浙江省杭州市四校2024屆中考三模數學試題含解析

浙江省杭州市四校2024屆中考三模數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A＝24°，則∠BDC的度數為()A．42° B．66° C．69° D．77°2．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為（

）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人3．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()．A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．mx＋my＋nx＋ny＝m(x＋y)＋n(x＋y)4．已知3x+y＝6，則xy的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．65．如圖，一個幾何體由5個大小相同、棱長為1的正方體搭成，則這個幾何體的左視圖的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．26．下列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（）A． B． C． D．7．三個等邊三角形的擺放位置如圖，若∠3＝60°，則∠1＋∠2的度數為（）A．90° B．120° C．270° D．360°8．下列等式正確的是（）A．（a+b）2=a2+b2 B．3n+3n+3n=3n+1C．a3+a3=a6 D．（ab）2=a9．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．10．舌尖上的浪費讓人觸目驚心，據統(tǒng)計中國每年浪費的食物總量折合糧食約499.5億千克，這個數用科學記數法應表示為（）A．4.995×1011 B．49.95×1010C．0.4995×1011 D．4.995×1010二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．關于x的方程x2－3x＋2＝0的兩根為x1，x2，則x1＋x2＋x1x2的值為______．12．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．13．函數y=中，自變量x的取值范圍是_____．14．如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是__________.15．某校廣播臺要招聘一批小主持人，對A、B兩名小主持人進行了專業(yè)素質、創(chuàng)新能力、外語水平和應變能力進行了測試，他們各項的成績（百分制）如表所示：應聘者專業(yè)素質創(chuàng)新能力外語水平應變能力A73857885B81828075如果只招一名主持人，該選用______；依據是_____．（答案不唯一，理由支撐選項即可）16．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓，半圓恰好經過三角形的直角頂點C，以點D為頂點，作90°的∠EDF，與半圓交于點E，F，則圖中陰影部分的面積是____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°，對角線AC，BD相交于點O，動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點B運動；過點P作PQ∥BD，與AC相交于點Q，設運動時間為t秒，0＜t＜1．（1）設四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關系式；（2）若點Q關于O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N，當t為何值時，點P、M、N在一直線上？（3）直線PN與AC相交于H點，連接PM，NM，是否存在某一時刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．18．（8分）周末，甲、乙兩名大學生騎自行車去距學校6000米的凈月潭公園．兩人同時從學校出發(fā)，以a米/分的速度勻速行駛．出發(fā)4.5分鐘時，甲同學發(fā)現忘記帶學生證，以1.5a米/分的速度按原路返回學校，取完學生證（在學校取學生證所用時間忽略不計），繼續(xù)以返回時的速度追趕乙．甲追上乙后，兩人以相同的速度前往凈月潭．乙騎自行車的速度始終不變．設甲、乙兩名大學生距學校的路程為s（米），乙同學行駛的時間為t（分），s與t之間的函數圖象如圖所示．（1）求a、b的值．（2）求甲追上乙時，距學校的路程．（3）當兩人相距500米時，直接寫出t的值是．19．（8分）我國古代數學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”其大意為：現有一根竿和一根繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．求繩索長和竿長．20．（8分）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸、軸交于兩點，過作垂直于軸于點.已知.（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）觀察圖象:當時，比較.21．（8分）先化簡，然后從﹣1，0，2中選一個合適的x的值，代入求值．22．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉(保持點P在△ABC內部)，連接AP、BP、BQ．如圖1求證：AP＝BQ；如圖2當三角板CPQ繞點C旋轉到點A、P、Q在同一直線時，求AP的長；設射線AP與射線BQ相交于點E，連接EC，寫出旋轉過程中EP、EQ、EC之間的數量關系．23．（12分）已知，拋物線L：y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B（-3,0），與y軸交于點C（0,3）．（1）求拋物線L的頂點坐標和A點坐標．（2）如何平移拋物線L得到拋物線L1，使得平移后的拋物線L1的頂點與拋物線L的頂點關于原點對稱？（3）將拋物線L平移，使其經過點C得到拋物線L2，點P（m，n）（m＞0）是拋物線L2上的一點，是否存在點P，使得△PAC為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出拋物線L2的表達式，若不存在，請說明理由．24．已知，如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、C兩點，點B在x軸上，點B的橫坐標為，拋物線經過A、B、C三點．點D是直線AC上方拋物線上任意一點．（1）求拋物線的函數關系式；（2）若P為線段AC上一點，且S△PCD=2S△PAD，求點P的坐標；（3）如圖2，連接OD，過點A、C分別作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分別為M、N．當AM+CN的值最大時，求點D的坐標．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折疊的性質可得：∠BCD=∠ACB=45°，∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°.故選C.2、C【解析】

設參加酒會的人數為x人，根據每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【詳解】設參加酒會的人數為x人，依題可得：

x（x-1）=55，

化簡得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案為C.【點睛】考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題中的等量關系列出方程.3、C【解析】

因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，據此進行解答即可.【詳解】解：A、B、D三個選項均不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故都不是因式分解，只有C選項符合因式分解的定義，故選擇C.【點睛】本題考查了因式分解的定義，牢記定義是解題關鍵.4、B【解析】

根據已知方程得到y(tǒng)=-1x+6，將其代入所求的代數式后得到：xy=-1x2+6x，利用配方法求該式的最值．【詳解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值為1．故選B．【點睛】考查了二次函數的最值，解題時，利用配方法和非負數的性質求得xy的最大值．5、C【解析】

根據左視圖是從左面看到的圖形求解即可.【詳解】從左面看，可以看到3個正方形，面積為3，故選：C．【點睛】本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關鍵是由三視圖得到相應的平面圖形.從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖.6、B【解析】

根據軸對稱圖形的定義逐項識別即可，一個圖形的一部分，以某條直線為對稱軸，經過軸對稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.【詳解】A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項正確；C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關鍵.7、B【解析】

先根據圖中是三個等邊三角形可知三角形各內角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度數，再根據三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】∵圖中是三個等邊三角形，∠3=60°，

∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，

∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，

∴∠1+∠2=120°．

故選B.【點睛】考查的是等邊三角形的性質，熟知等邊三角形各內角均等于60°是解答此題的關鍵．8、B【解析】

（1）根據完全平方公式進行解答；（2）根據合并同類項進行解答；（3）根據合并同類項進行解答；（4）根據冪的乘方進行解答.【詳解】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項錯誤；B、3n+3n+3n=3n+1，正確；C、a3+a3=2a3，故此選項錯誤；D、（ab）2=a2b，故此選項錯誤；故選B．【點睛】本題考查整數指數冪和整式的運算，解題關鍵是掌握各自性質.9、C【解析】

根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的定義判斷即可．【詳解】A．|a|與不是同類二次根式；B．與不是同類二次根式；C．2與是同類二次根式；D．與不是同類二次根式．故選C．【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．10、D【解析】

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥1時，n是非負數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】將499.5億用科學記數法表示為：4.995×1．

故選D．【點睛】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、5【解析】試題分析：利用根與系數的關系進行求解即可.解：∵x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的兩根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴x1＋x2＋x1x2＝3+2＝5.故答案為：5.12、y(x-2)2【解析】

先提取公因式y(tǒng)，再根據完全平方公式分解即可得.【詳解】原式==，故答案為．13、x≠﹣．【解析】

該函數是分式，分式有意義的條件是分母不等于1，故分母x﹣1≠1，解得x的范圍．【詳解】解：根據分式有意義的條件得：2x+3≠1解得：故答案為【點睛】本題考查了函數自變量取值范圍的求法．要使得本題函數式子有意義，必須滿足分母不等于1．14、k＞－且k≠1【解析】由題意知，k≠1，方程有兩個不相等的實數根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k＞-1/4且k≠1．15、AA的平均成績高于B平均成績【解析】

根據表格求出A,B的平均成績,比較大小即可解題.【詳解】解：A的平均數是80.25,B的平均數是79.5,∴A比B更優(yōu)秀,∴如果只招一名主持人，該選用A；依據是A的平均成績高于B平均成績.【點睛】本題考查了平均數的實際應用,屬于簡單題,從表格中找到有用信息是解題關鍵.16、π﹣1．【解析】

連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，證明△DMG≌△DNH，則S四邊形DGCH=S四邊形DMCN，求得扇形FDE的面積，則陰影部分的面積即可求得．【詳解】連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，∴DC=AB=1，四邊形DMCN是正方形，DM=．則扇形FDE的面積是：=π．∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，∴CD平分∠BCA．又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四邊形DGCH=S四邊形DMCN=1．則陰影部分的面積是：π﹣1．故答案為π﹣1．【點睛】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△DMG≌△DNH，得到S四邊形DGCH=S四邊形DMCN是關鍵．三、解答題（共8題，共72分）17、(1)S=﹣2（0＜t＜1）；(2);(3)見解析.【解析】

（1）如圖1，根據S=S△ABC-S△APQ，代入可得S與t的關系式；

（2）設PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計算x的值，根據直角三角形30度角的性質可得AM=2PM=，根據AM=AO+OM，列方程可得t的值；

（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，∴∠OAB=30°，∵AB=20，∴OB=10，AO=10，由題意得：AP=4t，∴PQ=2t，AQ=2t，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=，=，=﹣2t2+100（0＜t＜1）；（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，∵點Q關于O的對稱點為M，∴OM=OQ，設PM=x，則AM=2x，∴AP=x=4t，∴x=，∴AM=2PM=，∵AM=AO+OM，∴=10+10﹣2t，t=；答：當t為秒時，點P、M、N在一直線上；（3）存在，如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，∴S△APN=S△PMN，過M作MG⊥PN于G，∴，∴MG=AP，易得△APH≌△MGH，∴AH=HM=t，∵AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=10﹣2t，t=10=10﹣2t，t=．答：當t為秒時，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．【點睛】考查了全等三角形的判定與性質，對稱的性質，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡等知識點，計算量大，解答本題的關鍵是熟練掌握動點運動時所構成的三角形各邊的關系.18、（1）a的值為200，b的值為30；（2）甲追上乙時，與學校的距離4100米；（3）1.1或17.1．【解析】

（1）根據速度=路程÷時間，即可解決問題．（2）首先求出甲返回用的時間，再列出方程即可解決問題．（3）分兩種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：(1)由題意a==200,b==30，∴a=200，b=30.(2)+4.1=7.1，設t分鐘甲追上乙,由題意,300(t?7.1)=200t，解得t=22.1，22.1×200=4100，∴甲追上乙時，距學校的路程4100米．(3)兩人相距100米是的時間為t分鐘．由題意：1.1×200(t?4.1)+200(t?4.1)=100，解得t=1.1分鐘，或300(t?7.1)+100=200t，解得t=17.1分鐘，故答案為1.1分鐘或17.1分鐘．點睛：本題主要考查了函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用.要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析即圖象的變化趨勢得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論.19、繩索長為20尺，竿長為15尺.【解析】

設索長為x尺，竿子長為y尺，根據“索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】設繩索長、竿長分別為尺，尺，依題意得：解得：，.答：繩索長為20尺，竿長為15尺.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．20、（1）;（2）【解析】

（1）由一次函數的解析式可得出D點坐標，從而得出OD長度，再由△ODC與△BAC相似及AB與BC的長度得出C、B、A的坐標，進而算出一次函數與反比例函數的解析式；

（2）以A點為分界點，直接觀察函數圖象的高低即可知道答案．【詳解】解：（1）對于一次函數y=kx-2，令x=0，則y=-2，即D（0，-2），

∴OD=2，

∵AB⊥x軸于B，

∴，

∵AB=1，BC=2，

∴OC=4，OB=6，

∴C（4，0），A（6，1）

將C點坐標代入y=kx-2得4k-2=0，

∴k=，

∴一次函數解析式為y=x-2；

將A點坐標代入反比例函數解析式得m=6，

∴反比例函數解析式為y=；

（2）由函數圖象可知：

當0＜x＜6時，y1＜y2；

當x=6時，y1=y2；

當x＞6時，y1＞y2；【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題．熟悉函數圖象上點的坐標特征和待定系數法解函數解析式的方法是解答本題的關鍵，同時注意對數形結合思想的認識和掌握．21、-.【解析】

先把分式除法轉換成乘法進行約分化簡，然后再找出分式的最小公分母通分進行化簡求值，在代入求值時要保證每一個分式的分母不能為1【詳解】解：原式=-=-===-.當x=-1或者x=1時分式沒有意義所以選擇當x=2時，原式=.【點睛】分式的化簡求值是此題的考點，需要特別注意的是分式的分母不能為1．22、（1）證明見解析（2）（3）EP+EQ=EC【解析】

（1）由題意可得：∠ACP=∠BCQ，即可證△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；作CH⊥PQ于H，由題意可求PQ=2，可得CH=，根據勾股定理可求AH=，即可求AP的長；作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，設BC交AE于O，由題意可證△CNP≌△CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可證Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°，則可求得EP、EQ、EC之間的數量關系．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ且AC=BC，CP=CQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴PA=BQ如圖2中，作CH⊥PQ于H∵A、P、Q共線，PC=2，∴PQ=2，∵PC=CQ，CH⊥PQ∴CH=PH=在Rt△ACH中，AH==∴PA=AH﹣PH=-解：結論：EP+EQ=EC理由：如圖3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，設BC交AE于O．∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO=∠OBE，∵∠AOC=∠BOE，∴∠OEB=∠ACO=90°，∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，∴∠MCN=∠PCQ=90°，∴∠PCN=∠QCM，∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，∴△CNP≌△CMQ（AAS），∴CN=CM，QM=PN，∴CE=CE，∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EC=EN，∴EP+EQ=EC【點睛】本題考查幾何變換綜合題，解答關鍵是等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，添加恰當輔助線構造全等三角形．23、（1）頂點（-2，-1）A（-1,0）;（2）y=（x-2）2+1;(3)y=x2-x+3,,y=x2-4x+3,.【解析】

（1）將點B和點C代入求出拋物線L即可求解.（2）將拋物線L化頂點式求出頂點再根據關于原點對稱求出即可求解.（3）將使得△PAC為等腰直角三角形，作出所有點P的可能性，求出代入即可求解.【詳解】（1）將點B（-3,0），C（0,3）代入拋物線得：，解得，則拋物線.拋物線與x軸交于點A,，，A（-1,0），拋物線L化頂點式可得，由此可得頂點坐標頂點（-2，-1）.（2）拋物線L化頂點式可得，由此可得頂點坐標頂點（-2，-1）拋物線L1的頂點與拋物線L的頂點關于原點對稱，對稱頂點坐標為（2，1），即將拋物線向右移4個單位，向上移2個單位.(3)使得△PAC為等腰直角三角形，作出所有點P的可能性.是等腰直角三角形,,,,,求得.,同理得,,,由題意知拋物線并將點代入得：.【點睛】本題主要考查拋物線綜合題，討論出P點的所有可能性是解題關鍵.24、（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）點P的坐標為（﹣，1）；（3）當AM+CN的值最大時，點D的坐標為（，）．【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求