數(shù)學(xué)名師導(dǎo)航互斥事件及其發(fā)生的概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精7。4互斥事件及其發(fā)生的概率名師導(dǎo)航三點(diǎn)剖析一、互斥事件1．互斥事件的定義：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件例如，在一個(gè)盒子里放有大小相同的10個(gè)小球，其中有7個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黃球.從盒中摸出1個(gè)小球得到的結(jié)果可能是紅球，也可能是綠球或黃球，并且只能是其中一種情況。我們把“從盒中摸出1個(gè)小球,得到紅球”叫做事件A，“從盒中摸出1個(gè)小球,得到綠球”叫做事件B，“從盒中摸出1個(gè)小球，得到黃球”叫做事件C,那么這里的事件A、事件B、事件C中的任何兩個(gè)是不可能同時(shí)發(fā)生的.事件A與事件B、事件B與事件C都是互斥事件.從集合的角度來看，事件A與事件B是互斥事件，則事件A所包含的基本事件構(gòu)成的集合與事件B所包含的基本事件構(gòu)成的集合的交集是空集.2．互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率設(shè)A、B為互斥事件，當(dāng)事件A、B有一個(gè)發(fā)生時(shí)，我們把這個(gè)事件記作A+B．事件A+B發(fā)生的概率等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P（A+B）=P(A）+P（B），此公式也稱概率和公式。例如上例中“從盒中摸出1個(gè)小球，得到紅球"叫做事件A，則P(A）=0.7；“從盒中摸出1個(gè)小球，得到綠球”叫做事件B,則P（B)=0.2．若記“從盒中摸出1個(gè)小球,得到紅球或綠球”為事件D，則D=A+B，此時(shí)P(D）=P（A）+P（B）=0.7+0。2=0.9.3．一般地,如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，就說事件A1，A2,…,An彼此互斥.從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此沒有公共元素，即兩兩交集都是空集.一般地，如果事件A1,A2，…，An兩兩互斥，則P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P(A2）+…+P（An）.二、對(duì)立事件對(duì)立事件的定義:兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。事件A的對(duì)立事件記為A．從集合的角度看，由事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.此時(shí)，事件A和它對(duì)立事件的交集為空集，而并集為全集。若對(duì)立事件A與必有一個(gè)發(fā)生，則A+是必然事件，從而P（A)+P()=P（A+）=1.由此我們可以得到一個(gè)重要公式:P（）=1—P（A）。由此可知，當(dāng)從正面求一個(gè)事件的概率比較困難時(shí)，可以通過求其對(duì)立事件的概率來求解.例如，一枚硬幣連擲3次，則出現(xiàn)正面的概率是多少？此題若從正面分析則有以下三種情況：三次都是正面;二次正面一次反面；一次正面二次反面。雖然它們是互斥事件，可以利用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式來求解，但解題比較復(fù)雜。如果考慮其反面利用對(duì)立事件的概率來求解，則簡(jiǎn)單得多.解：出現(xiàn)正面的對(duì)立事件是出現(xiàn)的三次都是反面,由于三次都是反面的概率為，則出現(xiàn)正面的概率為=.三、互斥事件和對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系兩個(gè)事件若對(duì)立則必然互斥，且必有一個(gè)事件發(fā)生。因此，兩個(gè)事件是對(duì)立事件需滿足兩個(gè)條件：①互斥，②兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生.兩個(gè)事件若是對(duì)立事件則一定是互斥事件，但若是互斥事件則不一定是對(duì)立事件。四、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的求解步驟（1）確定這些事件是互斥事件；(2）這些事件有一個(gè)發(fā)生;(3）分別求每一個(gè)事件的概率，再相加。前兩條是使用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的概率和公式的前提條件，如果不符合這一點(diǎn)就不能用概率和公式.問題探究問題1：某人把外形相似的4把鑰匙串在一起，其中兩把是房門鑰匙，但他忘記了開房門的是哪兩把，只好逐把試開，試后不放回。請(qǐng)你探究思考如下的問題：（1）此人一次就能打開房門的概率是多少？（2)此人在兩次內(nèi)能打開房門的概率是多少？探究：第(1)問顯然是古典概型，每次拿哪把鑰匙是等可能的,因此，此人一次就能打開房門的概率是。在第（2）問中，記“恰好第i次打開房門”為事件Ai(i=1,2），顯然題設(shè)事件A=A1+A2.A1表示第1次打開房門的事件，A2表示第1次未打開，第2次打開房門的事件。對(duì)事件A1來說，其概率已由第（1）問求出來，但對(duì)事件A2來講,用我們現(xiàn)有的知識(shí)不容易求出，因而用這種方法做有一定難度。不妨換個(gè)角度來想,從反面入手,如果把“在兩次內(nèi)能打開房門”記為事件,則對(duì)立事件A就表示“在兩次內(nèi)不能打開房門”.設(shè)a、b、c、d分別表示四把鑰匙,其中a、b表示能打開房門的那兩把鑰匙，顯然，共有24種基本事件，它們分別為a,b,c,d；a,b，d,c；a，c，b,d；a,c,d，b；a，d,b，c；a,d，c，b；b，a，c，d；b，a，d，c；b，c，a，d；b，c，d，a；b，d，a，c；b,d，c，a；c，a,b,d;c，a，d，b；c，b，a，d;c，b,d，a；c,d,a，b；c,d，b，a；d,a,b，c；d,a,c，b；d，b，a，c；d，b，c，a；d，c，a,b;d，c，b，A．而包含4個(gè)基本事件，分別為c，d，a，b；c，d,b，a；d，c，a，b；d，c，b，A．因而P（)==，進(jìn)而所求概率P（A)=。問題2：有3個(gè)1g砝碼，3個(gè)3g砝碼和2個(gè)5g砝碼，任意取出2個(gè)砝碼，請(qǐng)?zhí)骄咳缦碌膯栴}：（1）兩個(gè)砝碼重量相同的概率是多大？（2）兩個(gè)砝碼總重為6g的概率是多大？（3）兩個(gè)砝碼總重量不超過8g的概率是多大？探究：（1)記“兩個(gè)砝碼重量相同”為事件A．“兩個(gè)砝碼重量都是1g”為事件A1，“兩個(gè)砝碼重量都是3g”為事件A2，“兩個(gè)砝碼重量都是5g”為事件A3,A1、A2、A3是互斥的.顯然A=A1+A2+A3，由前面知識(shí)得P（A1）=,P（A2）=，P（A3）=。由互斥事件的加法公式，有P（A)=P（A1)+P（A2)+P（A3）=++=.（2）記“兩個(gè)砝碼總重量為6g”為事件B．“兩個(gè)砝碼中一個(gè)砝碼為1g，另一個(gè)砝碼為5g”為事件B1,“兩個(gè)砝碼重量都為3g”為事件B2，B1、B2互斥.顯然B=B1+B2.P（B1）==，P（B2）=?！郟(B)=P（B1）+P（B2)=+=。（3）正面去求比較復(fù)雜，故可考慮其對(duì)立事件。記“兩個(gè)砝碼總重量不超過8g"為事件C，設(shè)其對(duì)立事件為D,則D表示“兩個(gè)砝碼總重量超過8g",則只有兩個(gè)砝碼都取5g的，而由上可知“兩個(gè)砝碼重量都是5g”為事件A3,P（A3）=.所以，P（C）=1—=。精題精講例1．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么下列事件中互斥事件的個(gè)數(shù)是(）①至少有一個(gè)白球；都是白球②至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球③恰有一個(gè)白球;恰有兩個(gè)白球④至少有一個(gè)白球;都是紅球A．0B．1C思路解析①當(dāng)取出的兩球都是白球時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,故①中的兩個(gè)事件不是互斥事件。②當(dāng)取出的兩球?yàn)橐患t一白時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故②中兩個(gè)事件不是互斥事件。③中的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,故是互斥事件.④中的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,故是互斥事件.答案：C例2．某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表：年降水量（單位:mm）［100,150）［150,200）［200,250）［250，300)概率0。120。250。160。14（1）求年降水量在［100，200）(mm）范圍內(nèi)的概率；（2)求年降水量在[150，300)（mm）范圍內(nèi)的概率。思路解析這個(gè)地區(qū)的年降水量在各范圍內(nèi)是彼此互斥的，故可根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解。答案：（1）記這個(gè)地區(qū)的年降水量在[100，150),［150，200)，［200，250）,［250，300)（mm）范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、D．這4個(gè)事件是彼此互斥的.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，年降水量在［100，200)（mm）范圍內(nèi)的概率是P（A+B）=P（A）+P（B）=0.12+0。25=0。37.由于熱切地想要躲避過錯(cuò)，我們卻常常更易陷入荒謬.——賀拉斯加幾個(gè)空格，居中排（2)年降水量在［150，300）(mm）范圍內(nèi)的概率是P（B+C+D）=P(B）+P（C)+P（D)=0.25+0.16+0。14=0。55。綠色通道在用互斥事件的概率加法公式求概率時(shí)，一定要明確公式的前提是事件彼此互斥,否則就可能出錯(cuò)。因此判斷事件是否互斥就顯得特別重要。例3．在一只袋子中裝有4個(gè)紅玻璃球、3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè),試求：（1）取得兩個(gè)紅球的概率；（2）取得兩個(gè)綠球的概率;（3）取得兩個(gè)同顏色的球的概率;（4）至少取得一個(gè)紅球的概率。思路解析首先知道各事件中的基本事件有多少，再確定事件之間是互斥事件，故可根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解.答案：記四個(gè)紅玻璃球?yàn)閍1、a2、a3、a4，三個(gè)綠玻璃球?yàn)閎1、b2、b3，第一次抽取有7種結(jié)果，對(duì)第一次抽取時(shí)的每種結(jié)果，第二次抽取時(shí)又有6種結(jié)果，故共有7×6=42種結(jié)果.(1）記“取得兩個(gè)紅球”為事件A1,A1有(a1，a2），(a1，a3），（a1，a4)，（a2,a3），(a2，a4)，（a3，a4），（a2，a1），（a3，a1），（a4，a1），（a3，a2），（a4,a2）,（a4，a3）12種結(jié)果.∴P（A1)==.(2)記“取得兩個(gè)綠球”為事件A2,A2有(b1，b2),（b1，b3），(b2,b3)，（b2，b1)，（b3，b1）,（b3,b2）6種結(jié)果?！郟（A2）==。(3)記“取得兩個(gè)同顏色的球”為事件A．A=A1+A2，A1、A2互斥。由互斥事件的概率加法公式得P(A）=P（A1）+P（A2）=+=.（4)記“至少取得一個(gè)紅球”為事件B，顯然事件B是事件A2的對(duì)立事件?！郟(B）=1－P（A2）=1－=.綠色通道袋中摸球問題是概率中的重要題型,課本中舉了一些例子,主要考查概念，作定性分析。本題把本節(jié)所學(xué)知識(shí)與前幾節(jié)知識(shí)結(jié)合起來就一些隨機(jī)事件作了定量分析,目的是加強(qiáng)知識(shí)的綜合應(yīng)用，通過枚舉法或畫樹形圖找出隨機(jī)事件的結(jié)果的個(gè)數(shù)，利用等可能性事件求出概率,再通過互斥事件的概率公式，達(dá)到鞏固概念的目的。例4．將甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a、b分別表示