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兆麟中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期
遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考模擬考——數(shù)學(xué)
總分:150分時(shí)間:120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)符合題目要求。
1.設(shè)全集。="€可》410},集合2={3,4,6,8},8={xeU|x=3左—2,左eN},則集合
Qz)n5中的元素個(gè)數(shù)有()
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
2.已知命題力:eR,a11-Tta>0,貝U()
A.p:三。任R,a11-7ia>0B.p:VQER,a11-7ia<0
C.p:GR,a11-7ia<0D.p:VaeR,a71-7ia<0
3.設(shè)x、jeR,貝ij“孫〉1”是“一+了2〉1”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.2023年7月12日9時(shí)0分,由“中國藍(lán)箭航天”自主研制的朱雀二號(hào)遙二運(yùn)載火箭的發(fā)射任務(wù)取得圓
滿成功,該火箭由此成為全球首款成功入軌的液氧甲烷火箭,標(biāo)志著我國運(yùn)載火箭在新型低成本液體推進(jìn)
劑應(yīng)用方面取得重大突破.在火箭研發(fā)的有關(guān)理論中,齊奧爾科夫斯基單級(jí)火箭的最大理想速度公式至關(guān)重
M
要.其公式為v=qlno其中v為單級(jí)火箭的最大理想速度(單位:nrs-),?為發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度
Mk
(單位:m-s1),M°,4分別為火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火(推進(jìn)劑用完)時(shí)的質(zhì)量(單位:kg),
3稱為火箭的初末質(zhì)量比.要使火箭達(dá)到某個(gè)速度,應(yīng)當(dāng)提升火箭的初末質(zhì)量比以及噴射速度,但由于火
Mk
箭可能的結(jié)構(gòu)(各類動(dòng)力、連接裝置等)所制約,初末質(zhì)量比不可能大于10.現(xiàn)有某型號(hào)單級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)
機(jī)能獲得的最大噴射速度約為400sx9.8m§274km那么它能獲得的最大理想速度約為()
(參考數(shù)據(jù):In2ao數(shù)9,In5dl.61)
A.4.44km-s1B.7.2km-s1C.9.2km-s1D.8.8km-s1
5.設(shè)為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和,已知為=3,Vm,〃eN*,Sm+n=SmSn,則()
A.{a,J是等比數(shù)列B.%=54
C.+&+%+%+。9=3?
a$D.Sn=3n
i7
6.設(shè)2a=3°=£,若士+=2,貝卜=)
ab
A.2GB.6D.V6
33
+6-4
7.已知a〉l,/(x)=—?jiǎng)t不等式/(2x—l)+/(x—1)+4〉0的解集為()
ax+l
A.—+C0B.-若D.g+oo
8.已知a=e°m,Z)=ln(1.03e),C=VL06,貝U()
K.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符
合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.
9.若a〉6〉0,貝1J()
b6+1B.3“一,T〉J
A.—<----
aQ+13
171
C.QH--〉Z7H--D.a+b>2y[ab
ab
10.定義在R上的連續(xù)函數(shù)/(x)滿足Vx,JGR,/(盯)=/(%)/&),/(1)=1,貝I()
A./(0)=0B.當(dāng)x,ye(0,+oo)時(shí),f~—
y)/")
i
C.若/(—1)=1,則/(X)為偶函數(shù)D.當(dāng)xwO時(shí),f(x)+f>2
x
1
11.設(shè)數(shù)列{%}滿足。,+1-3a“+4,為3,記數(shù)歹以,的前〃項(xiàng)和為S“,則()
4一1
3-
A.a“+i〉a〃B-fl2023?5+20232
332023
c.s?<iD.。2023>5+
三、填空題(共3個(gè)小題,每題5分,滿分15分)
12.若數(shù)列a,27,-9,b,-1為等比數(shù)列,則不(b-n了~(3a)5=
1
13.函數(shù)y=28的值域?yàn)?
14.已知Q,b滿足logg(2。-1)=5-2。,2?31+6=9,則6+4。=.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.函數(shù)N=[xy=lg三>8=刎x?+2日—3左2wo},若“xe4”是“xe8”的充分不必要
條件,求實(shí)數(shù)后的取值范圍.
16.已知等差數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和為S,,%=1,S7-S4=33.
(1)求{%}的通項(xiàng)公式;
(2)判斷---1-----1-----1-----1----與2的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論.
Es?s.sn
17.已知函數(shù)f(x)=X3-X2-6ZX+1,Q£R.
(1)若m%>0,f(x)<0,求a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(、)+辦一1,//(%)=x2+bx,若斜率為1的直線與曲線y=g(x),y=都
相切,求6的值.
02X4-2
18.已知函數(shù)y=/(x),其中/(》)=———是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求解不等式/(x)>4;
(3)當(dāng)xc(l,3)時(shí),/Qc2)+/(x—1)>0恒成立,求實(shí)數(shù)/的取值范圍.
19.已知函數(shù)/(x)定義在區(qū)間(—1,1)內(nèi),/[—[]=2,且當(dāng)Vx,ye(—1,1)時(shí),恒有
〃x)+/a)=/1.
(1)證明:/(X)為奇函數(shù);
2Q“723〃+1
(2)若數(shù)列{%},也}滿足0<%<1,ai=~>%+i-0----,6=----z--\"I----7--X+…H----7---\'
%+1fM/(%)/(%)
且對(duì)V〃eN*,(―1)"(4+6)X<4,求;I的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)
是符合題目要求的.
1.【答案】B【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算求得6。/,求出集合8,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.
解:由題意得。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10卜%/={0,1,2,5,7,9,10},5={1,4,7,10),所以
(6^)05={1,7,10}.
2.【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可.
解:根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以「夕:3aGR,a"-兀"〉O的否定是P:VaeR,
兀"WO.
3.【答案】A【分析】利用重要不等式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
解:由孫〉1,Wx2+j2>2xy>2>1,貝廣9〉1"=>"x?+/〉1";但當(dāng)/+必〉1時(shí),取
x=l,y=—,則即“孫〉1”中“/+2〉i”所以“J,是“/+2〉i”
?100?100??
的充分不必要條件.選:A.
4.【答】C解:由題意得qy4000m6一,初末質(zhì)量比最大為10,則該型號(hào)單級(jí)火箭能獲得的最大理想
速度v=40001nl0=4000(ln2+ln5)?4000x(0.69+1.61)=9200m-s].故選:C.
5.【答案】B
【析】根據(jù)題意,令令機(jī)=1,得到S"+i=3S?,得出{S“}為等比數(shù)列,求得工=3",結(jié)合選項(xiàng),逐項(xiàng)判
定,可求解.
解:因?yàn)?=3,且V加,〃eN*,Sm+n=SmSn,令掰=1,可得S〃+i=531=5/1=35,,又因?yàn)?/p>
EwO,所以{S“}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,所以5=3",所以。4=54—5=34-33=54,
所以B正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤;由%=S2—S]=6,a3=S3-S2=18,可得蟾7%?%,所以數(shù)列{4}不是等
比數(shù)列,所以A項(xiàng)錯(cuò)誤;
由生+&+“7+“8+。9=S9—S4=3?!?,〉3*,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.
A.6【答案】C
12
【分析】由題,將指數(shù)式2“=3^=/化成對(duì)數(shù)式,求出a,b,代入一+7=2,根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可計(jì)算
ab
得答案.
解:由2"=3'=,,知/〉0,且。=log2Z,b=log3Z,
1212
L廠兩+由T°g"gf8=2'
所以/=18,7=3也.故選:C.
7.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式變形判斷其單調(diào)性,并推出/(x)+4=-/(-X),則可將
/(2x—l)+/(x—1)+4〉0變?yōu)?(2x—l)〉/(l—x),利用函數(shù)單調(diào)性,即可求解.
33
Iy5_A—A
解:由題意得/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)==爐-^p又a>l,則>為增函數(shù),
3
而>=爐為R上的增函數(shù),所以/(X)為增函數(shù),又
-4_4(44優(yōu))
-----------1-----------二一4,
心/f—+"Ea+1ci+1,
所以/(x)+4=-/(—x),即/(2x——l)+4=/(2x—1)—/(I—x)〉0,即
2
f(2x-l)>f(l-x),所以2x—l〉l—x,所以x〉§,即不等式/(2%一1)+/。;一1)+4〉0的解集
故選:D.
8.【答案】B解:由題意a=e°m,Z)=ta(1.03e)=In(1+0.03)+1,c=VL06=Vl+2x0.03,
下面先證明e'2x+l,設(shè)函數(shù)0(x)=e*-x-l,則。當(dāng)x〉0時(shí),0'(x)〉0,0(x)在
(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增,
當(dāng)x<0時(shí),(p'(x^<0,0(x)在(-叫0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以0(0)=0,所以當(dāng)x〉0時(shí),
eT>x+1,
I----------產(chǎn)―1
設(shè)/(x)=x+1-Jl+2x,x>0,t=Vl+2x>1,則、=--—‘所以
f(「)=〃,)=,21+]—="2"〉0(%>1),所以x+1〉Jl+2x①,
所以>0.03+1〉J1+2x0.03=,
11Jl+2x-(x+1)
即a〉c.再設(shè)g(x)=In(1+x)+1-Jl+2x(x>0),g'(x)=
1+xV1+2x(x+1)V1+2x
又由①知g'(x)<0,所以g(x)在(O,+s)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)<g(O)=O,
所以ln(l+x)+l<Jl+2x,所以In(1+0.03)+1<J1+2義0.03,即ln(L03e)<JH記,所以b<c.
綜上,a>c>b.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題
目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.【答案】ABD
【分析】利用作差法即可判斷A,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷B,舉反例即可判斷C,根據(jù)均值不等式即可
判斷D.
bb+1_ab+b-Qib+a)_b-a
解:對(duì)于A項(xiàng),因?yàn)椤!?〉0,則b-a<0,<0,所以
aa+1a(a+l)Q(Q+1)
,A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng),因?yàn)閍〉b〉0,所以a—b〉0,所以a—b—1〉—1,所以
aa+1
3所乒1〉3-1二」,B項(xiàng)正確;對(duì)于C項(xiàng),令。=2,b=~,則口+4=6+工,C錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),由均
32ab
值定理即可得到a+6〉2而,D項(xiàng)正確.
10.【答案】BC
【析】舉反例即可判斷A,D;利用賦值法推出/從而可判斷B;利用賦值法結(jié)合偶函數(shù)
定義判斷C.
解:對(duì)于A項(xiàng),令/(x)=l,則/(x)滿足題中所給條件,但此時(shí)有了(0)=lw0,A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),
當(dāng)x,ye(0,+oo)時(shí),取、=工,則/(%)/1
=/(1)=1,所以/所以
xx
(\
X
B項(xiàng)正確;對(duì)于C項(xiàng),由題意得/(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)中心
y)y)\yJ
對(duì)稱,且/(一1)=1,則y(—x)=/(-l)/(x)=/(x),所以/(x)為偶函數(shù),C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng),
令/(x)=x,則/(x)滿足題中所給條件,但當(dāng)x<0時(shí),/(x)+fx+—<-2,故
x
1
/(》)+/22不成立,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.
X
11.【答案】ACD
【分析】選項(xiàng)A,利用數(shù)列單調(diào)性定義,可判斷;選項(xiàng)B,D,
3_,.3(3?1(3丫
-----&2-+4-dH—>|a,
n+12""2("2J4("2J
兩邊取對(duì)數(shù),|]〉21n]a.—迭代可得,??-|>^,取值放縮可判斷;選項(xiàng)C,
an+l=a;「3an+4=(%—1)(4-2)+2,可得=—------------,利用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果.
'%一14-2a“+「2
解:因?yàn)?=3〉2,由%+]=端—3%+4=1%—4+}所以當(dāng)4〉2時(shí),由二次函數(shù)單調(diào)性知
2
所以外,〉2,an+x-an=crn-Aan+4=(an-2)>0,所以a“+i〉a”,A項(xiàng)正
%+1—1'="_3%+4_1'=端_3。"+|"=|。"_|_]'因?yàn)?〉2,所以
2-1
〉〉2lnfa?_2-|-j>--->2"InftZj-1-
3(3V"13(3V022
所以,所以的。23〉:+:,顯然
3(3V°23―9,3、2
22。22〉2】1=2048>2023,所以。2023〉]+].又202323<2023"<2<j=己,所以
2023逅<1),所以20235,B項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確;
1111
%+i=-3%+4=@-!)(??-2)+2,
a
n+\~2Q-1)(。"-2)an-24-1
111
a“-1%—2an+l-2
111111111
----------1------------F…-I----------二---------------1--------------------------F…H---------------------------
/-1a?-1Q“-1%—2a2—2?-2-2Q“—2。”+1—2
----------------=1------------<1,C項(xiàng)正確.故選:ACD.
a「2an+i-2an+l-2
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
12.【答案】71【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得a,b,根據(jù)根式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算,即可得答案.
解:由題意得272=—9a,a=-81,從而等比數(shù)列公比為——,所以6=3,所以
3
不(b-冗)~—(3a>=J(3—兀)~—[3x(—81)了=兀-3—(^35)=兀_3+3=兀,故答案為:n.
13.【答案】[(),<U(l,+oo)【析】根據(jù)反比例函數(shù)求出指數(shù)的取值范圍,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求
出函數(shù)的值域.
解:設(shè)/=——1,貝lJ/2—1且次(),根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì),從而;e(—oo,—l]U(O,+s),所以
21同U(l,+?).
14.【答案】11【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),化簡(jiǎn)得到logs(2a-1)=10-4a,設(shè)/=log3(2a-l),得
到2?3'+/=8,又由2?31+6=9,得到2?32+6—1=8,結(jié)合/(x)=23+x的單調(diào)性,得到
t=b-1,進(jìn)而求得b+4a的值.
解:由loggia—1)=5—2a,可得2a—1〉0,即a〉;,且
log9(2.-l)=%,)=-『)=5-2a>
可得logs。。-1)=10-4口,設(shè)/=logs(2a—1),則2a=3'+1,原式化為/=10-2(3'+1),即
2?3'+/=8,又由2?32+6=9,可得2?35+6—1=8,令函數(shù)/(x)=2-3*+x,顯然/(x)為增函
Q-A
數(shù),所以/=b—1,則2a=3'+1=35+1=_——+1,所以b+4a=11.故答案為:11.
2
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
6【答案】(-*-2]U(3,+s]【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì),求得幺=*卜2<%<3},利用不等式的解法,
分類討論的不等式的解集,解“xeZ”是“xeB”的充分不必要條件,分類討論列出不等式組,即可
求解.
解:由^——>0,可得(x+2)(x—3)<0,解得一2<x<3,即Z=(r卜2<x<3},又由
x2+2kx-3k~<0,得(x+3左)(x-左)W0,當(dāng)左〉0時(shí),xe[-3左,左];當(dāng)左=0時(shí),x=0;當(dāng)
左<0時(shí),xeR,-3左].因?yàn)椤皒eN”是“xeB”的充分不必要條件,所以當(dāng)左〉0時(shí),滿足
一一3k<-2[k<-2
1一,解得左23;當(dāng)左=0時(shí),不符合題意;當(dāng)左<0時(shí),滿足一,解得左V—2.綜上可得,
k>3[-3k>3
實(shí)數(shù)人的取值范圍為(7,-2]u(3,+句.
16.【答案】(1)an=2n-l
(2)—+—+—+—<2,證明見解析
Es?S,sn
【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為力根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)可求得&的值,由此可求得d的值,
再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
(2)判斷出工+,+工+…+」-<2,求得S,,=〃2,當(dāng)〃=1時(shí),可得出工=1<2;當(dāng)時(shí),利
S]S2S3SnS]
用放縮法可得3<一一-可證得結(jié)論成立,綜合可證得結(jié)論成立.
nn—\n
【小問1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列,〃}的公差為d,由S7—54=牝+。6+。7=3。6=33,可得6=11.
又%=1,所以公差=1;1=2,所以%=%+(〃—l)d=1+2(〃—1)=2〃—1.
【小問2詳解】解:」■+」-+工■+…+」-<2.證明如下:由(1)可求得
S]S2S3Sn
S=-^~~立=△-------2=",當(dāng)〃=1時(shí),—=1<2;當(dāng)〃22時(shí),
"22E
111
所以
-n2<7[n-\\)n-n-1n
=2--<2.
n
*1111
綜上所述,對(duì)任意的〃wN,--1---1---1---1---<2.
S]S?s.sn
17.【答案】(1)a>\(2)6=3或6=-1.
尸21
【小問1詳解】解:由題意三、〉0,/(x)<0,得QX+I<O,即。〉---------在工〉0時(shí)有
X
解.
丫3_2111
設(shè)0(x)=--------,則。'(x)=2x——--1,易知/'(1)=0.令加(%)=2%——f—l,則
2
mr(x)=2+—>0,
所以9'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)xe(O,l)時(shí),夕'(人)<0,0(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),0'(x)>0,
0(X)單調(diào)遞增.所以=0(1)=1,所以O(shè)〉L
⑵解:由題意得g(x)=/—/,所以g〈x)=3/—2x,令g,(x)=l,解得芭=1,x2=,所
以直線與y=g(x)的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),所以切線方程分別為>=X-1和
59
y=x+—x-\=x1+bx,得x?+0-l)x+l=0,令A(yù)[=0-1)~-4=0,解得6=3或b=-1.
^x+—=x2+bx,得x?+。-l)x-』=0,令△)=+竺=0,無解.檢驗(yàn),直線與
27v7272v727
_^=〃&)的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(—1,—2),(1,0),綜上,6=3或6=-1.
18.【答案】(1)a=2(2)^0,log23](3)/=1—oo,—a]u(0,+°0)
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?—叫0)U(0,+8),因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以/(—x)=—/(X),
,/、a-2-x+2a+2-2x,a+2-2xa-2x+2.、
f(-x)=--------=---------,則n---------=---------,則na=2;
、72-x-l1-2,1-2工1-2X
⑵/(%)=———>4,即七一>2,整理得1<2工43,則0<xVlog23,所以xe(OJog??].
2'—12'—1
7-L94
(3)十/-2+與一,所以/(x)在(—oo,0)和(0,+8)上是嚴(yán)格減函數(shù),且當(dāng)
2—12—1
%£(-00,0)時(shí),f(x)<2;當(dāng)X£(0,+8)時(shí),f(x)>2;由/(笈2)+/(%一1)〉0可得:
當(dāng)xe(l,3)時(shí),1—x<0,當(dāng)/<0時(shí),tx2<0,所以//〈I—%,即/<J—J_=__1,又
xxIx2J4
xG(1,3),所以,<一;;當(dāng)/〉0時(shí),tx2>0,則而工£。,3),1-x<0,貝!J
/(I—x)<2滿足題意;
函數(shù)的定義域Q={x|XW。},則才=0時(shí)/=0e。不符,舍去.綜上,=1—co,_;1u(0,+8)
19.(1)/(%)為奇函數(shù).(2)(―1,|)
【小問1】詳解
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