數(shù)學例題與探究：平面向量的實際背景及基本概念

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1溫度有零上與零下之分，溫度是不是向量，為什么？思路解析：判斷一個量是不是向量，關(guān)鍵就是看這個量是否同時具備兩條：既有大小又有方向，這兩者缺一不可.答案:不是,因為溫度只有大小沒有方向。綠色通道:向量是一種新的量，與以前的數(shù)量是不同的體系,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別；我們把既有大小又有方向而無特定位置的量叫自由向量.描述一個向量有兩個指標:大小、方向。變式訓練1如圖2—1—1，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，試問貓能否追到老鼠？圖2-1—1思路解析:老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.答案:貓的速度再快也沒用,因為方向錯了。變式訓練2美國“小鷹”號航空母艦導彈發(fā)射處接到命令：向1200千米處發(fā)射兩枚戰(zhàn)斧式巡航導彈（精度10米左右，射程超過2000千米），試問導彈是否能擊中伊拉克的軍事目標？思路解析:因為沒有給定發(fā)射的方向,不能擊中伊拉克的軍事目標.答案:不能。例2如圖2-1—2，已知四邊形ABCD是矩形,設(shè)點集M=｛A,B，C，D}，集合T={，P、Q∈M，且P、Q不重合}.試求集合T。圖2—1—2思路解析:要確定向量為元素的集合T有多少個子集，就需搞清楚集合T中有多少個相異的向量，需注意的是方向相同、且大小相等的量只算一個，如=，而方向相反的算不同向量，如與。答案:從已知條件出發(fā)可以判斷出相異的向量，即集合T=｛、、、、、、、}。綠色通道：一道向量與集合知識交匯的題型,在這里要分別從兩個知識點出發(fā)，集合主要考查的是其互異性,向量的相關(guān)概念在此考查的是相異向量應當具備的一個硬件是排除相等向量的可能性情況，兩者之間交匯在一個“異”字，解題時只有認真審題分清思路這樣才能得到正確的結(jié)果.變式訓練如圖2-1—3，四邊形ABCD與ABEC都是平行四邊形.圖2-1-3(1）用有向線段表示與向量相等的向量；(2)用有向線段表示與向量共線的向量。思路解析：在尋找相等向量和共線向量時都可以從大小和方向這兩個方面來考慮，本題涉及到的線段比較多，不要有遺漏。答案：（1)與向量相等的向量是，;（2）與向量共線的向量是DE，，，，，.例3有兩個長度相等的向量，在什么情況下，這兩個向量一定是相等向量？思路分析：判斷兩個向量是否相等就是看它們的大小是否相等,方向是否相同，這兩個方面缺一不可.解：有下列兩種情況，這兩個向量一定相等.(1）兩個長度相等的向量的方向相同；(2)兩個長度相等的向量都為零向量。黑色陷阱：如果忽視了零向量是相等向量,那么就會遺漏第二種情況，使得本題的解答不完整。綠色通道:向量有兩個要素：一是大小;二是方向.兩個向量只有當它們的模相等同時方向相同時才稱為相等的向量,即a=b就意味著｜a|=|b|，且a與b的方向相同.還要注意到零向量與零向量是相等向量。變式訓練下列敘述正確的是________________.①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一直線上②單位向量都相等③任一向量與它的相反向量不相等④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當=⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0⑥共線的向量，若起點不同,則終點一定不同思路解析：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個向量、在同一直線上。②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.③不正確。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的。⑥不正確.如A、B、C三點共線，則與共線，雖起點不同，但其終點卻相同。答案：④⑤例4某人從A點出發(fā)向西走了200m到達B點，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達C點，最后又改變方向向東走了200m到達D點。(1)作出向量、、(用1cm表示100m)；（2）求|｜.思路分析：本題只要用向量來表示位移就可以很簡單的解決.解:(1)作出向量、、（如圖2—1—4）：圖2-1—4（2)∵｜｜=｜|，且與方向相同，∴四邊形ABCD是平行四邊形?！啵?||=450.綠色通道:用向量知識解決物理問題，關(guān)鍵是將物理知識轉(zhuǎn)化成數(shù)學知識，用向量表示物理量,然后解決數(shù)學問題。變式訓練新華網(wǎng)北京10月17日電北京時間17日2時40分許,記者從北京航天飛控中心獲悉，神舟六號飛船返回指令解鎖，即將結(jié)束五天的太空之旅，踏上返鄉(xiāng)路程.凌晨3時43分至48分，遠望三號測量船對飛船實施了姿態(tài)調(diào)整、軌道艙與返回航分離、制動點火等一系列關(guān)鍵控制，儀器表上已準確地出現(xiàn)飛船的方位，飛船順利進入預定返回軌道。假定把神舟六號飛船看成向量，現(xiàn)在儀器表屏幕顯示在4×5的方格中有一個向量，以圖2—1—5中的格點為起點和終點作向量,其中與相等的向量有多少個?與長度相等的共線向量有多少個?圖2—1-5思路解析：要判斷向量相等,并不要求它們有相同的起點與終點，主要把握住向量相等兩要素：方向相同,長度相等.答案：與相等的向量有7個，與長度相等的共線向量有15個。問題探究問題1中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字,象走“田”字，如圖2-1—6，在中國象棋的半個棋盤(4×8個，矩形每個小方格都是單位正方形）中,若馬在A處,可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量,表示馬走了“一步”.通過探究，你能在圖中畫出馬在B、C處走了一步的所有情況嗎？圖2—1-6導思：根據(jù)象棋走法的規(guī)則，結(jié)合已知的圖形，作出符合要求的所有向量，不要有遺漏。探究：此題中,馬在A處有兩條路可走,在B處有三條路可走，在C處有八條路可走，可謂“八面威風”,解題時，應做到不重不漏。如圖2-1-7以點C為起點作向量(共8個)，以點B為起點作向量（共3個)。圖2-1—7問題2如圖2-1—8，A1，A2，…,A8是⊙O上的八個等分點，則在以A1，A2…，A8及圓心O九個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個呢?模等于半徑倍的向量有多少個呢？圖2-1-8導思：(1）在模等于半徑的向量個數(shù)的計算中，要計算與(i=1，2，…，8）兩類，一般我們易想到（i=1，2,…，8）這8個，而易遺漏（i=1,2，…，8)這8個。(2）圓內(nèi)接正方形的一邊對應了長為的兩個向量.例如邊對應向量A1A3與A2A4.因此與（1）一樣,在解題過程中主要要防止漏算.認為滿足條件的向量個數(shù)為8是錯誤的。探究：(1）由于A1，A2，…，A8是⊙O上的八個等分點，所以八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊及對角線長均與⊙O的半徑不