新北師大版初中數(shù)學九年級上冊第1章-特殊平行四邊形《第3課-正方形的性質(zhì)與判定》

北師大版九年級數(shù)學(上)

第一章特殊平行四邊形

第一課時正方形的性質(zhì)2002年世界數(shù)學大會會標圖片欣賞

創(chuàng)設情景?情景一問題:

從這個圖形中你想到了什么？鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？矩形正方形新知探究圖1-17中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（square）平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角給正方形下個定義定義：一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì)．定理正方形的四個角都是直角，四條邊相等．定理正方形的對角線相等且互相垂直平分．請你完成這兩個定理的證明．正方形的性質(zhì)定理:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.正方形的性質(zhì)定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;AC⊥BD;∵四邊形ABCD是正方形,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO正方形有幾條對稱軸？圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.正方形有四條對稱軸。中心對稱中心在兩條對角線的交點處。對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)例1.如圖1-18，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE=CF．BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四條邊相等，四個角都是直角）．∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°．∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE=DF．例1.如圖1-18，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE=CF．BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（2）延長BE交DF于點M．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF．∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°．∴∠CBE+∠F=90°．∴∠BMF=90°．∴BE⊥DF．M平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關系？你能用一個圖直觀地表示它們之間的關系嗎？與同伴交流．菱形矩形平行四邊形正形方正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，圖中有多少個等腰三角形？2．如圖，在正方形ABCD中，點F為對角線AC上一點，連接BF，DF．你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明．對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)1．對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△CBE是等邊三角形，求∠AEB的度數(shù)．3．如圖，A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個角上．倉庫P和Q分別位于AD和DC上，且PD=QC．證明兩條直路BP=AQ且BP⊥AQ．4、如何設計花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）

請你當設計師北師大版九年級數(shù)學(上)

第一章特殊平行四邊形

第二課時正方形的判定對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)如圖1-20，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開．怎樣剪才能剪出一個正方形？滿足什么條件的平行四邊形是正方形？滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理:有一個角是直角的菱形是正方形.定理:有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理:有一個角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.正方形的判定（隨堂練習1）定理:有一個角是直角的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四邊形ABCD是矩形.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD定理對角線相等的菱形是正方形．從對角線的角度考慮：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理對角線垂直的矩形是正方形．正方形的判定（隨堂練習2）定理:對角線互相垂直的矩形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴∠ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定（知識技能1）定理:對角線相等的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴AB=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四邊形ABCD是菱形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,且對角線AC=BD.ABCDO平行四邊形正方形

一組鄰邊相等且一內(nèi)角是直角1、正方形菱形2、一內(nèi)角是直角或?qū)蔷€相等矩形3、一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直正方形正方形的判定方法：（可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎）定義法菱形法矩形法①四條邊相等，四個角都是直角②對角線互相垂直、平分且相等四邊形正方形以四邊形為基礎：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。例2：如圖1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是正方形．12我們知道，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點可以組成一個平行四邊形．任意畫一個正方形（如圖1-22），以四邊的中點為頂點可以組成一個怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明．123模型依次連接任意四邊形各邊中點所成的四邊形是平行四邊形.ABCHDEFG證明：連接AC∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點∴EF∥AC，EF=AC，

HG∥AC，HG=AC∴EF∥HG，EF=HG∴四邊形EFGH是平行四邊形已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形依次連接正方形各邊中點所成的四邊形是一個怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.已知：E、F、G、H分別是正方形ABCD四邊AB、BC、CD、AD的中點求證：四邊形EFGH是正方形證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA∠A=∠B=∠C=∠D∵AE=BE=AB，BF=CF=BC，CG=DG=CD，DH=AH=AC∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=HG=AH∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG∴EF=FG=GH=HE∴四邊形EFGH是菱形∵∠1=∠2=45°∴∠3=90°∴四邊形EFGH是正方形123ABCHDEFG（1）以菱形或矩形各邊的中點為頂點可以組成一個什么圖形？先猜一猜，再證明．如果以平行四邊形各邊的中點為頂點呢？DBCADEFGABCHDEFGABCHDEFG（2）以四邊形各邊中點為頂點所組成的新四邊形的形狀與哪些線段有關系？有怎樣的關系？依次連接菱形各邊中點所成的四邊形是一個怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.DBCAEHGF已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點。求證：四邊形EFGH是矩形證明：連接AC、BD交于點O∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點∴HE∥BD，HE=BD，

GF∥BD，GF=BD∴HE∥GF，HE=GF∴四邊形EFGH是平行四邊形∵AC⊥BDBD∥HE∴∠1=∠2=90°∵G、H是CD、AD的中點∴HG∥AC∴∠1+∠3=180°∴∠3=90°∴四邊形EFGH是矩形O123圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系依次連接對角線相等的四邊形各邊中點所成的四邊形是一個怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.ABCHDEFG依次連接對角線垂直的四邊形各邊中點所成的四邊形是一個怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.ABCHDEFG圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系依次連接對角線相等且垂直的四邊形各邊中點所成的四邊形是一個怎樣的圖形呢？