天津四十二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

天津四十二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．2．已知與函數(shù)和都相切，則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為（）A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．4．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．5．已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值為()A． B． C． D．66．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱(chēng)為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō)，他自己覺(jué)得最為滿(mǎn)意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）A． B． C． D．7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．8．有一改形塔幾何體由若千個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A．8 B．7 C．6 D．49．若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．10．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．11．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．12．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，在中，若的角平分線(xiàn)與相交于點(diǎn)，則的取值范圍是_______.14．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為_(kāi)_______.15．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．16．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列和滿(mǎn)足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．19．（12分）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，（1）求的值與拋物線(xiàn)的方程；（2）拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，拋物線(xiàn)上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率范圍.20．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？21．（12分）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且，其中p為常數(shù)．（1）求p的值；（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．22．（10分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長(zhǎng)為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)直線(xiàn)與和都相切，求得的值，由此畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，斜率為，所以切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得①.令，解得，，所以切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得②.由①②對(duì)比系數(shù)得，化簡(jiǎn)得③.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線(xiàn)方程為.即.不等式組即，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫(huà)出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線(xiàn)求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫(huà)法，考查圓的方程，考查兩條直線(xiàn)夾角的計(jì)算，考查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.3、C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，其中，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類(lèi)型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線(xiàn)平行性質(zhì)，將線(xiàn)段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線(xiàn)距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線(xiàn)存在某條切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，設(shè)拋物線(xiàn)的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為線(xiàn)段的最小值，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.6、C【解析】

設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長(zhǎng)為2，

該幾何體的表面積：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．8、A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：，以此類(lèi)推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為：，∴改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，即可得到結(jié)論．解：不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，]成立，等價(jià)于a≥-x-對(duì)于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D；根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無(wú)限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無(wú)限接近于0時(shí),接近于,，此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由角平分線(xiàn)成比例定理推理可得，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo)，代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因?yàn)锳Q是的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，即，則，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓，又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.14、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線(xiàn)斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)斜率的求解問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．16、0.4【解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出，由此利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴為常數(shù)列，且，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，可求得．【詳解】解：（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得因?yàn)?，所以解得，故．?）由（1）得．所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法．19、（1）1；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，利用拋物線(xiàn)的定義得，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上有，列方程組求解，（2）設(shè)，根據(jù)，再由，求得，當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)斜率不存在；當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)求解，【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，得，又，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為（2）設(shè)，由由，則當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)斜率不存在；當(dāng)時(shí)，令，所以在上分別遞減則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)定義及方程的應(yīng)用，還考查了分類(lèi)討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，20、（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購(gòu)買(mǎi)了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為∴(元).②若該老人沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為容易題.21、（1）p＝2；（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）取n＝1時(shí)，由得p＝0或2，計(jì)算排除p＝0的情況得到答案.（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡(jiǎn)得到，得到證明.（3）分別證明充分性和必要性，假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得2x﹣2y﹣2＝1