數(shù)學(xué)三同步訓(xùn)練：第三章概率測評（B卷）（附答案）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章概率測評(B卷)【說明】本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入答題欄內(nèi)，第Ⅱ卷可在各題后直接作答．共120分，考試時間90分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共50分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分,共50分）1．在某餐廳內(nèi)抽取100人，其中有30人在15歲以下，35人在16～25歲,25人在26～45歲,10人在46歲以上,則數(shù)0。35是16～25歲人員占總體分布的A．概率B．頻率C．累計頻率D．頻數(shù)答案：B2．某彩票的中獎概率為eq\f(1,1000），意味著A．買1000張彩票，就一定能中獎B．買1000張彩票，中一次獎C．買1000張彩票，一次獎也不中D．購買一張彩票,中獎的可能性是eq\f(1,1000）答案：D由概率定義知，D正確．3．做A、B、C三件事的費用各不相同，在一次游戲中，要求參加者寫出做這三件事所需費用的順序（由少到多依次排列）．如果某個參加者隨意寫出一種答案，則他正好答對的概率是A.eq\f（1，3）B。eq\f（1，4)C。eq\f(1,6)D.eq\f（1,12)答案：C記“正好答對"為事件N，將A、B、C排序包含6個基本事件：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB,CBA.故P(N)＝eq\f(1,6)。4．在某一時期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下：年最高水位(單位：m）［8,10）[10，12)［12,14）[14,16)［16，18)概率0。10。280。380。160。08在同一時期內(nèi)，河流這一處的年最高水位在[14，18）（m）內(nèi)的概率為A．0。08B．0。16C．0。12D．0.24答案：D河流在某處年最高水位落在各個范圍內(nèi)這些事件是互斥的,所以年最高水位在[14,18）（m）內(nèi)的概率為：P＝0.16＋0。08＝0.24.5．2008年北京奧運會時，體育場“鳥巢”內(nèi)在周長為400米的跑道上平均插上了10根彩旗標(biāo)志桿,一工作人員沿跑道隨機進(jìn)行檢查，則該工作人員離標(biāo)志桿距離不超過5米的概率是A．0。1B．0.25C．0。3D．0。4答案：B距10根標(biāo)志桿每根不超過5米的距離為10米，共100米，所以所求概率為eq\f（100，400)＝0.25。6．三個人隨意入住三間房間，假設(shè)每個人入住每間房的概率都是相等的，則三個人住在同一間房的概率是A.eq\f(1,9)B。eq\f(1，18）C.eq\f（1,3)D.eq\f（1,6)答案：A三個人隨意入住三間空房，共有27種不同的入住方式，三個人住在同一房間的方式有3種,則三人住在同一房間的概率P＝eq\f(3，27）＝eq\f（1,9）。7．已知事件M：“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N：“3粒種子都不發(fā)芽”，那么事件M和N是A．等可能性事件B．不互斥事件C．互斥但不對立事件D．對立事件答案:C“3粒種子都不發(fā)芽”“恰有一粒發(fā)芽”“恰有2粒發(fā)芽”“全部發(fā)芽”共四種情況，它們兩兩互斥,∴M與N互斥．“至少有一粒發(fā)芽"與N對立．∴M與N不對立．故選C。8．盒中有1個黑球和9個白球，它們除顏色不同外,其他方面沒有什么差別．現(xiàn)由10人依次摸出1個球，設(shè)第1個人摸出的1個球是黑球的概率為P1，第10個人摸出黑球的概率是P10，則A．P10＝eq\f(1,10）P1B．P10＝eq\f（1,9)P1C．P10＝0D．P10＝P1答案：D摸球與抽簽是一樣的，雖然摸球的順序有先后，但只需不讓后面的人知道先抽的人抽出的結(jié)果，那么各個抽簽者中簽的概率是相等的，并不因抽簽的順序不同而影響到其公平性,∴P10＝P1.9．考慮一元二次方程x2＋mx＋n＝0，其中m，n的取值分別等于將一枚骰子連擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù),則方程有實根的概率為A。eq\f(19,36）B。eq\f(7，18）C。eq\f(4,9)D。eq\f（17，36）答案：A由方程有實根知，m2≥4n。由于n∈N＋,故2≤m≤6.骰子連擲兩次并按先后所出現(xiàn)的點數(shù)考慮，共有6×6＝36種情形．其中滿足條件的有：①m＝2，n只能取1，計1種情況；②m＝3，n可取1或2，計2種情形；③m＝4，n可取1、2、3或4，共計4種情況;④m＝5或6，n均可取1至6的值，共計2×6＝12種情形，故滿足條件的情形共有1＋2＋4＋12＝19（種)．∴方程有實根的概率為P＝eq\f(19，36).故選A.10．考察正方體6個面的中心，從中任意選3個點連成三角形，再把剩下的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于A．1B。eq\f(1,2)C。eq\f（1，3)D．0答案:A正方體六個面的中心任取三個只能組成兩種三角形，一種是等腰直角三角形，如圖甲;另一種是正三角形，如圖乙．若任取三個點構(gòu)成的是等腰直角三角形,剩下的三個點也一定構(gòu)成等腰直角三角形；若任取三個點構(gòu)成的是正三角形,剩下的三點也一定構(gòu)成正三角形．這是一個必然事件，因此概率為1。第Ⅱ卷（非選擇題共70分)二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上）11．一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,12),則總體中的個體數(shù)為__________．答案：120分層抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，則eq\f(10，x）＝eq\f(1，12)?x＝120.12．設(shè)點A(p，q)在｜p｜≤1，|q|≤1內(nèi)按均勻分布出現(xiàn),則滿足p2＋q2≥1的概率為________．答案：1－eq\f(π,4)如下圖：點A(p，q)在－1≤p≤1,－1≤q≤1的正方形區(qū)域可視為區(qū)域D，落入陰影區(qū)域視為區(qū)域d,每個點落入D內(nèi)是等可能的．記事件A＝“滿足p2＋q2≥1的點",則P（A)＝eq\f(陰影面積,正方形面積）＝eq\f（22－π×12，22)＝eq\f（4－π,4）＝1－eq\f（π，4）.13．已知集合P＝{2，4,6，8｝，Q＝｛1，3,5,7｝，在P中任取一個元素用ai（i＝1，2，3，4)表示，在Q中任取一個元素用bj(j＝1,2,3,4）表示，則所取兩個數(shù)滿足ai>bj的概率為________．答案:eq\f(5,8)從P中4個元素中任取一個有4種結(jié)果，從Q中4個元素中任取一個也有4種結(jié)果．∴基本事件總數(shù)共有4×4＝16個．若ai>bj，則所含的基本事件(2，1），（4,1)，(4，3)，(6,1)，(6,3），(6，5),(8,1），（8，3）,（8,5），(8，7)共10個,∴所求概率為:eq\f(10，16）＝eq\f(5，8)。(注：橫坐標(biāo)表示ai,縱坐標(biāo)表示bj，（ai，bj）表示基本事件)14．給出命題：(1）對立事件一定是互斥事件；(2）若A、B為兩個事件，則P(A＋B）＝P（A）＋P(B);（3）若事件A、B、C兩兩互斥，則P（A）＋P（B）＋P（C）＝1；(4)若事件A、B滿足P（A)＋P（B）＝1，則A、B是對立事件．其中錯誤命題的序號是________．(填上所有假命題的序號)答案：（2)（3）(4)只有（1)正確．（2)只有當(dāng)A、B互斥時成立;(3)當(dāng)A、B、C為一個隨機試驗的僅有的三種結(jié)果時正確，若還有其他結(jié)果就不對；(4）不正確．反例，拋一顆骰子，觀察點數(shù)，設(shè)“獲得點數(shù)不超過3"的事件為A，“獲得點數(shù)為偶數(shù)"的事件為B,則P（A)＝0。5，P(B)＝0.5。此時P（A)＋P（B）＝1，但A、B不對立,A與B可能同時發(fā)生，如都出現(xiàn)2點．三、解答題（本大題共5小題，共54分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)為了調(diào)查某野生動物保護(hù)區(qū)內(nèi)某種野生動物的數(shù)量，調(diào)查人員某天逮到這種動物1200只作上標(biāo)記后放回，經(jīng)過一星期后，又逮到這種動物1000只,其中有作過標(biāo)記的100只,按概率方法估算，此保護(hù)區(qū)內(nèi)有多少只這種動物？解：設(shè)保護(hù)區(qū)內(nèi)有n只這種動物,假定每只動物被逮住的可能性是相等的,從中任逮一只，設(shè)事件A＝“作過標(biāo)記的動物”．由古典概型可知，P(A）＝eq\f(1200，n)。①第二次逮到的1000只中，有100只作過標(biāo)記，由概率的統(tǒng)計定義可知，P（A)≈eq\f(100,1000）。②由①②兩式，可得eq\f(1200,n）＝eq\f（100,1000)?！鄋＝12000(只)．答:估計此保護(hù)區(qū)內(nèi)約有12000只這種動物．16．（10分）甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個,甲、乙兩人依次各抽一題．（1)甲抽到選擇題,乙抽到判斷題的概率是多少？(2）甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題的概率是多少?解：甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90種，即基本事件總數(shù)是90.(1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題"為事件A，下面求事件A包含的基本事件數(shù)：甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為6×4＝24.∴P（A)＝eq\f（m，n）＝eq\f(24,90）＝eq\f(4,15).(2)先考慮問題的對立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題"的對立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”，即都抽到判斷題．記“甲、乙兩人都抽到判斷題"為事件B，“至少一人抽到選擇題”為事件C，則B含基本事件數(shù)為4×3＝12。（注：4個判斷題，甲抽到一個后還余3個，所以，乙若抽,只能從余下的3個中抽一個,有3種可能的情況，故B發(fā)生有4×3＝12種可能結(jié)果．）∴由古典概型概率公式，得P(B）＝eq\f(12，90）＝eq\f(2，15），由對立事件的性質(zhì)可得P（C)＝1－P（B）＝1－eq\f（2,15)＝eq\f(13,15）.17．（10分)現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語,C1、C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．(1）求A1被選中的概率；（2)求B1和C1不全被選中的概率．解：（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間(指整個事件中所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合)Ω＝｛(A1，B1，C1），（A1,B1，C2），（A1，B2，C1），(A1，B2，C2)，（A1，B3，C1)，（A1,B3,C2)，（A2，B1，C1)，（A2，B1，C2),(A2，B2，C1），(A2，B2，C2)，（A2，B3，C1)，（A2，B3，C2),（A3,B1，C1），(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1）,（A3,B2，C2），（A3,B3,C1），（A3，B3，C2）｝．由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M＝{(A1,B1，C1），(A1,B1，C2)，（A1，B2，C1)，（A1,B2,C2)，（A1，B3,C1）,(A1，B3，C2)｝．事件M由6個基本事件組成，因此P（M）＝eq\f（6，18）＝eq\f（1，3)。(2）用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件eq\x\to（N)表示“B1、C1全被選中"這一事件．由于eq\x\to(N）＝{(A1，B1，C1）,(A2,B1，C1），(A3,B1，C1)｝,事件eq\x\to（N)由3個基本事件組成，所以P(eq\x\to（N)）＝eq\f（3，18）＝eq\f(1,6）,由對立事件的概率公式得P（N）＝1－P(eq\x\to(N））＝1－eq\f（1，6）＝eq\f（5,6）.18．（12分）兩個對講機持有者莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25千米,在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30千米以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40千米以內(nèi)的某地向基地行駛,試問在下午3：00時他們能夠通過對講機交談的概率有多大?解:設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離,于是0≤x≤30，0≤y≤40.則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點對(x，y),這里x,y都在他們各自的限制范圍內(nèi),則所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為基本事件組對應(yīng)的幾何區(qū)域,每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置，他們可以通過對講機交談這一事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25千米時發(fā)生（如圖①),因此構(gòu)成該事件的點由滿足不等式eq\r(x2＋y2)≤25的數(shù)對組成,此不等式等價于x2＋y2≤625。圖①圖②圖②中的方形區(qū)域代表基本事件組,陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方千米，而所求事件的面積為（eq\f（1，4)）π(25)2＝eq\f（625π，4)，于是有P＝eq\f(625π/4,1200）＝eq\f（625π，4800）≈0.41。19．(12分）一汽車廠生產(chǎn)A，B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6，9。2，9。6,8。7,9。3，9。0,8。2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率．解:(1）設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得eq\f(