2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡中填

涂符合題意的選項，本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.（3.00分）-2的相反數(shù)是（）

A.-2B.-1c.2D.1

22

2.（3.00分）據(jù)統(tǒng)計，2017年長沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟總量

邁入"萬億俱樂部"，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.102X105B.10.2X103C.1.02X104D.1.02X103

3.（3.00分）下列計算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.3我-2&=1C.（x2）3=x5D.m5-rm3=m2

4.（3.00分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cm

D.6cm,7cm,14cm

5.（3.00分）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

6.（3.00分）不等式組，*+2>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

l2x-4<0

----1.III1>—!-?ILI_I-I~?

A.-3-2-10123B.-3-2-10123

IbI!一!一仆一II_I_II>

C.-3-2-10123D.-3-2-10123

7.（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是

)

A.B.--------/C.______D.----------，

8.（3.00分）下列說法正確的是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預(yù)報說"明天的降水概率為40%”,表示明天有40%的時間都在降雨

C."籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機事件

D."a是實數(shù)，|a|20"是不可能事件

9.（3.00分）估計萬+1的值是（）

A.在2和3之間B.在3和4之間C.在4和5之間D.在5和6之間

10.（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐,

接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離y與時

間x之間的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）

B.小明讀報用了30min

C.食堂到圖書館的距離為0.8km

D.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min

11.（3,00分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一

道題："問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲

知為田幾何？"這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，

13里，問這塊沙田面積有多大？題中"里"是我國市制長度單位，1里=500米，

則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

12.（3.00分）若對于任意非零實數(shù)a,拋物線y=ax2+ax-2a總不經(jīng)過點P（xo

-3,xo2-16）,則符合條件的點P（）

A.有且只有1個B.有且只有2個C.有且只有3個D.有無窮多個

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

13.（3.00分）化簡：,JP___L.=.

m-1m-1

14.（3.00分）某校九年級準備開展春季研學(xué)活動，對全年級學(xué)生各自最想去的

活動地點進行了調(diào)查，把調(diào)查結(jié)果制成了如下扇形統(tǒng)計圖，則"世界之窗〃對應(yīng)扇

形的圓心角為度.

15.（3.00分）在平面直角坐標系中，將點A，（-2,3）向右平移3個單位長度,

再向下平移2個單位長度，那么平移后對應(yīng)的點A，的坐標是.

16.（3.00分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6

的點數(shù)，擲得面朝上的點數(shù)為偶數(shù)的概率是.

17.（3.00分）已知關(guān)于x方程x2-3x+a=0有一個根為1,則方程的另一個根

為?

18.（3.00分）如圖，點A,B,D在。。上，ZA=20°,BC是。。的切線，B為

切點，OD的延長線交BC于點C,則NOCB=度.

三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小

題6分，第22、23題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答時

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（6,00分）計算：（-1）2018-插（n-3）°+4cos45°

20.（6.00分）先化簡，再求值：（a+b）2+b（a-b）-4ab,其中a=2,b=--.

2

21.（8.00分）為了了解居民的環(huán)保意識，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機抽取了

若干名居民開展主題為"打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)"的環(huán)保知識有獎問答活動，并用得到的

數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共抽取了名居民;

（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

（3）社區(qū)決定對該小區(qū)500名居民開展這項有獎問答活動，得10分者設(shè)為“一

等獎"，請你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計需準備多少份“一等獎”獎品？

22.（8.00分）為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的

公路進行改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來從A地到B地需途徑

C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80

千米，ZA=45°,ZB=30°.

（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？

（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1

千米）（參考數(shù)據(jù)：血心141,?心1.73）

23.（9.00分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日"端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展"歡度端

午，回饋顧客"的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽

子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這

批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？

24.(9.00分)如圖，在aABC中，AD是邊BC上的中線，ZBAD=ZCAD,CE〃

AD,CE交BA的延長線于點E,BC=8,AD=3.

(1)求CE的長；

(2)求證：AABC為等腰三角形.

(3)求aABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

25.(10.00分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=皿(m為常數(shù)，m>l,

X

x>0)的圖象經(jīng)過點P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交于C,

D兩點，點M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為A,B.

(1)求NOCD的度數(shù)；

(2)當(dāng)m=3,l<x<3時，存在點M使得△OPMsaocp,求此時點M的坐標;

(3)當(dāng)m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明

26.(10.00分)我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做"十字形".

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是"十字形"的有;

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBWCD,則該四邊形"十字形".（填"是"

或"不是"）

（2）如圖：L,A,B,C,D是半徑為1的。0上按逆時針方向排列的四個動點，

AC與BD交于點E,ZADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,當(dāng)6^AC2+BD2^7時，求

0E的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，

a>0,c<0）與x軸交于A,C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的

交點，點D的坐標為（0,-ac）,記“十字形"ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,

△AOD,ABOC的面積分別為Si，S2，S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物

線的解析式；

①?=歷+花；②岳居+國③"十字形"ABCD的周長為12岳。

2018年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡中填

涂符合題意的選項，本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.（3.00分）-2的相反數(shù)是（）

A.-2B.-1c.2D.1

22

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：C.

2.（3.00分）據(jù)統(tǒng)計，2017年長沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟總量

邁入"萬億俱樂部"，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.102X105B.10.2X103C.1.02X104D.1.02X103

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10n的形式，其中|a|V10,n為整數(shù).確

定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點

移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI時，n

是負數(shù).

【解答】解:10200=1.02X104,

故選：C.

3.（3.00分）下列計算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.3&-2如=\仁（x2）3=x5D.m5-rm3=m2

【分析】直接利用合并同類項法則以及幕的乘方運算法則、同底數(shù)幕的乘除運算

法則分別計算得出答案.

【解答】解：A、a2+a3,無法計算，故此選項錯誤；

B、32圾=如，故此選項錯誤；

C、（x2）3=x6,故此選項錯誤；

D、m54-m3=m2,正確.

故選：D.

4.（3.00分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cm

D.6cm,7cm,14cm

【分析】結(jié)合"三角形中較短的兩邊之和大于第三邊"，分別套入四個選項中得三

邊長，即可得出結(jié)論.

【解答】解:A、,.?5+4=9,9=9,

,該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；

B、8+8=16,16>15,

...該三邊能組成三角形，故此選項正確；

C、5+5=10,10=10,

,該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；

D、6+7=13,13<14,

該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；

故選:B.

5.（3.00分）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：A.

6.（3.00分）不等式組『+2>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

l2x-4<0

―…_I_4?>_—6!_!~!~?I>

A.-3-2-10123B,凸-2-10123

_J__bill1?—今--O1-!―~i1>

C.-3-2-10123D.-3-2-10123

【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：解不等式x+2>0,得：x>-2,

解不等式2x-4W0,得：xW2,

則不等式組的解集為-2VxW2,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

--39一1~0~12~3^

故選：C.

7.（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是

()

【分析】根據(jù)面動成體以及圓臺的特點進行逐一分析，能求出結(jié)果.

【解答】解：繞直線I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圓臺，

故選：D.

8.（3.00分）下列說法正確的是（)

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為40%”,表示明天有40%的時間都在降雨

C."籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機事件

D."a是實數(shù)，|a|20"是不可能事件

【分析】直接利用概率的意義以及隨機事件的定義分別分析得出答案.

【解答】解：A、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯誤;

B、天氣預(yù)報說“明天的降水概率為40%”,表示明天有40%的時間都在降雨，錯

誤；

C、"籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機事件，正確；

D、"a是實數(shù)，|a|20"是必然事件，故此選項錯誤.

故選：C.

9.（3.00分）估計/元+1的值是（）

A.在2和3之間B.在3和4之間C.在4和5之間D.在5和6之間

【分析】應(yīng)先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求

的無理數(shù)的范圍.

【解答】解：?.?32=9,42=16,

/.3<V10<4,

...丁元+1在4到5之間.

故選：C.

10.（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐,

接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離y與時

間x之間的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）

B.小明讀報用了30min

C.食堂到圖書館的距離為0.8km

D.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷即可.

【解答】解：小明吃早餐用了（25-8）=17min,A錯誤；

小明讀報用了（58-28）=30min,B正確;

食堂到圖書館的距離為（0.8-0.6）=0.2km,C錯誤；

小明從圖書館回家的速度為0.8+10=0.08km/min,D錯誤；

故選：B.

11.（3.00分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一

道題："問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲

知為田幾何？"這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，

13里，問這塊沙田面積有多大？題中"里"是我國市制長度單位，1里=500米，

則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案.

【解答】解：52+122=132,

.?.三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，

,這塊沙田面積為：-lx5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

2

故選：A.

（分）若對于任意非零實數(shù)拋物線2總不經(jīng)過點（

12.3.00a,y=ax+ax-2aPx0

-3,xo2-16）,則符合條件的點P（）

A.有且只有1個B.有且只有2個C.有且只有3個D.有無窮多個

【分析】根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的不等式，然后根據(jù)對于任意非零實數(shù)a,拋物

線2總不經(jīng)過點（2）即可求得點的坐標，從而可

y=ax+ax-2aPx0-3,x0-16,P

以解答本題.

【解答】解：?對于任意非零實數(shù)拋物線2總不經(jīng)過點（

a,y=ax+ax-2aPx0-3,

Xo2-16),

Xo2-162a(Xo-3)2+a(Xo-3)-2a

(xo-4)(Xo+4)(xo-1)(Xo-4)

/.(xo+4)Wa(xo-1)

??Xo=-4Xo=l9

，點P的坐標為(-7,0)或(-2,-15)

故選:B.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

13.(3.00分)化簡：---L=3.

in-1m-1

【分析】根據(jù)分式的加減法法則：同分母分式加減法法則：同分母的分式想加減,

分母不變，把分子相加減計算即可.

【解答】解：原式=三士=1.

m-1

故答案為：L

14.(3.00分)某校九年級準備開展春季研學(xué)活動，對全年級學(xué)生各自最想去的

活動地點進行了調(diào)查，把調(diào)查結(jié)果制成了如下扇形統(tǒng)計圖，則"世界之窗"對應(yīng)扇

形的圓心角為90度.

【分析】根據(jù)圓心角=360。乂百分比計算即可；

【解答】解：“世界之窗”對應(yīng)扇形的圓心角=36(TX(1-10%-30%-20%-15%)

=90°,

故答案為90.

15.(3.00分)在平面直角坐標系中，將點/V(-2,3)向右平移3個單位長度,

再向下平移2個單位長度，那么平移后對應(yīng)的點/V的坐標是(1,1).

【分析】直接利用平移的性質(zhì)分別得出平移后點的坐標得出答案.

【解答】解：?.?將點A（-2,3）向右平移3個單位長度，

二得到（1,3）,

???再向下平移2個單位長度，

.?.平移后對應(yīng)的點ZV的坐標是：（1,1）.

故答案為：（1,1）.

16.（3.00分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6

的點數(shù)，擲得面朝上的點數(shù)為偶數(shù)的概率是1.

一2一

【分析】先統(tǒng)計出偶數(shù)點的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答.

【解答】解：正方體骰子共六個面，點數(shù)為1,2,3,4,5,6,偶數(shù)為2,4,6,

故點數(shù)為偶數(shù)的概率為之=工，

62

故答案為：1.

2

17.（3.00分）已知關(guān)于x方程x2-3x+a=0有一個根為1,則方程的另一個根為

2.

【分析】設(shè)方程的另一個根為m,根據(jù)兩根之和等于-白，即可得出關(guān)于m的

a

一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)方程的另一個根為m,

根據(jù)題意得：l+m=3,

解得:m=2.

故答案為：2.

18.（3.00分）如圖，點A,B,D在。。上，ZA=20°,BC是。。的切線，B為

切點，OD的延長線交BC于點C,則NOCB=50度.

B

【分析】由圓周角定理易求NBOC的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得N

OBC=90°,進而可求出求出NOCB的度°°

【解答】解:

ZA=20°,

/.ZBOC=40°,

???BC是。。的切線，B為切點，

；.NOBC=90°,

AZOCB=90°-40°=50°,

故答案為：50.

三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小

題6分，第22、23題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答時

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（6.00分）計算：（-1）2018_括（n_3）0+4cos45°

【分析】本題涉及零指數(shù)幕、乘方、二次根式化簡和特殊角的三角函數(shù)值4個考

點.在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得

計算結(jié)果.

【解答】解：原式=1-2揚1+4X返=1-2我+1+2&=2.

2

20.（6.00分）先化簡，再求值：（a+b）2+b（a-b）-4ab,其中a=2,b=--.

2

【分析】首先計算完全平方，計算單項式乘以多項式，然后再合并同類項，化簡

后，再代入a、b的值，進而可得答案.

【解答】解：原式=a?+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab,

當(dāng)a=2,b=-1時，原式=4+1=5.

2

21.（8.00分）為了了解居民的環(huán)保意識，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機抽取了

若干名居民開展主題為"打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)"的環(huán)保知識有獎問答活動，并用得到的

數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共抽取了50名居民:

（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）社區(qū)決定對該小區(qū)500名居民開展這項有獎問答活動，得10分者設(shè)為"一

等獎"，請你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計需準備多少份"一等獎”獎品？

【分析】（1）根據(jù)總數(shù)=個體數(shù)量之和計算即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)、總數(shù)、中位數(shù)的定義計算即可；

（3）利用樣本估計總體的思想解決問題即可；

【解答】解:（1）共抽取:4+10+15+11+10=50（人）,

故答案為50；

（2）平均數(shù)=工（4X6+10X7+15X8=11X9+10X10）=8.26；

50

眾數(shù)：得到8分的人最多，故眾數(shù)為8.

中位數(shù)：由小到大排列，知第25,26平均分為8分，故中位數(shù)為8分;

（3）得到10分占104-50=20%,

故500人時，需要一等獎獎品500X20%=100（份）.

22.（8,00分）為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的

公路進行改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來從A地到B地需途徑

C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80

千米，ZA=45°,ZB=30°.

（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？

（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1

千米）（參考數(shù)據(jù)：血心141,73%1.73）

【分析】（1）過點C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角4ACD中，解直角三角

形求出CD,進而解答即可；

（2）在直角4CBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,進而求出汽車從A

地到B地比原來少走多少路程.

【解答】解：（1）過點C作AB的垂線CD,垂足為D,

VAB1CD,sin3（T=型，BC=80千米，

BC

（千米），

ACD=BC?sin30°=80X1,=4Q

AC=.^4=-=40/2（千米），

sin45V2

T

AC+BC=80+40&心40X1.41+80=136.4（千米），

答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米;

（2）?；cos30°=毀，BC=80（千米）,

BC

.?.BD=BC?cos30°=80X喙=4帖（千米），

Vtan45°=^,CD=40（千米），

AD

???AD=CD=40=40（千米），

tan451

,AB=AD+BD=40+40代心40+40X1.73=109.2（千米）,

汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千

米）.

答:汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米.

23.（9.00分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日"端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展"歡度端

午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽

子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這

批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？

【分析】（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根據(jù)"打折

前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600兀；打折后，買50盒甲品牌粽

子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解

之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)節(jié)省錢數(shù)=原價購買所需錢數(shù)-打折后購買所需錢數(shù)，即可求出節(jié)省的

錢數(shù).

【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根據(jù)題意得：（6x+3尸60°,

150X0.8x+40X0.75y=520C

解得：了式.

ly=120

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.

（2）80X40+100X120-80X0.8X40-100X0.75X120=3640（元）.

答：打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了3640元.

24.（9.00分）如圖，在AABC中，AD是邊BC上的中線，ZBAD=ZCAD,CE//

AD,CE交BA的延長線于點E,BC=8,AD=3.

（1）求CE的長；

（2）求證：AABC為等腰三角形.

（3）求4ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

E

【分析】(1)證明AD為ABCE的中位線得到CE=2AD=6；

(2)通過證明aABD之ACAD得到AB=AC；

(3)如圖，連接BP、BQ、CQ,先利用勾股定理計算出AB=5,設(shè)。P的半徑為

R,OQ的半徑為r,在RtAPBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得R=空,

6

則PD=1,再利用面積法求出r=&,即QD=2,然后計算PD+QD即可.

633

【解答】(1)解：；AD是邊BC上的中線，

，BD=CD,

?.?CE〃AD,

AAD為aBCE的中位線，

；.CE=2AD=6；

(2)證明：VBD=CD,ZBAD=ZCAD,AD=AD,

.,.△ABD^ACAD,

，AB=AC,

.,.△ABC為等腰三角形.

(3)如圖，連接BP、BQ、CQ,

在中，

RtAABDAB=^32+42=5,

設(shè)。P的半徑為R,€)Q的半徑為r,

在RtZ\PBD中，(R-3)2+42=R2,解得R=至，

6

；.PD=PA-AD=空-3=工，

66

SAABQ+SABCQ+SAACQ=SAABC，

.?.L?r?5+!?r?8+L?r?5=L?3?8,解得r=A,

22223

即QD=2,

3

PQ=PD+QD=1+_l=a

632

答：4ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為空.

25.(10.00分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=皿(m為常數(shù)，m>l,

X

x>0)的圖象經(jīng)過點P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交于C,

D兩點，點M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為A,B.

(1)求NOCD的度數(shù)；

(2)當(dāng)m=3,l<x<3時，存在點M使得△OPMsaocp,求此時點M的坐標;

(3)當(dāng)m=5時，矩形。AMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明

【分析】(1)想辦法證明OC=OD即可解決問題；

(2)設(shè)M(a,旦)，由△OPMs^ocP,推出處=51=理，由此構(gòu)建方程求出a,

a0COPCP

再分類求解即可解決問題；

(3)不存在分三種情形說明：①當(dāng)1VXV5時，如圖1中；②當(dāng)xWl時，如圖

2中；③當(dāng)x25時，如圖3中；

【解答】解：(1)設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b,則有(k/b=l

Ik+b=m

解得fk=T,

(b+irrH

y=-x+m+!,

令x=0,得到y(tǒng)=m+l,D(0,m+1),

令y+0,得到x=m+l,.*.C(m+1,0),

AOC=OD,

VZCOD=90°,

NOCD=45°.

(2)設(shè)M(a,上)，

a

VAOPM^AOCP,

??O?P_O，—M_P—M，，

0COPCP

，OP2=OC?OM,

當(dāng)m=3時，P(3,1),C(4,0),

OP2=32+12=10,OC=4,OM=Ja2T,

?OP-VlO

??一“，?一,

OC4

.■,4a4-25a2+36=0,

(4a2-9)(a2-4)=0,

?*.a=±—,a=±2,

2

Vl<a<3,

，a=3或2,

2

當(dāng)a=g時，M(W,2),

22

CP=V2，

2

PMV13-6VTO（舍棄）,

CP=2y12~~4~

當(dāng)a=2時，M(2,2),PM=，^,CP=J2,

_22

..&=淬=畫，成立，

CP2724

AM(2,2).

2

（3）不存在.理由如下：

當(dāng)m=5時，P（5,1）,Q（1,5）,設(shè)M（x,空）,

X

0P的解析式為：y=lx,0Q的解析式為y=5x,

5

xx5

S=S矩形OAMB-SAOAF-SAOBE

=5--工」.a=4.1,

252xx

化簡得到:x4-9x2+25=0,

△<O,

二沒有實數(shù)根.

②當(dāng)xWl時，如圖2中，

y

S=SAOGH<SAOAM=2.5,

?二不存在，

③當(dāng)x?5時，如圖3中,

.??不存在，

綜上所述，不存在.

26.（10.00分）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做"十字形".

（1）①在"平行四邊形，矩形，菱形，正方形"中，一定是"十字形"的有菱形,

正方形；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBWCD,則該四邊形不是“十字形".（填

"是"或"不是"）

（2）如圖1,A,B,C,D是半徑為1的。。上按逆時針方向排列的四個動點，

AC與BD交于點E,ZADB-NCDB=NABD-ZCBD,當(dāng)6^AC2+BD2^7時，求

0E的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，

a>0,c<0）與x軸交于A,C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的

交點，點D的坐標為（0,-ac）,記“十字形"ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,

△AOD,ABOC的面積分別為Si，S2，S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物

線的解析式；

①遮=歷+偲；②心后+國③"十字形"ABCD的周長為12行?

【分析】（1）利用"十字形"的定義判斷即可；

（2）先判斷出NADB+NCAD=NABD+NCAB,進而判斷出NAED=NAEB=90°,即：

AC1BD,再判斷出四邊形OMEN是矩形，進而得出OE2=2-2（AC2+BD?）,即可

4

得出結(jié)論；

（3）由題意得，A（ZWA,0）,B（0,c）,C（-b+VX,o）,D（0,-ac）,

2a2a

求出S=1AC?BD=-2（ac+c）X2ZA,SI」0A.0B=-c（'/X+b）,S2=1OC.OD=

22a24a2

-c（女心,S3=1OAX0D=-0（伍,S4=10BX0C=-。（伍—卜',進而

42__________42__________4a

建立方程'r（JA+b）N~~cWA-b）=4-c（VAN-c（VN-b）,求出a=],

2-2a'

再求出b=0,進而判斷出四邊形ABCD是菱形，求出AD=3而，進而求出c=-9,

即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①???菱形，正方形的對角線互相垂直，

二菱形，正方形是："十字形"，

???平行四邊形，矩形的對角線不一定垂直，

???平行四邊形，矩形不是"十字形"，

故答案為：菱形，正方形；

②如圖，

fAB=AD

當(dāng)CB=CD時，在aABC和aADC中，(CB=CD，

AC=AC

.'.△ABC^AADC(SSS),

/.ZBAC=ZDAC,

VAB=AD,

AAClBD,

.?.當(dāng)CBWCD時，四邊形ABCD不是"十字形"，

故答案為：不是；

(2)VZADB+ZCBD=ZABD+ZCDB,ZCBD=ZCDB=ZCAB,

，ZADB+ZCAD=ZABD+ZCAB,

A180°-ZAED=1800-NAEB,

，NAED=NAEB=90°,

AAClBD,

過點。作。M，AC于M,ON_LBD于N,連接OA,OD,

AOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=ly\C,DNJBD,四邊形OMEN

22

是矩形，

，ON=ME,OE2=OM2+ME2,

.*.OE2=OM2+ON2=2-1(AC2+BD2),

4

V6^AC2+BD2<7,

：.2-工WOE2W2-

42

22

"<OE《堂?(OE>0);

(3)由題意得，A(ZWA,0),B(0,c),C(-b+VX,o),口(0,-ac),

2a2a

Va>0,c<0,

0A=^^+b,0B=-c,QC=^~~b,0D=-ac,AC=^A,BD=-ac-C,

2a2aa

c

.,.S=Jj\C*BD=-1（ac+c）Si=10A*0B=-^VA+b）；s2=10C?0D=-

22a24a2

c（V"^-b）

-----------------,

4__

S3」0AXOD=-c（V^~+b）,S4」OBXOC=-心區(qū)±1,

2424a

.?.J-cG/^T+b）-cG/2^+b）+A/-C（V2^-1））

V4a22V4a

**-V4a=2,

??a=l,

...S=-cVZ，S1=-c（伍+b）,S4=_c（億-b）,

44

?:?宿+后

，s=S]+S2+2、y^,

?他2_我=^^，

b=0,

.,.A（-Vc?0）,B（0,c）,C（幾，0）,d（0,-c）,

???四邊形ABCD是菱形，

，4AD=12。元

??AD=34]0,

即：AD2=90,

VAD2=c2-c,

/.c2-c=90,

???c=-9或c=10（舍），

即：y=x2-9.

A

2021年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）實數(shù)-工，-泥，2,-3中,為負整數(shù)的是（）

2

A.-1B.-V5C.2D.-3

2

2.(3分)工+2=()

aa

A.3B.WC.2D.3

2aa?a

3.（3分）太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，其中數(shù)150000000用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.1.5X108B.15X107C.1.5X107D.0.15X109

4.（3分）一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（）

-2-10123

A.x+2>0B.x-2<0C.2%>4D.2-x<0

5.（3分）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）

如圖，已知直線八,12,h,14.若N1=N2,則N3=N4.

請完成下面的說理過程.

解：已知/1=N2,

根據(jù)（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,得

再根據(jù)（※"得N3=N4.

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等

D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

6.（3分）將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（）

7.（3分）如圖是一架人字梯，已知A8=AC=2米，AC與地面BC的夾角為a,則兩梯腳

之間的距離8。為（）

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——-——米

cosa

8.(3分)已知點A(xi,yi),B(x2,y2)在反比例函數(shù)y=的圖象上.若xi<0<x2,

x

貝I()

A.yi<0<y2B.>2<0VyiC.D.y2<yi<0

9.（3分）某超市出售一商品，有如下四種在原標價基礎(chǔ)上調(diào)價的方案，其中調(diào)價后售價最

低的是（)

A.先打九五折，再打九五折

B.先提價50%,再打六折

C.先提價30%,再降價30%

D.先提價25%,再降價25%

10.（3分）如圖，在中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外作正方

形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上.記該圓面積為Si,/XABC面

S,

積為S2,則一L的值是（）

$2

A.B.3nC.5TTD.H2L

22

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

II.（4分）二次根式正三中，字母x的取值范圍是.

12.（4分）已知，*=2是方程3x+2〉=i0的一個解，則〃?的值是____.

Iv=m

13.（4分）某單位組織抽獎活動，共準備了150張獎券，設(shè)一等獎5個，二等獎20個，三

等獎80個.已知每張獎券獲獎的可能性相同，則1張獎券中一等獎的概率

是.

14.（4分）如圖，菱形A8CQ的邊長為6c〃?，NBA￡>=60°,將該菱形沿AC方向平移2小機

得到四邊形4'B'CD',A1D'交CD于點、E,則點E到AC的距離為cm.

15.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC

及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在），軸上.若“貓”尾巴尖4的橫坐標是

1,則“貓”爪尖尸的坐標是.

16.（4分）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條BC上的點P處安裝

一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D,從4點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在

上形成一個光點E.已知AB_LBC,MN±BC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

（1）￡￡＞的長為.

（2）將木條8c繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC'（如圖2）,點P的對應(yīng)點

為P',BC與MN的交點為力'，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡尸反射后，在MN上

圖1圖2

三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）

17.（6分）計算:（-1）202l+Vs-4sin45°+|-2|.

18.（6分）已知x=工，求（3x-1）2+（l+3x）（1-3^）的值.

6

19.（6分）已知I：如圖，矩形ABCQ的對角線AC,8。相交于點。，NBOC=120°,AB

=2.

（1）求矩形對角線的長.

（2）過。作。于點E,連結(jié)BE.記NABE=a,求tana的值.

20.（8分）小聰、小明準備代表班級參加學(xué)校“黨史知識”競賽，班主任對這兩名同學(xué)測

試了6次，獲得如圖測試成績折線統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）要評價每位同學(xué)成績的