湖南省衡陽市祁東縣第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省衡陽市祁東縣第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.2．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.3．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.24．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知圓與圓外切，則（）A. B.C. D.6．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或7．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.8．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極大值點9．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）A. B.C. D.10．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.12．傾斜角為120°，在x軸上截距為－1的直線方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最小值為___________14．已知方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________15．經(jīng)過兩點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________16．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準(zhǔn)線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點18．（12分）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第6項，…，第項，按原來順序組成一個新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點.求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.21．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.2、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.3、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A4、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.5、D【解析】根據(jù)兩圓外切關(guān)系，圓心距離等于半徑的和列方程求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，兩圓圓心分別為、，半徑分別為1、r，∴由外切關(guān)系知：，可得.故選：D.6、D【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.7、C【解析】根據(jù)兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由兩直線垂直得：，解得：.故選：C.8、A【解析】根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點，可知C，D錯誤故選：A9、C【解析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可.【詳解】故選：C10、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C11、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：C12、D【解析】由傾斜角求出斜率，寫出斜截式方程，再化為一般式【詳解】由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故選：D.【點睛】本題考查直線方程的斜截式，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、512【解析】設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】拋物線焦點的坐標(biāo)為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，由拋物線的定義可知：，因為直線互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故答案為：51214、【解析】根據(jù)焦點在軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可得答案.【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，則，解得.所以的取值范圍為故答案為：15、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.16、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當(dāng)時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【點睛】關(guān)鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)為【解析】（1）利用頻率之和為一可求得的值；（2）眾數(shù)為最高小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等可求得中位數(shù)試題解析：（1）由直方圖的性質(zhì)可得，∴（2）月平均用電量的眾數(shù)是，∵，月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，可得，∴月平均用電量的中位數(shù)為224考點：頻率分布直方圖；中位數(shù)；眾數(shù)19、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項公式，.【小問2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點，∵為棱的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角21、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得22、（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）對進行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進