第十七講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(原卷版+解析)2

第十七講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用命題點(diǎn)1特殊角的三角函數(shù)及其相關(guān)計(jì)算1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．2．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．3．（2022?通遼）計(jì)算：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．4．（2022?牡丹江）先化簡(jiǎn)，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．命題點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系5．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米6．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．7．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．8．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．39．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．210．（2022?西寧）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則cosA＝．11．（2022?河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．12．（2022?張家界）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么tan∠ADF＝．13．（2022?長(zhǎng)春）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若＝，則tan∠BCF的值為．14．（2022?賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED＝BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四邊形AFCE的面積．命題點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型一解一個(gè)直角三角形15．（2022?沈陽(yáng)）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測(cè)量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)量得P，Q兩點(diǎn)間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長(zhǎng)為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．16.（2022?柳州）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度為m．類型二背靠背型17．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m18．（2022?玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（）A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC19．（2022?武漢）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是m．20．（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝小時(shí)．21．（2022?西藏）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．類型三母子型考向1同一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)22．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．考向2兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)同一個(gè)位置點(diǎn)（2022?黃石）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）24．（2022?梧州）今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過(guò)釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，AB⊥CB，垂足為點(diǎn)B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）25．（2022?長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）26．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）27．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）考向3兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)28．（2022?遵義）如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°，在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C的仰角為30°，測(cè)得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求燈管支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．29．（2022?貴陽(yáng)）交通安全心系千萬(wàn)家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間的距離CD＝EF＝7m，測(cè)速儀C和E之間的距離CE＝750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀C處測(cè)得小汽車在隧道入口A點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車在B點(diǎn)的俯角為60°，小汽車在隧道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）30．（2022?遼寧）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點(diǎn)E，在A處測(cè)得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測(cè)得大樹頂端D的仰角為53°，測(cè)得山坡坡角∠CBM＝30°（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（1）求斜坡BC的長(zhǎng)；（2）求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）31．（2022?廣元）如圖，計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開(kāi)通穿山隧道EF．在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長(zhǎng)度．32．（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．類型四擁抱型33．（2022?涼山州）如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為．第十七講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用命題點(diǎn)1特殊角的三角函數(shù)及其相關(guān)計(jì)算1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．2．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【答案】﹣1【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．3．（2022?通遼）計(jì)算：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．【解答】解：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1＝2+4×（﹣1）×﹣2＝2+2（﹣1）﹣2＝2+6﹣2﹣2＝4．4．（2022?牡丹江）先化簡(jiǎn)，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．【解答】解：原式＝?＝?＝x﹣1，∵x＝cos30°＝，∴原式＝﹣1．命題點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系5．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故選：A．6．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故選：C．7．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．8．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故選：C．9．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．10．（2022?西寧）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則cosA＝．【答案】【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cosA＝＝＝，故答案為：．11．（2022?河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．【答案】【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE＝AD，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，∴＝＝，∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴，∵點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，∴AN＝AF＝，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，故答案為：．12．（2022?張家界）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么tan∠ADF＝．【答案】【解答】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，∴DF﹣AF＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（負(fù)值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝，故答案為：．13．（2022?長(zhǎng)春）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若＝，則tan∠BCF的值為．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵DE⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，設(shè)BE＝a，則CE＝4a，由（1）可知，四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案為：．14．（2022?賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED＝BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四邊形AFCE的面積．【解答】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴平行四邊形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO?EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24命題點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型一解一個(gè)直角三角形15．（2022?沈陽(yáng)）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測(cè)量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)量得P，Q兩點(diǎn)間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長(zhǎng)為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．【答案】C【解答】解：由題意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ?tanα＝mtanα（米），∴河寬PT的長(zhǎng)度是mtanα米，故選：C．16.（2022?柳州）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度為m．【答案】50【解答】解：∵sinα＝，堤壩高BC＝30m，∴sinα＝＝＝，解得：AB＝50．故答案為：50．類型二背靠背型17．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m【答案】A【解答】解：設(shè)AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD?tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴這棵樹CD的高度是8（3﹣）米，故選：A．18．（2022?玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（）A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC【答案】D【解答】解：從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是∠DAC．故選：D．19．（2022?武漢）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是m．【答案】800【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E．∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝30°．在Rt△BCE中，∵BC＝1600m，∴CE＝BC＝800m，∠BCE＝60°．∵∠BCD＝105°，∴∠ECD＝45°．在Rt△DCE中，∵cos∠ECD＝，∴CD＝＝＝800（m）．故答案為：800．20．（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝小時(shí)．【答案】（1+）【解答】解：如圖：由題意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP?cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP?sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小時(shí)，故答案為：（1+）．21．（2022?西藏）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：連接EF，交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM，設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，tan37°＝，即≈0.75，解得x＝12，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的根，即DM＝12米，∴DB＝12+1.6＝13.6（米），答：樹BD的高度為13.6米．類型三母子型考向1同一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)22．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，∴AE＝CE?tan33°≈36×0.65≈23.4（m），∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），答：居民樓AB的高度約為59m．考向2兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)同一個(gè)位置點(diǎn)（2022?黃石）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）【答案】12.7【解答】解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E．則CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，設(shè)DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，則AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝≈17.3是原方程的解，且符合題意，∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．故答案為：12.7．24．（2022?梧州）今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過(guò)釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，AB⊥CB，垂足為點(diǎn)B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）【解答】解：設(shè)AB＝xm，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴tan52°＝，∴BC＝．在Rt△ABD中，∵tan∠ADB＝，∴tan60°＝，∴BD＝．∵CD＝CB﹣DB，∴＝200，解得：x≈984．∴AB的高度約為984米．25．（2022?長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，∴BD＝BA＝10（m），答：該斜坡的高度BD為10m；（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20（m），答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．26．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【解答】解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝＝x（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝4+4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m．27．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設(shè)BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．考向3兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)28．（2022?遵義）如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°，在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C的仰角為30°，測(cè)得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求燈管支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，∴AD＝AE?tan60°＝3（米），∴燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)為3米；（2）延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)G，∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，∵∠GDC＝60°，∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，∴△DGC是等邊三角形，∴DC＝DG，∵AE＝3米，EF＝8米，∴AF＝AE+EF＝11（米），在Rt△AFG中，AG＝AF?tan30°＝11×＝（米），∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米），∴燈管支架CD的長(zhǎng)度約為1.2米．29．（2022?貴陽(yáng)）交通安全心系千萬(wàn)家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間的距離CD＝EF＝7m，測(cè)速儀C和E之間的距離CE＝750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀C處測(cè)得小汽車在隧道入口A點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車在B點(diǎn)的俯角為60°，小汽車在隧道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【解答】解：（1）由題意得：∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，在Rt△ACD中，CD＝7米，∴AD＝≈＝14（米），在Rt△BEF中，EF＝7米，∴BF＝＝≈4.1（米），∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），∴A，B兩點(diǎn)之間的距離約為760米；（2）小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速，理由：由題意得：760÷38＝20米/秒，∵20米/秒＜22米/秒，∴小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速．30．（2022?遼寧）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點(diǎn)E，在A處測(cè)得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測(cè)得大樹頂端D的仰角為53°，測(cè)得山坡坡角∠CBM＝30°（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（1）求斜坡BC的長(zhǎng)；（2）求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73