2021年河南省洛陽市孟津某中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前模擬試卷（文科）（一）（附答案詳解）

2021年河南省洛陽市孟津第二高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前模

擬試卷（文科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若全集U=R,M={x\y=ln(l-x)},N={x\y=貝4()

三

A.MNB.NaMC.NaQUMD.CyMUN

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,兩點Z】、Z2對應(yīng)的復(fù)數(shù)

分別為Zi、Z2,則復(fù)數(shù)￡的虛部為（）

A.—1B.—iC,1D.i

3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在優(yōu)球和圓柱》中，運用窮竭法證明了與球的面積和體積

相關(guān)的公式.其中包括他最得意的發(fā)現(xiàn)-“圓柱容球”.設(shè)圓柱的高為2,且圓柱以球

的大圓（球大圓為過球心的平面和球面的交線）為底，以球的直徑為高.則球的表面積

與圓柱的體積之比為（）

A.4：3B.3：2C.2：1D.8：3

4.函數(shù)①/'(x)=x+s譏x,②/'(久)=sinx+cosx,③f(x)=:黑,，④f(*)=

cos2(x+》-］中，是奇函數(shù)且在(0,》上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是()

A.①B.②C.③D.④

033

5.已知函數(shù)/(x)=a=/(2-),b=/(0.2°-),c=/(log032),則a,b,c的

大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.在矩形ABCD中，其中4B=3,力。=1,AB上的點E滿足荏+2屈=6,F為4。上

任意一點，則麗.喬=()

A.1B.3C.-1D.-3

7.已知圓M過點4(1,3)、8(1,-1)、C(—3,l),則圓M在點4處的切線方程為()

A.3%+4y—15=0B.3%-4y+9=0

C.4x+3y-13=0D.4%—3y+5=0

8.在平面直角坐標(biāo)系中，a為第四象限角，a的終邊與單位圓。交于點尸(出,%),

若cos(a—§=則"。=()

AV3+3V2BV3—3V2cV6+3DV6-3

?6666

9.已知數(shù)列｛/｝的前n項和為Sn,且%=LSn=an+1-3,若品2125,則k的最小

值為()

A.5B.6C.7

10.公元前5世紀(jì)下半葉開奧斯的希波克拉底解決了與

“化圓為方”有關(guān)的化月牙為方問題.如圖，△OAB為

等腰直角三角形，AOLBO,以。為圓心、以。4為半

徑作大圓0,以4B為直徑作小圓.在整個圖形中隨機取

一點，此點取自陰影部分的概率為()

.7T+2

B-S1

尸n+l

C2JT-1

D.三

27T+1

11.已知奇函數(shù)/'(x)在R上的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且當(dāng)xe(-8,0]時，f(x)<1,則不等式

f(2x-1011)-f(x+1010)>x-2021的解集為()

A.(2021,+oo)B.[2021,+oo)C.(-8,2021]D.(-8,2021)

12.如圖，在正方體4BCD-4B1C1D1中，下面結(jié)論錯誤的是()

第2頁，共22頁

A.B/i〃平面&BD

B.4cl1?平面ABO

C.異面直線D4i與&Di所成角為g

D.直線AG與平面4。。送1所成角為9

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

X-y<0,

13.若變量x,y滿足約束條件x—2y+2>0,貝收=x-2y的最大值為.

,3%+2y+6>0

14.函數(shù)f(x)=等在QoJOo))處的切線方程經(jīng)過點(0,0)，則Xo=.

15.已知圓(x-I)2+y2=4與雙曲線C：=1的兩條漸近線相交于四個點，按順

時針排列依次記為M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,則C的離心率為.

16.1967年，法國數(shù)學(xué)家德爾布羅的文章倏國的海岸線有多長？標(biāo)志著幾何概念

從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建

立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支一分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)

家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.

下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段AB的長度為1,在線段4B

上取兩個點C,D,使得=以CD為一邊在線段4B的上方做一個正三

角形，然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，

得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第n個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為Sn，對任意的正整數(shù)n,都有

Sn<a,貝布的最小值為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在△力BC中，角4B,C所對邊分別為a,b,c,現(xiàn)有下列四個條件：①b=在;

②c=2；③a?+b2-c2=等ab；@cos2A—y/3cosA=2.

(I)③④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；

(II)已知△4BC同時滿足上述四個條件中的三個，請選擇使△4BC有解的三個條件,

求AABC的面積.

18.如圖，四棱錐P—力BCD中，底面4BC0為矩形，PC=4C=：AB=1,PO_L平面

ABCD,E為CD的中點.

(I)線段PC上是否存在一點F,使得8EL4產(chǎn)；

(II)在(I)的條件下，求點E到平面4DF的距離.

第4頁，共22頁

19.2021年5月19日是第11個“世界家庭醫(yī)生日”.某地區(qū)自2016年開始全面推行家庭

醫(yī)生簽約服務(wù).已知該地區(qū)人口為1000萬，從1歲到101歲的居民年齡結(jié)構(gòu)的頻率分

布直方圖如圖1所示.為了解各年齡段居民簽約家庭醫(yī)生的情況，現(xiàn)調(diào)查了1000名年

滿18周歲的居民，各年齡段被訪者簽約率如圖2所示：

m1

（I）國際上通常衡量人口老齡化的標(biāo)準(zhǔn)有以下四種：

①60歲以上人口占比達到7%以上；

②少年人口（14歲以下）占比30%以下；

③老少比30%以上；

④人口年齡中位數(shù)在30歲以上.請任選兩個角度分析該地區(qū)人口分布現(xiàn)狀；

（II）估計該地區(qū)年齡在71?80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)；

（皿）據(jù)統(tǒng)計，該地區(qū)被訪者的簽約率約為44%為把該地區(qū)年滿18歲居民的簽約率提

高到55%以上，應(yīng)著重提高圖2中哪個年齡段的簽約率？并結(jié)合數(shù)據(jù)對你的結(jié)論作

出解釋.

sinx+cosx

20.已知/'(x)=

--

（1）求/（尤）的單調(diào)區(qū)間;

(口)求證曲線丁=/(x)在(0,今上不存在斜率為-2的切線.

21.橢圓1+號=1色＞0,匕＞0)經(jīng)過點(0,1),離心率是漁，若斜率為k的直線當(dāng)橢圓

交于不同的兩點E、G.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(11)設(shè)「(—2,0),直線PE與橢圓的另一個交點為M,直線PG與橢圓的另一個交點為

N.若M、N和點Q(-：t)共線，求k.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

直線的極坐標(biāo)方程為pcos(0+》=白，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(l+3sin26)=4.

(I)寫出直線/和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(II)已知點4(1,0),若直線2與曲C線交于P,Q兩點，PQ中點為M,求笠翳1的值.

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23.己知函數(shù)/'(x)=|x+1|一|2x-4|.

(I)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(x)的圖象；

(11)若對\?^€/?,f(x)Wt恒成立，t的最小值為m，且正實數(shù)a,b,c滿足a+2b+

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解："M={x\y=ln(l-x)}=(x\x<1},

N=={x\y=^=}={x\x>-1},

ZUM={x\x>1],

ACyMcN

故選：D.

求出關(guān)于集合M、N的不等式，得到M的補集，從而求出(QM)UN即可.

本題考查了集合的運算，考查解不等式問題，是一道基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由復(fù)平面表示的點Zi、Z2對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Zi=3—K

z2=2+i,

則復(fù)數(shù)包=%=空以2=3i!=i—i,

人」攵雙Zz2+((2+0(2-；)472x

它的虛部為-1.

故選：A.

由復(fù)平面表示的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)，寫出Zi、Z2,計算fj,寫出它的虛部.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：作軸截面如圖,

可知圓柱的底面半徑為1,高為2,球的半徑為1.

則球的表面積為S=4nxI2=4兀，

第8頁，共22頁

圓柱的體積為U=7TXl2X2=2TT.

???球的表面積與圓柱的體積之比為9=2.

27r

???球的表面積與圓柱的體積之比為2：1.

故選：C.

由題意畫出圓柱的軸截面圖，可得圓柱的底面半徑、高及球的半徑，再由球的表面積公

式及圓柱的體積公式求解.

本題考查圓柱的內(nèi)切球，考查球的表面積與圓柱的體積公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：/(x)=x+sinx在(0,彳)上單調(diào)遞增：f(x)=sinx+cosx不是奇函數(shù);/(x)=

言=羔=t皿在(吟上單調(diào)遞增"(%)=吧皆一；.sin2x是奇函數(shù)，

且在(0,》上單調(diào)遞減.

故選：D.

對于①:f(x)在(0,》上單調(diào)遞增；對于②:f(x)不是奇函數(shù)；對于③:化簡后得出/Q)=

tanx,在(0,9上單調(diào)遞增；對于④：化簡后得出f(無)=-sin2x,可看出該函數(shù)滿足條

件，從而得出正確的選項.

本題考查了奇函數(shù)的定義，正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的正余弦公式，考查

了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

可得出/0)=2*-2-工，從而可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷/"(X)在R上單調(diào)遞增，然后

可得出2°3>l>0.2°3>0>k)go.32,從而根據(jù)f(>的單調(diào)性即可得出a,b,c的大小

關(guān)系.

【解答】

解：/(x)=2X-2-x,則/(x)在R上單調(diào)遞增，

0303

???2->2°=1,0<O.2<0.2°=1,log0,32<log0_3l=0,

f-°9o,3^<0.203<20-3,

f(log0.32)<2。3)</(2。3),

?.c<b<a.

故選：A.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題.

畫出圖形，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】

解：在矩形4BC。中，其中4B=3,40=1,4B上的點E滿足荏+2而=6,E是4B的

一個3等分點，F(xiàn)為4。上任意一點，

所以前?前=\EB\\BF\cos(n-Z.EBF}=-\EB\\AB\=-3.

故選：D.

可得AB的中垂線方程為y=1,

由C(—3,1)的連線的中點坐標(biāo)為(—1,0),

且BC的斜率為一去則BC的中垂線的方程為y=2(x+1),

聯(lián)立+解得圓心為“(一表1)，

3-14

則力M的斜率為二！=.,

2

可得4處的切線的斜率為一%

第10頁，共22頁

則切線的方程為y-3=—-1),化為3x+4y-15=0.

4

故選：4

分別求得線段4B和BC的垂直平分線方程，聯(lián)立解得圓心M,求得4M的斜率，可得切線

的斜率和方程.

本題考查圓上一點的切線的方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析1解：由題意得cosa=&，

由a為第四象限角即一1+2/OT<a<2/OT,keZ,

所以2/OT2kn-

633

因為cos(a—^)=-y>0，

所以一1+2kn<a-^<―^+2kn,

所以sin(a_§=一半，

貝bo—cosa—cos[(a--)+-]=-cos(a-—X—=企.

3323236

故選：A.

由已知結(jié)合三角函數(shù)定義及同角基本關(guān)系，和差角公式可求.

本題主要考查了象限角，三角函數(shù)定義，同角基本關(guān)系，和差角公式，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：數(shù)列｛an｝的前n項和為%，且的=1,Sn=an+1-3①，

當(dāng)?i=1時,解得%=4,

當(dāng)nN2時，Sn_j=an-3(2),

故①一②得：?n=an+i-an,

整理得：,=2(常數(shù))，

an

所以數(shù)列｛an｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列；

所以即=4x2-2(首相不符合通項)，

珀_。(n=1)

"/a,1-(4x271-1(n>2),

所以Sn=1+4+8+…+4x2叱1=1+生:；父=1+2n+1-4=2n+1-3.

由于品=2k+1-3>125,

故k的最小正值為6.

故選：B.

首先求出數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的和，最后求出k的最小值.

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和,

主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：設(shè)04=1,則44=V#+/=&,

二大圓0的面積Si=兀X1,2=兀，6、（'

以4B為直徑的小圓的面積為S2=7TX（￥）2=卷1______\

大圓中弓形AB的面積為S3=S啰30B-SAAOB\,/

“心，

4WLM

??.整個圖形的面積為：S=S1+—S3=兀+W—詈=等，

陰影部分的面積為：S9=S—gS2-S3=個一3一一=早，

由幾何概型得：

在整個圖形中隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為：

故選：A.

設(shè)。4=1,求出大圓。的面積Si=兀，以AB為直徑的小圓的面積為52=：，大圓中弓形

扇形

的面積為S3=SAOB-SMOB=等，從而整個圖形的面積為S=S[+-S3=

等，陰影部分的面積為：S陰=S_%2_S3=簧,由幾何概型能求出在整個圖形中

隨機取一點，此點取自陰影部分的概率.

本題考查概率的求法，考查幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),

是基礎(chǔ)題.

第12頁，共22頁

11.【答案】C

【解析】解：設(shè)g(x)=/(%)-x,

??,/(x)是R上的奇函數(shù)，［g(x)是R上的奇函數(shù)，

???當(dāng)xe(—8,0］時，f(x)<1,即/。)一1<0,g'(x)<0,

?,.g(x)在(-8,0］上是減函數(shù)，且g(x)為奇函數(shù)，

二g(x)在R上是減函數(shù)，

由原不等式得：f(2x-1011)-f(x+1010)>(2x-1011)一(x+1010),

???g(2x-1011)>g(x+1010),

???2x-1011<x+1010,解得x<2021,

.,?原不等式的解集為：(一8,2021］.

故選：C.

可設(shè)g(x)=f(x)-％,根據(jù)條件可得出g(x)是奇函數(shù)，9。)是/?上的減函數(shù)，而根據(jù)原

不等式可得出g(2x-1011)>g(x+1010),這樣根據(jù)g(x)的單調(diào)性即可求出x的范圍，

即得出原不等式的解集.

本題考查了奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)

性的方法，減函數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：如圖，正方體4BCD-力道16。1中,

A：?:BD//B\D\,BDu平面4聞，/心0平面&BD,

二B】Di〃平面4BD,“正確，

B連接4C,???CCi1面4BC0,BDu面力BCD,BD1CC「又?：BDA.AC,ACn=C,

二BO_L平面4CG，?-■BD1ACr,

同理，J.AG，又BDC41D=D,

二何,平面公困.才正確，

C：?；當(dāng)。1〃80,??.乙心0B或其補角為所求的角，

在△&B0中，-,?ArB=ArD=BD,；.△48。為等邊三角形，；?=g,;.C正確，

D：連接A%,?；62_1面441。山，4。遇6為所求的角，???RtADMC］不是等腰三角

形，.?Q錯誤.

故選：D.

由'?！ó?dāng)劣可判斷A正確，由BOlACi，4D14C1，8。n&0=?？膳袛?正確，

由△&BD為等邊三角形可判斷C正確，由RtZiDiAG不是等腰三角形可判斷。錯誤.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯(lián)立｛以；2；：6=0,解得4（-|，-）

由z=x-2y,得y=：一|,

由圖可知，當(dāng)直線y=：一9過4時，直線在y軸上的截距最小，

z有最大值為去

故答案為：

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

第14頁，共22頁

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

14.【答案】?

【解析】解：函數(shù)/（%）=等的導(dǎo)數(shù)為（。）=等，

可得在（殉,/（殉））處的切線的斜率為k=三詈，

由切線經(jīng)過點（0,0）,可得資=等=審，

XOxoxo

即為=1—lnx0,可得，nx（）=

解得殉=Ve.

故答案為：\[e-

求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，可得殉

的方程，解方程可得見.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，以及兩點的斜率公式的運用，考查方程思想和運算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

3

【解析】

【分析】

本題考查直線與圓的相交問題，雙曲線的漸近線，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

雙曲線C的漸近線的方程為y=±￡x,由題意可知MNlx軸，PQ_Lx軸，設(shè)

P（外，），則N（X[,-yi）,Q（上,-丫2），聯(lián)立漸近線與圓的方程，結(jié)合韋達定理，可得乙+必，

xtx2,由MN|=2|PQ|及AMONsAPOQ,得相似比為2：1,推出XI=-2X2，解得/c,

進而可得離心率.

【解答】

設(shè)P(x2,y2),則N(%i，-yi),Q(x2,-y2>

聯(lián)立產(chǎn)一jZ+yZM,卜),

ly=kxa

得(1+fc2)%2—2%—3=0,

所以/+%2=篇，尤62=品，

又因為|MN|=2\PQ\,

所以△MON~APOQ,相似比為2：1,

所以%|=2%1，即已=—2次，

所以X1+%2=一如=V正'*1"2=-2X2=后W，

所以—2(品)2=品，解得/=|,

所以e=(=Jl+(￡)2=V1+/c2-^

故答案為：辿.

3

16.【答案】2

【解析】解：設(shè)第71個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為a”，則當(dāng)nN2時，廝=

家獷=(獷，

n2

設(shè)第n個圖形中新增加的等邊三角形的個數(shù)為九,則當(dāng)n>2時，bn=2-,

n2

故Sn—Sn_i=?FTx2-,其中九>2,

2

由累加法可得：5n=l+|[令+(|)+…+鏟1]=2-(獷

n=l時，Si=1也符合該式，故又<2對任意的n21恒成立，故a22,即a的最小值

為2.

第16頁，共22頁

故答案為：2.

根據(jù)圖形之間的關(guān)系可得％.的遞推關(guān)系，從而可求｛Sn｝的通項公式,故可求a的最小值.

與圖形相關(guān)的數(shù)列的計算問題，一般根據(jù)相鄰圖形的變化關(guān)系尋找目標(biāo)數(shù)列的遞推關(guān)系,

再根據(jù)其形式得到通項，從而解決圖形的計算問題.本題屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：（I）由條件④cos24—V5cos4=2,可得2cos—WcosA—3=0,

解得cosA=-日或cos4=次（舍），

因為86（0,兀），所以4=?；

由條件③M+乂—C?=也出7,可得COSC=。+匕J=旦,因為工<過<且，所以g<

J32ab32326

y，

所以a+C>7T,與三角形內(nèi)角和為7T矛盾，所以△ABC不能同時滿足③④；

（口）因為AABC同時滿足上述條件中的三個，不能同時滿足③④，

則滿足三角形有解的所有組合為①②③或①②④.

若選擇①②③：

b=V6>c=2,由（1）可知，條件③可得cosC=*故sinC=61-cos2c=4,因為

亮=5?解得5譏8=竺妊=四爸=1，又86（0,兀），故8=今所以△ABC為直角

oHIDOlflCC2《

三角形，則。=a,所以△ABC的面積為S=gac=gx或x2=企；

若選擇①②④：

b=V6,c=2,由（1）可知條件④得到A=?,則sinA=[,故△ABC的面積為5=

-bcsinA=-xV6x2x-=—.

2222

【解析】（I）由條件④結(jié)合二倍角公式求出cosA的值，從而求出角4由條件③結(jié)合余

弦定理求出cosC的值，從而得到角C的取值范圍，與三角形內(nèi)角和矛盾，由此得到答案；

（II）若選擇①②③：由條件③求出恒5。=9，從而得至心）。，然后由正弦定理求出5m8,

得到三角形為直角三角形，求解三角形的面積即可；

若選擇①②④：由條件④求出角4得到sinA的值，然后由三角形的面積公式求解即

可.

本題考查了解三角形問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的運用，考查

了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

形，且AD=--1,

■1"BE=AE=V2.

在△4BE中，^AE2+BE2=AB2,即ZE1BE,

又4EnEF=E,二BE_L平面4EF,而4Fu平面4EF,

???BE1AF；

（口）..TBCC為矩形,AD=1AB=1,EF=^PD=1,

且由（I）知EF，平面ABC。，

^F-ADE=3X2X^X^X2=12，SAADF—~X1XJ?T

設(shè)點E到平面4DF的距離為h,

則由4TDE=%-4”，可得工=Lx些Xh，解得九=漁.

12345

即點E到平面2DF的距離為二

5

【解析】(I)取PC中點凡連接EF、4E、DF、AF,可得EF_L平面4BCD,得至ijEF1BE,

求解三角形證明AE1BE,由直線與平面垂直的判定可得BE_L平面AEF,從而得到BE1

AF；

(II)求出三棱錐尸-ADE的體積及三角形ZDF的面積，再由等體積法求點E到平面2DF

的距離.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等

體積法求點到平面的距離，是中檔題.

19.【答案】解：(I)①60歲以上人口比例是:(0.01+0.003+0.003)x10=0.16.

②少年(14歲以下)人口比例：小于0.1+0.05=0.15.

③老少比：0.16：0.15>30%,

第18頁，共22頁

④由于1?14歲人口比例0.53,.??年齡中位數(shù)在31?40歲范圍內(nèi).

二由以上四條中任意兩條均可分析出該地區(qū)人口己經(jīng)老齡化.(考生答對兩條即可)

(II)估計該地區(qū)年齡在71?80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)為：

0.03X1000萬X70%=21萬人.

(皿)由圖1,2,可知該地區(qū)年齡段18?30歲的人口數(shù)為180?230萬之間，簽約率為

30.3%；

年齡段在31?50歲的人口數(shù)為：(0.20+0.16)x1000萬=150萬，簽約率為37.1%；

年齡段51?60歲的人口數(shù)為：0.15x1000萬=150萬，簽約率為55.7%；

年齡段61?70歲的人口數(shù)為：0.1X1000萬=100萬，簽約率為61.7%；

年齡段71?80歲的人口數(shù)為0.03x1000萬=30萬，簽約率為70%；

年齡段80歲以的人口數(shù)為0.03x1000萬=30萬，簽約率為75.8%.

由以上數(shù)據(jù)可知，這個地區(qū)在31?50歲這個年齡段人數(shù)為360萬，

基數(shù)較其他地區(qū)是最大的，且簽約率僅為37.1,比較低，

???應(yīng)著重提高31?50歲年齡段的簽約率.

(解析】本題考查該地區(qū)人口分布現(xiàn)狀分析、頻數(shù)的求法及應(yīng)用，考查頻率分布直方圖、

折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)分析能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)

題.

(I)①60歲以上人口比例是0.16；②少年(14歲以下)人口比例：小于0.15；③老少比：

0.16：0.15>30%；④年齡中位數(shù)在31?40歲范圍內(nèi).由以上四條中任意兩條均可分

析出該地區(qū)人口已經(jīng)老齡化.(考生答對兩條即可)

(n)數(shù)形結(jié)合能估計該地區(qū)年齡在71?80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù).

(HI)分別求出該地區(qū)各年齡段18?30歲的人口數(shù)和簽約率，得到這個地區(qū)在31?50歲

這個年齡段人數(shù)為360萬，基數(shù)較其他地區(qū)是最大的，且簽約率僅為37.1,比較低，從

而應(yīng)著重提高31?50歲年齡段的簽約率.

sinx+cosx^^^cosx-sinx-(sinx+cosx')-2sinx

20.【答案】解:

(I)/(*)=ex

令/'(%)>0,EPsinx<0,可得2/CTT+兀VxV2/CTT+2TT,kWZ；

令r(%)<0,BPsinx>0,可得2/CTT<x<2kn+zr,fc6Z；

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2/C7T+7T,2/C7T+2TT),kEZ;

單調(diào)遞減區(qū)間為(2/cm2/C7T+TT),kEZ;

(n)證明：原命題等價為在區(qū)間(05)上方程二等=-2無解.

_V2cos(x+^)

令。(%)=詈，則g'(x)=cosx-sinx

當(dāng)xe(0,3時，gXx)>0,g(x)遞增；當(dāng)xe%合時，g'(x)<0,g(x)遞減.

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,力，單調(diào)遞減區(qū)間為?().

則g(x)的最大值為g(J)=當(dāng)63<1，

所以曲線y=f(x)在(0,今上不存在斜率為-2的切線.

【解析】(I)求得/(X)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間；導(dǎo)

數(shù)小于0,可得減區(qū)間；

(II)原命題等價為在區(qū)間(0,今上方程二手=-2無解.設(shè)g(x)=誓，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)

性，可得最值，即可得證.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性、最值，考查方程思想和運算能力，屬于

中檔題.

21.【答案】解：(1)由題易得b=l,?.?離心率是凈二1—攝=|,a=遍,

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為白+y2=i,

設(shè)

(2)E(Xi，yJ,F(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),

則好+3yf=3①，%2+3龍=3②，

又所以可設(shè)&==含，直線的方程為

P(-2,0),kPEPEy=k,