貴陽市第十八中學2025屆數學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

貴陽市第十八中學2025屆數學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設,則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2．在長方體中，，，分別是棱，的中點，則異面直線，的夾角為（）A. B.C. D.3．數列滿足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.64．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.5．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.16．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件7．“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種8．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1209．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.10．已知a，b為不相等實數，記，則M與N的大小關系為（）A. B.C. D.不確定11．已知等比數列的前項和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.12．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉化．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，歐洲數學家帕斯卡在1654年才發(fā)現這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項式系數所構成的“楊輝三角中，第10行第8個數是______14．棱長為的正方體的頂點到截面的距離等于__________.15．數列中，，則______16．已知函數，是的導函數，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設動點Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.18．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）19．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值20．（12分）已知數列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和21．（12分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？22．（10分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，出現故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，每臺機器出現故障的概率為（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數函數的性質；2.充分條件與必要條件.2、C【解析】設出長度，建立空間直角坐標系，根據向量求異面直線所成角即可.【詳解】如下圖所示，以，，所在直線方向，，軸，建立空間直角坐標系，設，，，，，，所以，，設異面直線，的夾角為，所以，所以，即異面直線，的夾角為.故選：C.3、A【解析】根據題意，由于，可知數列是公差為-3的等差數列，則可知d=-3,由于=，故選A4、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C5、C【解析】應用向量的坐標表示求的坐標，由且列方程求y值.【詳解】由題設，，則且，所以，即，可得.故選：C6、B【解析】根據充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.7、B【解析】根據題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】根據題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B8、A【解析】根據題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A9、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A10、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A11、A【解析】根據題意，由等比數列的通項公式與前項和公式直接計算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.12、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因為直線l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、120【解析】根據二項式的展開式系數的相關知識即可求解.【詳解】因為，二項式展開式第項的系數為，所以，第10行第8個數是.故答案為：12014、【解析】根據勾股定理可以計算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設點到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點睛】本題考查了點到線的距離，利用等體積法求出點到面的距離.是解題的關鍵.15、1【解析】根據可得，則，所以可得數列是以6為周期周期數列，再由計算出的值，再利用對數的運算性質可求得結果【詳解】因為，所以，所以，所以數列是以6為周期的周期數列，因為，，所以，所以，所以所以，故答案為：116、2【解析】根據基本初等函數的導數公式及導數的加法法則，對求導，再求即可.【詳解】由題設，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設點坐標為，根據兩直線的斜率之積為得到方程，整理即可；（2）設，，，根據設、在橢圓上，則，再由，則，即可表示出直線、的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可得到點的縱坐標，再根據弦長公式得到，令，則，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：設點坐標為，定點，，直線與直線的斜率之積為，，【小問2詳解】解：設，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因為，當且僅當即時取等號，所以的最大值為；18、（1）；（2）.【解析】（1）根據拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據三角形面積公式可得，從而可得結果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點O到直線l的距離，所以，解得，即【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系的相關問題，意在考查綜合利用所學知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數量積求直線向量夾角，即得結果；（2）先求兩個平面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設平面一個法向量為令設平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達式，再按照與的關系計算,；(2)裂項相消求和即可.【小問1詳解】由題可知數列是等差數列，所以，，又因為，所以；【小問2詳解】所以；故答案為：，.21、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據體積得到，然后求出表面積，進而運用導數的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.22、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現故障的機器臺數為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現故障的機器臺數為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4