河北省灤南縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

河北省灤南縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.2．等差數(shù)列中，是的前項(xiàng)和，，則（）A.40 B.45C.50 D.553．已知橢圓的中心為，一個(gè)焦點(diǎn)為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.5．在中，，則邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.26．已知圓，圓，則兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.47．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.在上單調(diào)遞減8．2018年，倫敦著名的建筑事務(wù)所steynstudio在南非完成了一個(gè)驚艷世界的作品一一雙曲線(xiàn)建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)元素賦予了這座教堂輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，如圖．若將此大教堂外形弧線(xiàn)的一段近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)下支的一部分，且該雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，到漸近線(xiàn)距離為12，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.1010．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為（）A. B.C. D.11．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5012．已知點(diǎn)，分別在雙曲線(xiàn)的左右兩支上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的左焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與的左支相交于另一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，焦距為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______14．雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為，則C漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____15．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長(zhǎng)為_(kāi)____.16．與圓外切于原點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩動(dòng)圓：和：，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)與軸的正半軸的交點(diǎn)為，取曲線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)、滿(mǎn)足：且點(diǎn)與點(diǎn)均不重合.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）證明直線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；18．（12分）請(qǐng)分別確定滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程（1）過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線(xiàn)x﹣2y﹣2＝0垂直直線(xiàn)方程是（2）求與直線(xiàn)3x-4y+7=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線(xiàn)l的方程.19．（12分）已知圓與直線(xiàn)（1）若，直線(xiàn)與圓相交與，求弦長(zhǎng)（2）若直線(xiàn)與圓無(wú)公共點(diǎn)求的取值范圍20．（12分）已知直線(xiàn)：，直線(xiàn)：（1）若，之間的距離為3，求c的值：（2）求直線(xiàn)截圓C：所得弦長(zhǎng)21．（12分）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作的外角的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線(xiàn)：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線(xiàn)，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”即可求解【詳解】故選：B3、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標(biāo)，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點(diǎn)，因?yàn)榍?，故，故，，整理得到，故，故選：D.4、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B5、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負(fù)值舍去）故選：A6、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以?xún)蓤A相交，所以?xún)蓤A的公切線(xiàn)的條數(shù)為2，故選：B7、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，又，所以，A正確；因?yàn)榈膱D象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對(duì)稱(chēng)軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤故選：D.8、A【解析】設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，由雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，即，上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中一條漸近線(xiàn)為，上焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，則，解得，，即，故選：.9、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：D10、D【解析】設(shè)圓錐的半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)，根據(jù)已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.11、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A12、D【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及，，應(yīng)用勾股定理，可得關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，連接,,,如圖：根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及可知，四邊形為矩形.設(shè)因?yàn)?，所以，又，所以?在和中，，①，②由②化簡(jiǎn)可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，勾股定理，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系、焦點(diǎn)的位置寫(xiě)出雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點(diǎn)在軸上，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)，再用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算作答【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線(xiàn)方程為.故答案為：15、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長(zhǎng).【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：16、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點(diǎn)可知兩圓心與原點(diǎn)共線(xiàn)，再根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因?yàn)閳A的圓心為，與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點(diǎn)，，①所以所求圓的半徑滿(mǎn)足，又被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線(xiàn)的方程是：【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，且直線(xiàn)斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立方程組，可得，，，因?yàn)?，所以有，把代入整理化?jiǎn)得，或舍，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)均不重合，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)18、（1）2x+y﹣2＝0（2）3x-4y-12=0【解析】（1）設(shè)與直線(xiàn)x﹣2y﹣2＝0垂直的直線(xiàn)方程為2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，解得m即得解（2）方法一：由題意知：可設(shè)l的方程為，求出l在x軸，y軸上的截距，由截距之和為1，解出m，代回求出直線(xiàn)方程；方法二：設(shè)直線(xiàn)方程為，由題意得，解出a，b即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與直線(xiàn)x﹣2y﹣2＝0垂直的直線(xiàn)方程為2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，可得2+m＝0，解得m＝﹣2所求直線(xiàn)方程為：2x+y﹣2＝0【小問(wèn)2詳解】方法一：由題意知：可設(shè)l的方程為，則l在x軸，y軸上的截距分別為.由知，.所以直線(xiàn)l的方程為：.方法二：顯然直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上截距不為0，則設(shè)直線(xiàn)方程為，由題意得解得所以直線(xiàn)l的方程為：.即.19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線(xiàn)的距離，再由垂徑定理求弦長(zhǎng)；（2）由圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離為，弦長(zhǎng)（2）若直線(xiàn)與圓無(wú)公共點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑解得或20、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)兩條平行直線(xiàn)的距離公式列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）利用弦長(zhǎng)公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線(xiàn)：與：間的距離為3，所以解得或.【小問(wèn)2詳解】圓C：，圓心為，半徑為.圓心到直線(xiàn)的距離為，所以弦長(zhǎng)21、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）或.【解析】（1）結(jié)合與關(guān)系用即可證明為常數(shù)；求出通項(xiàng)公式后利用累加法即可求的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消求，判斷單調(diào)性求其最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，得到，∴，當(dāng)時(shí)，是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，.【小問(wèn)2詳解】令，當(dāng)，因此的最小值為，的最大值為對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，得，即在時(shí)恒成立，，解得t＜0或t＞3.22、（1）；（2）①證明見(jiàn)解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過(guò)的定點(diǎn)，②由弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接