x)＞m,且當XG[-n,n]時，函數(shù)g(x)=-sin?x-(m+4)

cosx+4有兩個不相同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-8,-8)

B.(-~,-8]U(0,1)

C.(-o°,-8]U[0,1]

D.(-8,1)

14、(0分)已知xi,X2是函數(shù)f(X)=e-X-IInx|的兩個不同零點，則x1X2的

取值范圍是()

A.(0,-)B.(-,1]「/[、D.(i,1)

eeC.(1,e)e

15、(0分)函數(shù)f(x)=lnx-＜的零點所在的大致區(qū)間是()

x

A.?,1)

B.(1,2)

C.(2D.(e,+8)

16、（0分）《九章算數(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道“竹九問題”“今有竹九節(jié)，

下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，

下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量之和為3升、且每一節(jié)容量變化均勻（即每節(jié)容量成等

差數(shù)列），問每節(jié)容量各為多少？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為（）

17、（0分）在求3x的倒數(shù)的值時，嘉淇同學(xué)誤將3x看成了8x,她求得的值比正確答案小

5.依上述情形，所列關(guān)系式成立的是（）

11rB

A.—=---5-'=3+5C.—=8x-5D.—=8x+5

3x8x

18、（0分）定義區(qū)間（a,b）、［a,（a,b］、［a,b］的長度均為d=b-Q,用［%］表示不超過工的最

大整數(shù)，例如［3.2］=3,［-2.3］=-3.記｛%｝=%-印，設(shè)礴=［峨唾，5（x）=x-l,若用d

表示不等式/（%）vg（%）解集區(qū)間長度，則0工工工3當時有（）

A.d=1B.d=2C.d=3D.d=4

19、（0分）如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化

時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：p=/（teo,GO且aWl）.有以下敘述①第4個月時，

I111

剩留量就會低于g；②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；③若剩留量為5'7'G所經(jīng)過的時

間分別是4,2，，3，則，|+〃=，3.其中所有正確的敘述是

A.①②③B.①②C.①③D.②③

20、（0分）已知函數(shù)/（幻=尸：一2：。飛?），且函數(shù)y=f（x）-x恰有3個不同的零點,

I/（X—1乂％NU）

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,+8)B.[-1,0)C.[―1,4-00)D.[—2,4-oo)

二、填空題（共10題；共。分）

21、（0分）某市出租車按如下方法收費，起步價6元，可行3km（含3km）,3km到7km每

行駛1km加價1元（不足1km,按1km計算）,超過7km后每行駛1km加價0.8元，某人

坐出租車行駛了8.2km,他應(yīng)交費_______________元.22、（0分）某城市出租車按如下方

法收費：起步價8元，可行3km（含3km）,3km到10km（含10km）每走1km加價1.5

元，10km后每走1km加價0.8元，某人坐該城市的出租車走了20km,他應(yīng)交費

________________元?

23、（0分）定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/?（x+4）=f（x）,/（%）=［丁七+二ly｝若關(guān)于工

I—1%—Z|+1,1<XS3

的方程/（x）-ax=0有5個不同實根，則正實數(shù)a的取值范圍是

24、（0分）若對定義在R上的函數(shù)f（x）,對任意兩個不相等的實數(shù)x1（x2,都有XJ/CXJ）+

x2/（x2）>x1/（x2）+x2/（x1）,則稱函數(shù)/（%）為““函數(shù)”，給出下列函數(shù)：①

弱=一/帶嵬滯］；②y=3%-2(smx-cosx)；③y=e'+l；④/(%)=｛"：*：：°，以上函數(shù)

是“H函數(shù)”的所有序號為___________________.

25、(0分)設(shè)點和點N(%2，g(X2))分別是函數(shù)/(%)=蛾一1%2和。(%)=》一1圖象

上的點，且30,%2>0，若直線MN〃工軸，則M,N兩點間的距離的最小值為

26、(0分)已知數(shù)列｛斯｝中，%=1,n(an+1-an)=an+1,nWN*,若對任意的正整數(shù)n,存

在t€［l,3］,使不等式”<產(chǎn)+2就一1成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

L」n+1

27、(0分)函數(shù)設(shè)f(x)=y［7T3+~(a&R),若其定義域內(nèi)不存在實數(shù)X,使得/(%)<

0,則a的取值范圍是_____.

28、(0分)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在閉區(qū)間g,n］U。，使得函數(shù)滿足：

(1)/(X)在［m,詞上是單調(diào)函數(shù)；(2)/(%)在［血間上的值域為［2m,2n］,則稱區(qū)間

［根,詞為函數(shù)y=/Q)的“完美區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“完美區(qū)間”的是_________(只需

填符合題意的函數(shù)序號).

①/(久)=%2；②/(%)=logix；③/(%)=ex；④/(%)=%--+3.

2X

29、(0分)定義新運算十：當aNb時，。十b=a；avb時，Q十b=b2,貝ij函數(shù)

/(x)=(1?%)%-(20%),%6［-2,2］的最大值等于____________.

2

30^(0分)已知函數(shù)/(%)=V2x—8x+13,且/(%。)=4,則x0=.

三、解答題(共5題；共。分)

31、(0分)已知函數(shù)f(x)=3x2,求方程f(x)=0在區(qū)間［-1,0］上實根的個

數(shù).

32、(0分)已知函數(shù)/0)=石力.

(1)求/。)+((1-x)的值;

(2)若數(shù)列｛an｝滿足即=/(0)+f(；)+/+???+f(等)+f(l)(neN*),求數(shù)列｛即｝的通項公

式；

(3)若數(shù)列｛“｝滿足bn=2%n，Sn是數(shù)列｛%｝的前n項和，是否存在正實數(shù)k,使不等式

MSn>3bn對于一切的n6N*恒成立？若存在，請求出k的取值范圍：若不存在，請說明理

由.

33、(0分)(本題12分)某汽車廠有一條價值為。萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改

造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元

_a

與技術(shù)改造投入X萬元之間滿足：①y與(a-x)「d成正比；②當時，丁=。)并且

技術(shù)改造投入滿足2(a-x)e(0'"，其中/為常數(shù)且/w(l,2］。

(1)求y=/(x)表達式及定義域；

(2)求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)工的值。

34、(0分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，vl-

劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為％國,山區(qū)

邊界曲線為修，計劃修建的公路為貨，如圖所示，思吼篇為曖的兩個端點，測得點翻■到

L，。的距離分別為5千米和40千米，點麴到I1,L的距離分別為20千米和2.5千米，

以奧,磊所在的直線分別為%解軸，建立平面直角坐標系屐螂，假設(shè)曲線超符合函數(shù)y=

島(其中叫懸為常數(shù))模型.

(1)求叫荔的值；

(2)設(shè)公路強與曲線遽相切于零點，鏟的橫坐標為整

①請寫出公路厘長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域；

②當月為何值時，公路法的長度最短？求出最短長度.

35、（0分）甲、乙兩城相距100觥微，在兩城之間距甲城及觥颼處的丙地建一核電站給甲、

乙兩城供電，為保證城市安全，核電站距兩地的距離不少于10,輸?I.已知各城供電費用

（元）與供電距離（.魁掰）的平方和供電量（億千瓦時）之積都成正比，比例系數(shù)均是同

=0.25,若甲城供電量為20億千瓦時/月，乙城供電量為10億千瓦時/月，

（1）把月供電總費用聲（元）表示成匍（帝腳）的函數(shù)，并求其定義域；

（2）求核電站建在距甲城多遠處，才能使月供電總費用最小.

試卷答案

1.【答案】D

竹

【解析】因為函數(shù)寅礴力均孤久一期一;雪尸有2個不同的零點碰、

礴！，，則等價

于的圖像有兩個不同的交點，那么結(jié)合圖像的變換可知

作出圖像，確定邊界點，可知兩個交點的橫坐標都是正數(shù)，一個大于零小于1,一個大

于1,結(jié)合條件得到選D.

【點評】解決該試題的關(guān)鍵是運用函數(shù)與方程思想來解決。將零點問題轉(zhuǎn)換為圖像與圖像

的交點個數(shù)來處理得到結(jié)論。

2.【答案】C

【解析】因為函數(shù)置值電=『普雷一售是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)=e0+0-2=-l<0,f

(l)=el+l-2=e-l>0,所以f(0)f(l)<0.所以,霓嘀=S皆需一售的零點所在的一個區(qū)間

為(0,1)o選C。

【點評】本題考查了函數(shù)零點的概念與零點定理的應(yīng)用，零點存在定理只能判斷函數(shù)在這

個區(qū)間上是否存在零點，而不能判斷零點的個數(shù)。屬于基礎(chǔ)題。

3.【答案】B

【解析】【解答】令f(x)=x3-()'-2，則f(0)=0—()-2=—4<0,

f(1)=1-0-2=-KO,

f(2)=23-()°=7>0,

f(3)-27-()i=26>0,

f(4)=43-()2=63>0,

/.f(1)?f(2)<0,

故x。所在的區(qū)間是(1,2).

求出f(l),f(2),f(3),f(4)的值，根據(jù)選項，f(a).f(b)<0確定零點區(qū)間。

4.【答案】B

【解析】【解答】f(2)=ln2-KO,f(3)=ln3->0,，f(2)?f(3)<0,Z.

f(x)在(2,3)內(nèi)有零點.

根據(jù)答案求出(a),f(b)的值，f(a).f(b)〈O可確定函數(shù)零點區(qū)間

5.【答案】C

【解析】【解答】

令loga(x+l)+x2—2=0,方程解的個數(shù)即為所求函數(shù)零點的個數(shù).即考查圖象

yi=loga(x+1)與y2——x?+2的交點個數(shù).

求出圖象y1=loga(x+1)與y2=-X?+2的交點個數(shù)即可.

6.［答案】B

【解析】在同一坐標系中作出y=y=(m>0),y=「。必劃的圖象，如圖，設(shè)

m

yi),B(%2，%)，C(%3?丫3)，、4)，由|/。93%1=m，得％1=3一血，x2=3,由

2m+1m

\log3x\=^^,得與=3-赤石，M=3時.依照題意得a=|3-m-3\,b=\3-

8

---hiom_ozm+i?

32m+i?￡_2JI

8,8一

7nh

=33淅=3m+而，（pmin=27V3,故選B.

【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，基本不等式在求最值中的應(yīng)用，

注意等號成立的條件，屬于中檔題，能正確的設(shè)坐標，并能畫出圖象來分析，將問題轉(zhuǎn)

化，其中理解投影的概念并能把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】當x<l時，f(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，/(X)<2+a,

當久》1時，令/'(%)=0得％=—a或x=-2a.

(1)若2+a40,即a(一2時，f(x)在(-8,1)上無零點，此時-2a>-a>2,

.?./(x)在［1,+8)上有兩個零點，符合題意；

(2)若2+a>0,即a>-2時，f(x)在(-0%1)上有1個零點，

f(X)在［1,+8)上只有1個零點，

①若—2VaV0,則—2a>—a,

?*.—a<1<—2a,解得-l<a4-5

②若a=0,則-a=-2a=0C[1,+8),

在[l,+8)上無零點，不符合題意；

③若a>0,則0>—a>—2a,

在口,+8)上無零點，不符合題意；

綜上a的取值范圍是(—00,—2]U(―1,—.選B.

點睛：

解答本題的關(guān)鍵是對實數(shù)a進行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)/(無)在(-8,1)

上的零點個數(shù)，在此基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)人為在[1,+8)上的零點個數(shù)，看是否滿足有兩個零

點即可.

8.【答案】C

【解析】本題考查對數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)型模型.

通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，選項A,D中的函數(shù)增長速度越來

越慢，而選項B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C項.

9.【答案】D

【解析】②③可由作圖所得，④作圖可知有一個寬度為1的通道，由定義可知比1大的通

道都存在.

10.【答案】C

【解析】由題可知函數(shù)g(x)=/(x)—b的零點不唯一，等價于兩函數(shù)y=/(x)與y=b圖象的

交點個數(shù)不唯一

Vm(x)=-x2+a久的圖象是開口向下、對稱軸x=]的拋物線，n(x)=2ax-5的圖象是恒過

(0,-5)的直線，注意到m(l)=a-1、n(l)=2a-5,則分aWO、0<aW2、a>2三種情況討

論：

①當aW0時，m(l)>n(l)

?.?、=巾(%)在(-8,])上為增函數(shù)，在或1)上為減函數(shù)，y=n(x)在(0,+8)上為減函數(shù)(當a=

0時為常數(shù)函數(shù))

二y=/(%)在(一8,鄉(xiāng)上為增函數(shù)，在歲1)上為減函數(shù)

...始終存在實數(shù)b使得在(-8,0)上丫=/Q)與y=b圖象的交點個數(shù)不唯一.

②當0<aW2時，、=60)在(一8,9上為增函數(shù)，在。1)上為減函數(shù)

,:y=n(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且n(l)<0

...始終存在實數(shù)b使得在(-00,0)上y=f(x)與y=b圖象的交點個數(shù)不唯一.

③當a>2時，y=m(x)在(―8,1)上為增函數(shù)，y=n(x)在(1,+8)上為增函數(shù)，欲使始終存在

實數(shù)b使得在(一8,0)上y=/(X)與y=匕圖象的交點個數(shù)不唯一，則必有771(1)>n(l),即。一

1>2a-5,解得：a<4.

綜上所述，a的取值范圍是(一8,4).

故選C

點睛：己知函數(shù)零點的個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決，如在本題中，方程

/(x)-。=0根的個數(shù)，即為直線y=a與函數(shù)y=/(x)圖象的公共點的個數(shù);

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)

形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.

11.【答案】B

【解析】因為y=洋，所以函數(shù)丫=洋是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除C；當

vx4-lvx4-i

x<-1時，恒有y<0,故排除D；時，y>0,故可排除B；故選A.

12.【答案】A

【解析】【解答】解：；f(1)=0,e2-a-b-1=0,B|Jb=e2-a-1,f(x)=e

"-ax2+(e2-a-1)x-1,

f'(x)=2e2x-2ax+e2-a-1,

令f'(x)=0得2e2x=2ax+a+l-e2,

?.?函數(shù)f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，

y=2e2x與y=2ax+a+l-e"的函數(shù)圖象在(0,1)上有兩個交點，

作出y=2e與y=2ax+a+l-e”的函數(shù)圖象，如圖所示：

當a+1-e222即a2e2+1時，直線y=2ax與y=2e"最多只有1個交點，不符合題意；

二a+1-e2<2,即a<e2+1,

排除B,C,D.

故選A.

利用f(1)=0得出a,b的關(guān)系，根據(jù)f'(x)=0有兩解可知y=2e2x與y=2ax+a+l-e

的函數(shù)圖象在(0,1)上有兩個交點，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍.

13.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)F(x)=f(x)-mx,得F'(x)=f'(x)-m,.Vf,(x)

>m,F'(x)>0,F(x)在R上單調(diào)遞增.f(0)=-1,：,F(0)=-1,f

(—)<」，可得f(工)-工<-l,

m-1m-1m-1m-1

即F(—m-1)<F(0)，m-可1得—<0,解答m<l.

2_2

又g(x)=-sinx-(m+4)cosx+4=0,可得cosx-(m+4)cosx+3=0,

設(shè)cosx=t,te[-1,1],問題等價于關(guān)于t的方程h(t)=t"-(m+4)t+3=0在

te[-1,1]上有唯一解.當-IV等vi時，須△=()即畔-4±2V3，矛盾；當

<—1或>1時，須h(-l)h(l)V?；騢(-l)=0,即mW-8或m>

0.(或：m=t+1-4,te[-1,1]有唯一解，得小>0或111忘-8.)綜上，l>m>0或

mW-8.

故選：B.

設(shè)F(x)=f(x)-mx,求出導(dǎo)函數(shù)F'(x)=f7(x)-m,.通過f'(x)>m,Ff

(x)>0,判斷F(x)在R上單調(diào)遞增.轉(zhuǎn)化—m-1<0，可得mVl.又g(x)=-sin

"x-(m+4)cosx+4=0,利用設(shè)cosx=t,tG[-1,1],問題等價于關(guān)于t的方程h(t)

=t2-(m+4)t+3=0在1]上有唯一解.通過當-1<等<1時，當-1

或春21時，分別求解即可.

14.【答案】D

【解析】【解答】解：令f(x)=0得e'=1lnx|,作出y=e*和y=|Inx|的函數(shù)圖

象如圖所示:

又|lnxi|>|Inx21，即-Inxi>Inx2，**.Inxi+lnx2V0，

Inxix2V0，.*?xix2Vl.

故選D.

作出y=e-'和y=IInxI的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)的性質(zhì)判斷x】，x2的關(guān)

系，利用不等式的性質(zhì)或函數(shù)性質(zhì)得出答案.

15.【答案】C

【解析】【解答】解：?.?函數(shù)/(x)=Znx-1,

/.f(2)=ln2-KO,f(3)=ln3--3>0,

故有f(2)f(3)VO,

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)/(x)=Znx-^的零點所在的大致區(qū)間為(2,3),

故選：C.

由函數(shù)的解析式求得f(2)<0,f(3)>0,可得f(2)f(3)<0,根據(jù)函數(shù)零點的判

定定理可得函數(shù)/(x)=/nx-|的零點所在的大致區(qū)間.

16.【答案】D

【解析】試題分析：令從下到上的容量為/二=!>“碟且數(shù)列鼠J為等差數(shù)列，由題意知：

_4.久…一筆..?_4

:峋*:嗎=嚓船卷開9+嘴：=獸；可得：蜘一翼，穌"戲秀一受；即端1”期一缶，

"雪；解得u獺，獺，

故中間的容量為%—噬"電'一碗贏一篇，故選D.

考點：等差數(shù)列的定義.

17.【答案】B

【解析】試題分析：根據(jù)題意，3X的倒數(shù)比8X的倒數(shù)大5,故答案選B.

考點：倒數(shù).

18.【答案】A

【解析】試題分析:/(x)=[x]-{%}=[x](x-[%])=[x]x-[x]2,由f(x)<g(x),得-[x]2<x-1,

即([x]-l)X<[幻2-1,當拓圖磔寸，國=帆不等式的解為宏法口，不符合題意；當需紀冽時,

國=]不等式無解，不合題意；當譚笠圖期時，國前1,不等式可化為需Y國此時不等式恒

成立，所以不等式解集為鬟三富工筆綜上可得不等式例楠Y城由解集區(qū)間的長度為咸=』，故選

A.

考點：函數(shù)模型及應(yīng)用.

【方法點睛】本題考查學(xué)生的是函數(shù)模型及其應(yīng)用，屬于中檔題目.理解題中給出的新定義

[解口僦的表達意義，是解決本題的關(guān)鍵.國表示不超過客的最大整數(shù)，比如在濟紀歐?時，

圖=?,僦=常一同因此軸更加1,化簡M-41的解析式，按照富里河服不痣：i閶和常史：裔用分三類

分別討論，使城式不等式成立的*范圍，從而得到區(qū)間長度.

19.【答案】C

【解析】略

20.【答案】C

【解析】y=~x2—2x+a=—(%+l)2+l+a,其頂點為4(—1,1+a),點C(0,1+a)在函數(shù)

圖象上，而點B(0,a)不在函數(shù)圖象上.結(jié)合圖形可知，當。之一1,函數(shù)y=/(x)—x恰有3

21.【答案】11.6

【解析】【解答】解：由題意，坐出租車行駛了8.2km,分三段計費：3km,起步價6

元；3km到7km每行駛1km加價1元，共4元；7km到8.2km,交費2X0.8=1.6,故他應(yīng)

交費11.6元故答案為：11.6.

由題意，坐出租車行駛了8.2km,分三段計費：3km,起步價6元；3km到7km每行駛1km

加價1元；7km到8.2km,每行駛1km加價0.8元(不足1km,按1km計算)，故可得結(jié)

論.

22.【答案】26.5

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，出租車行3km,需要8元，3km到10km,需要

7*1.5=10.5元，10km到20km,需要10X0.8=8元出租車走了20km,應(yīng)交費

8+10.5+8=26.5元

故答案為：26.5

將出租車走了20km,分為三部分計費：出租車行3km,需要8元，3km到10km,需要

7X1.5=10.5元，10km到20km,需要10X0.8=8元，從而可得結(jié)論.

23.【答案】g,8-2V15)

【解析】分析：由題意可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)y=/(x)與函數(shù)

y=ax的圖象，由圖象可得方程丫=一。—4)2+1=公在(3,5)上有2個實數(shù)根，由此可得0<

a<8-2V15；再由方程/(x)=ax在(5,6)內(nèi)無解，可得6a>1.最后可求得正實數(shù)a的取值范

圍.

詳解：由f(x+4)=f(x)可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=ax的圖象.

當久6[3,5]時，x-4e[-1,1].故y=f(x)=f(x—4)=—(x—4/+1.

由題意及圖象可得方程一。一4產(chǎn)+1=ax,即/+俗一8)x+15=0在(3,5)上有2個實數(shù)

根，

'△=(a-8)2-60>0

9+3(。-8)+15>0__

二.25+5(a-8)+15>0，解得0<a<8-2萬.

3<—<5

I2

又由圖象及題意可得方程"%)=收在(5,6)內(nèi)無解，

/.6a>1,解得Q>L

6

綜上可得;VQ<8—2"/15.

6

,正實數(shù)a的取值范圍是8-26).

點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)(方程根的個數(shù)或兩函數(shù)圖象公共點個數(shù))求參數(shù)的取值范圍

時，常用的方法是將所給問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象公共點個數(shù)的問題.在同一坐標系內(nèi)畫出

兩函數(shù)的圖象，通過觀察函數(shù)圖象的位置關(guān)系，并結(jié)合特殊點處的函數(shù)值的大小得到關(guān)于

參數(shù)的不等式(組)，解不等式(組)可得所求的范圍.

24.【答案】②③

【解析】試題分析：???對于任意給定的不等實數(shù)與/2，不等式XJ(/)+X2/(X2)>XJ(X2)+

恒成立，二不等式等價為(.一次)恒成立，即函數(shù)f(X)是定

義在R上的增函數(shù).①y=-/+x+i；y'=-3x2+l,則函數(shù)在定義域上不單調(diào).@y=3x-

2(sinx-COST)；y'=3-2Ccosx+sinx)=3—2y/2sin(x+^)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條

件.③y=ex+l為增函數(shù)，滿足條件.④f(x)={"?'20?當x>0時，函數(shù)單調(diào)遞

增，當x<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件.綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，故答

案為：②③.

考點：

【思路點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決

本題的關(guān)鍵.不等式工"(%1)+42/式2)>工。(%2)+&/>1)等價為(%1-％2)[/(%1)-f(X2)]

>0,即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

25.【答案】

【解析】試題分析：由題設(shè)可知雅儂=藪囁，即%一工二怎屆一反球,所以

11寞R%

今一/-同門因為?瞬目與_,，令修滬商-/一礴普』，因為

,癖/堿:=十一時一工所以，/^：礴=承-2.因當與2。時，,V《臉>0，故函數(shù)

,摩/堿:=承-碰是增函數(shù)，且,察詢額=顧，所以當X120時，,卓髭瑜海頓，即函數(shù)

■翼堿=貯一二一時儲在I畫#嗨上時單調(diào)遞增，故再/堿工頻既=工故應(yīng)填著

考點：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識及綜合運用.

【易錯點晴】本題以直線MN〃工軸為前提條件，精心設(shè)置了一道考查函數(shù)與方程思想的綜

合性問題.求解時充分借助題設(shè)條件可得，電瑜=祺上或，從而求得強=慰’一守■，再構(gòu)造

函數(shù)時一蜀=靖'一鏟￡一冏帶1然后借助導(dǎo)數(shù)這一工具，求得,舒/堿:=小-時-工進而再求

二階導(dǎo)數(shù)理*斛@=好*一：1,然后通過考察其正負，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后借助函數(shù)的單調(diào)

性將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù),魏礴=就"一i獨一礴.的最小值問題.

26.【答案】1,+00)

【解析】丁nan+1=(ri+l)an+1,

=利用累加法可知，

n+1nn(n+l)

an+l/n+1@n、.,an@n-l、..,a2。1、.al

幣=(寸—瓦)+*-=)+…+(2一丁)+丁

111111111

=---------1---------d----1-------p1=1+1----F------1---1---------=2-------

n(n+1)(n—l)n1x2223nn+ln+l

又?.?對任意的正整數(shù)n,存在te[l,3],使不等式安<t2+2at-l成立，

*■Jn+l

：?(r^；)maxVI?+2at—1,即/+2at—1Z2,

二。2三上=一[+尚，存在存在te[1,3],不等式成立，

a>(-j+^jnax，又y=-g+/單調(diào)遞減,二%nax=y6=l，

a>1

27.【答案】，|].

【解析】試題分析：若a=0：/(x)=V7T3+i,符合題意；若a<0：/(x)的定義域為

[-3,-今U(-9+8),故取/(一。+t)=卜；+「+3+代/)+2=J/+t+3+。其中t>0，顯

然，當t->o+時，/(一(+亡)可取負值，故QVO不合題意；若Q>0：①：一(=-3=@=|,

/(x)=V7T3+^,定義域為(一3,+8),顯然/(x)>0恒成立，符合題意；②一:<一3=0<

a<|：/(%)的定義域為［-3,+8),此時QX+2N—3Q+2>0,/(x)>0恒成立，符合題意；

③：—：>-3=a>g：f(%)的定義域為［―3,一；)U(―；,+8),取/(一(—1)=J—q—t+3+

—2-=/一」-t+3一工,

a(---t)+2\aat

其中0<tW3—|,顯然，當t-0+時，/(一:一t)可取負值，故a>|不合題意；綜上所述，可

知實數(shù)a的取值范圍是［0,|］,故填：［0,|］.

考點：1.恒成立問題；2.函數(shù)綜合題；3.分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【思路點睛】一般地，對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題，

對于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值，另外，要記住幾

個常見的有關(guān)不等式恒成立的等價命題：1.a>/(%)恒成立=a>2.a</(%)恒成

立"㈱Y豳魂；3.a>/(x)有解=￡：燃扇；4.a<f(乃有解=a<f(.x)max.

28.【答案】①④

【解析】試題分析：由“完美區(qū)間”