2017-2021年五年高考數(shù)學(xué)全國卷文科分類匯編及考向預(yù)測(cè)7

第七章文件幾何

一冕無今T題花福

、真題匯編：

1.【2017課標(biāo)I文6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,6為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn)，則在這

四個(gè)正方體中，直線與平面揚(yáng)叨不平行的是

2.［2017課標(biāo)I文16］已知三棱錐ST8c的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面SC4,平面SCB,

SA=AC,SB=BC,三棱錐S3%的體積為9,則球。的表面積為.

3.12017課標(biāo)I文18］如圖，在四棱錐中，1故左9,且NB4P=NCDP=90’.

(1)證明：平面用員L平面PAD-,

Q

⑵若PA=怯AB=DC,NAP。=90，且四棱錐夕」版的體積為—，求該四棱錐的側(cè)面積.

3

4.12017課標(biāo)H文6】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平

面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

A.90KB.63兀C.42兀D.36兀

5.［2017課標(biāo)II文15］長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球。的球面上,則球。的表面積為.

6.［2017課標(biāo)II文18］如圖，四棱錐P-A3CD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,/BAD

2

=ZABC=90。.

(1)證明：直線BC〃平面？A￡>;

(2)若△PC0的面積為2b，求四棱錐P—ABC。的體積.

7.12017課標(biāo)III文9］已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體

積為

8.【2017課標(biāo)HI文10］在正方體中，《為棱圈的中點(diǎn)，則

A.^ElDC,B.AjE±BDC.^EIBC,D.A,E±AC

9.12017課標(biāo)HI文19］如圖，四面體四切中，"BC是正三角形，AD=CD.

(1)證明：ACYBD-,

（2）已知"a）是直角三角形，AB=BD.若￡為棱劭上與〃不重合的點(diǎn)，且4&L寬；求四面體四位與四面

體/碗?的體積比.

10.12018課標(biāo)I文5］已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，。2,過直線。1。2的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.12缶B.12nC.8百兀D.1071

11.12018課標(biāo)I文9】某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑

的長(zhǎng)度為（）

B

A.2V17B.275C.3D.2

12.12018課標(biāo)I文10］在長(zhǎng)方體ABC。-ABIGA中，AB=BC=2,AQ與平面8片。。所成的角為30。，

則該長(zhǎng)方體的體積為（）

A.8B.672C.872D.

13.12018課標(biāo)I文18］如圖，在平行四邊形中，AB=AC=3,ZACM=90°,以AC為折痕將△ACM

折起，使點(diǎn)"到達(dá)點(diǎn)。的位置，且

（1）證明：平面AC。，平面ABC；

2

（2）。為線段AO上一點(diǎn)，尸為線段8C上一點(diǎn)，且BP=OQ=］ZM,求三棱錐Q-A3P的體積.

14.12018課標(biāo)H文9】在正方體ABC。-AgGA中，E為棱的中點(diǎn)，則異面直線AE與CO所成角的正

切值為

A.—B.—C.@D.—

2222

15.12018課標(biāo)II文16］已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30。，若

的面積為8,則該圓錐的體積為.

16.12018課標(biāo)H文18］如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，AB=BC=2應(yīng),P4=依=PC=AC=4,。為AC

的中點(diǎn).

(1)證明：平面A5C；

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且MC=2MB,求點(diǎn)。到平面尸OA7的距離.

18.12018課標(biāo)III文3】中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫梯頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖

中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是梯頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木

構(gòu)件的俯視圖可以是

【分析】

19.12018課標(biāo)HI文12］設(shè)A,8,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，AABC為等邊三角形且其面

積為9百，則三棱錐。-A3C體積的最大值為

A.1273B.1873C.2473D.5473

20.12018課標(biāo)III文19］如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧C。所在平面垂直，M是C。上異于C,O的點(diǎn).

(1)證明：平面AMD，平面BMC；

(2)在線段AM匕是否存在點(diǎn)P,使得〃平面尸3。？說明理由.

21.12019課標(biāo)I文161已知,一為平面/6C外一點(diǎn)，修2,點(diǎn)P到//或兩邊/IC,6c的距離均為百,

那么一到平面49C的距離為.

22.【2019課標(biāo)I文19］如圖，直四棱柱46G9-45G〃的底面是菱形，44=4,AB=2,/BAD=60：E,M,"分別

是BC,BB?的中點(diǎn).

DiG

(1)證明：助V〃平面C.DE-,

(2)求點(diǎn)。到平面G龍的距離.

23.12019課標(biāo)H文7】設(shè)%尸為兩個(gè)平面，則?！ㄊ某湟獥l件是

A.。內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,尸平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

24.12019課標(biāo)II文16】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體

或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正

多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同

一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

25.12019課標(biāo)H文17】如圖，長(zhǎng)方體4比。-45。4的底面/比。是正方形，點(diǎn)后在棱44上，BELEC、.

(1)證明：應(yīng)工平面以G；

(2)若/斤/￡力比3,求四棱錐E—881GC的體積.

26.12019課標(biāo)HI文8】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD中心，AECD為正三角形，平面ECO,平面A8CD,M

是線段EO的中點(diǎn)，則

A.3M=￡N,且直線是相交直線

B.&0。硒，且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM豐EN,且直線是異面直線

27.12019課標(biāo)HI文16】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

ABCD—A4GA挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，區(qū)￡G,”分別為所在棱的

中點(diǎn)，A3=8C=6cm,A4=4cm,3。打印所用原料密度為0.9g/,不考慮打印損耗，制作該模型所需原

料的質(zhì)量為g.

28.12019課標(biāo)HI文19］圖1是由矩形和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,NFBC=60，將其沿AB,8c折起使得.與8戶重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACG。的面積.

圖1

29.12020課標(biāo)I文3】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的

高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比

值為()

A.2/LlB,正匚亞+1布+1

4242

30.12020課標(biāo)I文12］已知A,8,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，0a為AABC"的外接圓，若。。1的面積為4兀,

AB=BC=AC=00、,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48KC.36KD.32兀

31.12020課標(biāo)I文19］如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO

上一點(diǎn)，N/PC=90°.

（1）證明：平面以I8_L平面以C

（2）設(shè)。。=加,圓錐的側(cè)面積為6兀，求三棱錐P-28c的體積.

32.12020課標(biāo)H文11］已知是面積為地的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球。的表面積

4

為16萬,則。到平面/8C的距離為（）

A.百B.-C.1D.立

22

33.12020課標(biāo)H文16】設(shè)有下列四個(gè)命題:

pi：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

pi-.過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

pi-.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

0：若直線/u平面a,直線mi.平面a,則m_L/

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

①Pl八P4②Pl人P2③V。3④V「Pa

34.12020課標(biāo)H文20］如圖，已知三棱柱48G48G的底面是正三角形，側(cè)面681GC是矩形，M,/V分別

為BC,61G的中點(diǎn)，P為4例上一點(diǎn).過81G和2的平面交Z8于￡交2C于尸.

（1）證明：AA1//MN,且平面4/例/\〃平面￡8iGE

TT

（2）設(shè)。為A461G的中心，若/。=/8=6,力。7平面fFiG/7,旦4MPN=］,求四棱錐a段G尸的體積.

35.12020課標(biāo)HI文9】下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4加B.4+472C.6+2百D.4+273

36.12020課標(biāo)HI文16］已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

37.12020課標(biāo)III文19］如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)七，尸分別在棱網(wǎng)上，且2Z）E=卬,

BF=2FB[.證明:

（1）當(dāng)=時(shí)，EF±AC；

（2）點(diǎn)G在平面AM內(nèi).

38.[2021全國甲卷文7]在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

39.12021全國甲卷文14】已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30乃則該圓錐的側(cè)面積為.

40.12021全國甲卷文19】已知直三棱柱ABC—A4G中，側(cè)面A4由8為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為

AC和CG的中點(diǎn)，BF上AB「

（1）求三棱錐產(chǎn)一E3C的體積；

（2）已知。為棱A片上的點(diǎn)，證明：BFLDE

41.12021全國乙卷文10］在正方體ABC?！?4G。中，P為BQ中點(diǎn)，則直線尸3與所成的角為（）

兀71一兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

42.12021全國乙卷文16］以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐

的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

43.12021全國乙卷文18］如圖，四棱錐產(chǎn)一488的底面是矩形，底面ABC。，M為的中點(diǎn)，且

PBYAM.

(1)證明：平面平面P3￡)；

⑵若PD=DC=1，求四棱錐尸一ABCO的體積.

二、詳解品評(píng)

1.【答案】A

【解析】

試題分析：對(duì)于B,易拈AB〃MQ,則直線48〃平面,網(wǎng)@對(duì)于C,易知AB〃MQ,則直線48〃平面"監(jiān)；對(duì)于D,

易知心〃兩，則直線四〃平面榴Q.故排除B,C,D,選A.

【考點(diǎn)】空間位置關(guān)系判斷

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題.證明線面平行的常用方法：①

利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何

體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用

面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.

2.【答案】3671

【解析】

試題分析：取SC的中點(diǎn)。，連接。4。3,

因?yàn)镾A=AC,SB=BC,所以O(shè)K±SC,OB1SC,

因?yàn)槠矫鍿AC，平面SBC,所以CU_L平面SBC,

x3

1gOA=r,貝U匕_qc=^5i2Cxd-l=1x-^x2rxrxr=^r,

所以；/=9=廠=3,所以球的表面積為4/=367t

【考點(diǎn)】三棱錐的外接球

【名師點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點(diǎn)問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系,

得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等,

這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多

邊形的各頂點(diǎn)的距離相等，然后用同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共

點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離,

構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的

三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球.

3.【答案】（1）證明見解析；（2）6+273.

【解析】

試題分析：（1）由A3_LAP,AB^PD,得A5_L平面/%￡＞即可證得結(jié)果；（2）設(shè)AB=x,則四棱錐

P—ABCO的體積=解得》=2,可得所求側(cè)面積.

試題解析：（1）由已知N84P=NCDP=90°,得A5_LAP，CD上PD.

由于AB〃CD,故ABLPD，從而平面PAD.

又ABu平面QA8，所以平面PA8_L平面PAO.

（2）在平面尸4）內(nèi)作PE_LA￡），垂足為E.

由（1）知，AB_L平面R4D,故ABJ_PE,可得PE_L平面ABCO.

設(shè)AB=x,則由已知可得AD=PE=-x.

2

故四棱錐尸一ABCD的體積V3

rp-fAytHSyC^lJD=3-ABADPE^3-X.

1Q

由題設(shè)得故％=2.

33

從而以=FZ）=2,AD=BC=2亞,PB=PC=2O.

可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為！PA-PD+-PA-AB+-PD-DC+-BC2sin60。=6+2百.

2222

【考點(diǎn)】空間位置關(guān)系證明，空間幾何體體積、側(cè)（表）面積計(jì)算

【名師點(diǎn)睛】證明面面垂宜，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；計(jì)算點(diǎn)面距離時(shí)，如

直接求不方便，應(yīng)首先想到轉(zhuǎn)化，如平行轉(zhuǎn)化、對(duì)稱轉(zhuǎn)化、比例轉(zhuǎn)化等，找到方便求值時(shí)再計(jì)算，可以減少運(yùn)

算量，提高準(zhǔn)確度，求點(diǎn)面距離有時(shí)能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱錐的高，利用等體積

法求出.

4.【答案】B

【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為

V=--7r-32-6+7r-32-4=637r,故選B.

2

【考點(diǎn)】三視圖

【名師點(diǎn)睛】（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖.

（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推

斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù).

5.【答案】14兀

【解析】球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以2K=尸赤1=舊方=4成2=14兀

【考點(diǎn)】球的表面積

【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）

或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫

內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方

程（組）求解.

6.【答案】（1）見解析；（2）4、紂

t解析】

試題分析：(1)先由平面幾何知識(shí)得5C/HD,再利用線面平行判定定理證結(jié)論；(2)取40的中點(diǎn)

利用面面垂直性質(zhì)定理證明RW1底面從而得四棱錐的高，再通過平面幾何計(jì)算得底面直角梯

形面積，最后代入錐體體積公式即可.

試題解析：(1)在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)?A4A乙45090。，所以BC4血又BCH平面PAD,

ADc平面尸HD,故BCH平面PAD.

(2)取的中點(diǎn)M,連結(jié)PM,CM,由AB=BC=gAD及BCIL&D,zU5C=90°得四邊形一43cM

為正方形，則CA/1AD.

因?yàn)閭?cè)面巴。為等邊三角形且垂直于底面N3C。，平面用平面/5CA/D,所以PM」_/D,PM1

底面ABCD,因?yàn)镃Mc底面以8CD,所以PA/1C.V/.

設(shè)5C=x,則CM=x,CD=6?內(nèi)氣取，PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連結(jié)P.V,貝iJPMlCD,所以

PN=-2x

因?yàn)椤?CD的面積為2C，所以r，

2、：xV2xx巖x=2〃

解得戶-2(舍去)，戶2,于是.1B=BC=2,疝”4,PM=2y/2>

所以四棱錐P-ABCD的體積.

y=ix2(2+4)x2VJ=4V3

32

【考點(diǎn)】線面平行判定定理，面面垂直性質(zhì)定理，錐體體積

【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需帶化為證明線線垂直

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

7.【答案】B

【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：AC=1,AB='

2

結(jié)合勾股定理，底面半彳1"==近

3

由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是V=Ttr-h=xl=-71,故選B.

4

【考點(diǎn)】圓柱的體積公式

【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作

截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的兒

何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

8.【答案】C

【解析】根據(jù)三垂線定理的逆定理，可知平面內(nèi)的線垂直于平面的斜線，則也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，A.

若4ELQG，那么。E，￡>G，很顯然不成立；B.若那么BOLAE，顯然不成立；C.若

A,E1BC,,那么成立，反過來時(shí)，也能推出8G，4后，所以C成立；D.若

A,E1AC,則AELAC，顯然不成立，故選C.

【考點(diǎn)】線線位置關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：

（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂宜.

（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

9.【答案】（1）詳見解析；（2）1:1

【解析】試題分析：（1）取AC的中點(diǎn)0,由等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)得AC_LOD,ACVOB,再

根據(jù)線面垂直的判定定理得ACL平面080,即得ACLBD,（2）先由AELEC,結(jié)合平面幾何知識(shí)確定

EO^-AC,再根據(jù)錐體的體積公式得所求體積之比為1:1.

2

試題解析：

(1)取/C的中點(diǎn)0,連結(jié)〃0,B0.

因?yàn)?廬G9,所以/CL%

又由于△ABC是正三角形，所以

從而/人平面〃龍，故"XEZ

(2)連結(jié)E。.

由(1)及題設(shè)知4DC=90°,所以DCK4O

在RtalOB中，BO2+AOZ=AB2.

又AB=BD,所以

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/。。8=90。.

由題設(shè)知△JEC為直角三角形，所以EO=：AC.

￡

又△3C是正三角形，目4B=BD,所以EO=：BD.

2

故E為即的中點(diǎn)，從而E到平面4BC的距離為。到平面且8C的距離的1,四面體且BCE的體積為四

面體從BCD的體積的;，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:L［考

點(diǎn)】線面垂直的判定及性質(zhì)定理，錐體的體積

【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

10.【答案】B

【解析】

分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公

式求得圓柱的表面積.

詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為2近的正方形，

結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是0的圓，且高為2及，

所以其表面積為S=2i(JI)?+2%-JL2V2=12］，故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓

柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分

之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，

可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，

所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，4?+22=2石，故選區(qū)

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾

何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征

求得結(jié)果.

12.【答案】C

【解析】

【分析】

首先畫出長(zhǎng)方體ABCO—A4GR,利用題中條件，得到NA￡3=30。，根據(jù)AB=2,求得80=26，可以

確定CG=2垃,之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.

【詳解】在長(zhǎng)方體A5CQ—4q中，連接5G，

根據(jù)線面角的定義可知NAGB=3(),

因?yàn)锳JB=2,所以從而求得CG=2近，

所以該長(zhǎng)方體的體積為V=2x2x20=80，故選C.

【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，

而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義,

從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

13.【答案】(1)見解析.

⑵1.

【解析】

分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到NB4O90,即B4LAC,再結(jié)合已知條件為工加，利用線面垂直的判定

定理證得46,平面又因?yàn)镮bu平面/16G根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面〃?，平面46C；

(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐

的體積公式求得三棱錐的體積.

詳解：(1)由已知可得，za4c=90°,BA1AC.

又BALAD,且ACD4)=A，所以46_L平面

又46u平面ABC,

所以平面4G9,平面加匕

(2)由已知可得，屐。的4廬3,DA=3垃.

2

又BP=DQ=mDA,所以BP=2夜.

作Q￡，4G垂足為￡,則QE=|||DC.

由已知及(1)可得〃CL平面45C,所以。反1平面48C,QE=1.

因此，三棱錐Q-ABP的體積為

%-A8P=gxQEX%切=；xlx；x3x2缶in45。=1.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定以及三棱錐的體積的求解，在解題的

過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位置，結(jié)合線面垂直的判定定理證得線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判

定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時(shí)候，注意應(yīng)用體積

公式求解即可.

14.【答案】C

【解析】

【分析】利用正方體ABC。—AgG。中，CD//AB,將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線A3與AE所成角的正切值，在

A/WE中進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】在正方體A3CO—A5G。中，CD//AB,所以異面直線AE與CO所成角為NE45，

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2a,則由E為棱CG的中點(diǎn)，可得CE=a,所以BE=J^a,

則3㈤人翳當(dāng)當(dāng).故選C.

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

(1)幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到(或構(gòu)造)所求角所在的三

角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

(2)向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕

對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

15.【答案】8n

【解析】

【詳解】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線54,高SO,底面圓半徑A。的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.

詳解：如下圖所示，NSAO=30,NAS8=9()

又SASA8=gs4SB=〈ST=8,

解得S4=4,所以SO=，SA=2,AO=JSA2—SO2=2g,

2

所以該圓錐的體積為V=g?乃?.so=8萬.

點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面兒何知識(shí)求解相應(yīng)線段

長(zhǎng)，代入圓錐體積公式即可.

述

16.【答案】⑴詳見解析(2)

【解析】

【詳解】分析：（1）連接OB,欲證PO_L平面ABC,只需證明PO±AC,尸。_L08即可;（2）過點(diǎn)C作C”，,

垂足為〃，只需論證C”的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.

詳解：（1）因?yàn)?片上4>4,。為“'的中點(diǎn)，所以“L/G且0六2也.

/71

連結(jié)如因?yàn)椋鄱蹲C，所以△/a'為等腰直角三角形，且如G0B=-AC=2.

22

由OP2+QB2=尸§2知，OPLOB.

由OPLOB,皿47知/UL平面ABC.

p

（2）作的_掰，垂足為〃又由（1）可得冊(cè)1圓所以掰L平面如M

故〃的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面倒獷的距離.

由題設(shè)可知3」AC=2,CM=ZBC=生區(qū),ZJfi?=450.

233

所以睚氈，觥"述

30M5

所以點(diǎn)C到平面/的距離為逑.

5

點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能

將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.

18.【答案】A

【解析】

【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是椎頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯

視圖中應(yīng)有一不可見的長(zhǎng)方形，

且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形

故俯視圖為

故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】分析:作圖,D為與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)DM，平面ABC時(shí),三棱錐D—ABC

體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得.

詳解：如圖所示，

D

點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn),

當(dāng)DM_L平面ABC時(shí)，三棱錐D—ABC體積最大

此時(shí)，OD=OB=R=4

2

???6q4ABe—AB=9y/3

4

/.AB=6,

???點(diǎn)M為三角形ABC的中心

：.BM=-BE=2^

3

中，有OM.=\IOB2—BM?=2

DM=OD+OM=4+2=6

???（%-極）皿=卜96、6=18百

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)DM，

平面ABC時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到BM=[=26，再由

勾股定理得到0M,進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型.

20.【答案】（1）證明見解析

（2）存在，理由見解析

【解析】

【分析】

【詳解】分析：（1）先證ADLCM,再證CMLMD,進(jìn)而完成證明.

（2）判斷出P為AM中點(diǎn)，，證明加〃仍然后進(jìn)行證明即可.

詳解：（1）由題設(shè)知，平面平面48（力，交線為切.

因?yàn)?c_LG9,8Cu平面4?四所以8cL平面。跖，故BC1DM.

因?yàn)椤盀镃O上異于心〃的點(diǎn)，且比■為直徑，所以〃ML以

又BCCC忙C,所以〃灶平面以

而DMU平面AMD,故平面4M_1_平面BMC.

（2）當(dāng)P為417的中點(diǎn)時(shí)，，比〃平面月陽.

證明如下：連結(jié)然交加于。.因?yàn)獒芗傲榫匦?，所以。為?中點(diǎn).

連結(jié)”3,因一為4V中點(diǎn)，所以,必〃砒

物'①平面加，0PU平面P8D,所以胱:〃平面儂.

點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問先斷出P為AM中點(diǎn),

然后作輔助線，由線線平行得到線面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題.

21.【答案】、反.

【解析】

【分析】

本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到P在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系,

勾股定理解決.

【詳解】作尸2PE分別垂直于AC,8C,P01平面ABC,連CO,

知C￡>_LPO,C。PDC\OD=P,

\C￡)A平面POO,OOu平面PQO,

:.CD±OD

?：PD=PE=5PC=2.sinNPCE=sinNPC￡>=

ZPCB=ZPCA=6Q°，

：.PO±CO,CO為NACB平分線，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=五,又PC=2,

：.=血.

【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難解決，將幾何體擺放成

正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍.

22.【答案】(1)見解析;

17

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線和可證得MEqM),證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得MN//OE,

根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;

CDEVV

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G—的體積，再求出,C'DE的面積，利用C,-CDE=C-CtDE求得點(diǎn)c到平面CQE

的距離，得到結(jié)果.

【詳解】(1)連接ME,B￡

?.?M，E分別為BB-8c中點(diǎn)為M8C的中位線

MEUB\C且ME=ggc

又N為4。中點(diǎn)，且4。4用。:.NDHB[C且ND=gBC

：■MEHND四邊形MNDE平行四邊形

：.MN//DE,又MNZ平面GOE，DEu平面。1。七

，肱7//平面。。￡

(2)在菱形ABQD中，E為8C中點(diǎn)，所以

根據(jù)題意有0￡=百，GE=J萬，

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵杂衂)E_L平面8。。出，

所以DELEG，所以Sgg=gx6xM,

設(shè)點(diǎn)C到平面C.DE的距離為d,

根據(jù)題意有匕■LCDE=VC-CQE，則有:萬x"=gx；xlxGx4,

解得。=/=生叵，

71717

所以點(diǎn)c到平面GDE的距離為生叵.

17

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題

的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距

離是文科生常考的內(nèi)容.

23.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性

質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與〃平行是。//4的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知,

若。//夕，則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a//夕的必要條件，故選B.

【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,bu0,ale,則a//〃”此類的錯(cuò)誤.

24.【答案】(1).共26個(gè)面.(2).棱長(zhǎng)為&一1.

【解析】

【分析】

第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡(jiǎn)單還原出物體位置，利用對(duì)稱性，平面幾何解決.

【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有18+8=26

個(gè)面.

如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x,則==延長(zhǎng)3C與FE交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)交正方體棱于“，由

半正多面體對(duì)稱性可知，MGE為等腰直角三角形，

BG=GE^CH=~x,GH=2x—x+x=(V2+l)x=l，

22

I

:.x=V2-1,即該半正多面體棱長(zhǎng)為血—1.

V2+1

H

【點(diǎn)睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求

勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形.

25.【答案】（1）見詳解；（2）18

【解析】

【分析】

（D先由長(zhǎng)方體得，4G_L平面朋耳8,得到用再由BELEG，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可

證明結(jié)論成立；

（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為2a,根據(jù)題中條件求出a=3；再取中點(diǎn)?，連結(jié)政，證明EF_L平面,

根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABC?！校?G，平面A4出8；

BEu平面A&BQ,所以4G，BE,

又BE工EC1,B￡cEC=G，且Egu平面EBC，dgu平面EBg,

所以8E1平面E61G；

（2）設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為2a,則AE=4E=a,

由（1）可得J.8E；所以EB：+BE?=BB：,gp2BE2=BB;,

又鉆=3,所以24爐+24夕=38「，即2a2+18=4/,解得a=3；

取BB1中點(diǎn)F,連結(jié)EE,因?yàn)锳E=4E,則防〃AB；

所以EFL平面

所以四棱錐E-四C。的體積為％

*1L_RB>R]LC]CL=3-S7t1^7lZBi>￡B>C|C]C-EF3BC-BB.1-EF=-3x3x6x3=\S.

5IIBy

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即

可，屬于基礎(chǔ)題型.

26.【答案】B

【解析】

【分析】

利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

【詳解】如圖所示，作于。，連接QV,過M作于

連8/，???平面CDEL平面ABCD.

石。_1。。,改9(=平面。。后，.?.E0,平面ABC。，MF，平面ABC。,

AMFB與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知E0=6,ON=1EN=2,

MF=—,BF=-,：.BM=/j.:.BM豐EN,故選B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

27.【答案】118.8

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.

19

【詳解】由題意得，SEFGH=4x6-4x—x2x3=12cm2,

四棱錐）EFG的高3cm,小…，［><12x3=12加.

又長(zhǎng)方體ABCD-A^C^的體積為匕=4X6X6=144CM,

所以該模型體積為V=%-M=144-12=132cm2,

其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解.

28.【答案】（1）見詳解：（2）4.

【解析】

【分析】（1）因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛BED，R/AABC和菱形BFGC內(nèi)部的夾角，所以AO//B