第六章實(shí)數(shù)知識(shí)串講+熱考題型(原卷版+解析)

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第六章實(shí)數(shù)》本章知識(shí)綜合運(yùn)用三個(gè)三個(gè)概念●●1、算術(shù)平方根與平方根：◆◆算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.表示方法：a的算術(shù)平方根記作：，讀作:“根號(hào)a”.◆◆平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說(shuō)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為，正數(shù)a的負(fù)的平方根，可以表示為-.正數(shù)a的平方根可以用±表示，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”．●●2、立方根：◆◆立方根的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆◆立方根的表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“”表示，讀作“三次根號(hào)a”，其中a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù).●●3、實(shí)數(shù)：◆◆1、實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).◆◆2、實(shí)數(shù)的分類：（1）按定義分類．（2）按性質(zhì)分類.三個(gè)三個(gè)性質(zhì)●●1、平方根的性質(zhì)：①正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.●●2、立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)，即.②.●●3、實(shí)數(shù)的性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣．一個(gè)一個(gè)運(yùn)算●●實(shí)數(shù)的運(yùn)算◆◆題型一題型一平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念【例題1】（2022春?信陽(yáng)期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．4=±2C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1解題技巧提煉1、一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.2、一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根.3、一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.【變式1-1】（2022春?合肥期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一個(gè)平方根 D．算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1【變式1-2】（2022秋?雞澤縣期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算術(shù)平方根是±7；③127的立方根是1④116的平方根是1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022春?右玉縣期末）(?1A．?14 B．14 C．±【變式1-4】（2022春?隴縣期末）﹣8的立方根與4的算術(shù)平方根的和是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．0或﹣4【變式1-5】（2022秋?東明縣校級(jí)期末）若4是（8+a）的一個(gè)平方根，則a的立方根是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【變式1-6】（2022秋?東平縣期末）兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，前一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是x，則后一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C．x+1 D．x【變式1-7】（2021秋?永年區(qū)期末）下列說(shuō)法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算術(shù)平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型題型二平方根、算術(shù)平方根、立方根的計(jì)算【例題2】（2021秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）下列各式計(jì)算正確的是（）A．3?1=?1 B．38=±2 C．解題技巧提煉1、求一個(gè)正數(shù)的平方根就是看哪兩個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)正數(shù)，這兩個(gè)數(shù)就是正數(shù)的平方根，其中正的那個(gè)為該數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根和平方根都是0.2、求立方根就是看哪個(gè)數(shù)的立方等于這個(gè)數(shù)，正數(shù)的立方根有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根為0，立方根為其本身的數(shù)有±1,0.【變式2-1】（2023?任城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）64的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．±4【變式2-2】（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，則a+bA．4 B．2 C．±2 D．3【變式2-3】（2022秋?屯留區(qū)期末）如果x=3?27，那么代數(shù)式x（x﹣5）﹣xA．15 B．5 C．﹣5 D．﹣15【變式2-4】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）﹣27的立方根與9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6【變式2-5】（2021秋?仁壽縣校級(jí)期末）已知2x﹣1和5﹣x為某實(shí)數(shù)的平方根，則x的值為（）A．﹣4 B．2 C．4或﹣2 D．﹣4或2【變式2-6】（2022春?寧國(guó)市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根（）A．±5 B．12 C．13 D．±13【變式2-7】求下列式子中的x的值：（1）18﹣2x2＝0；（2）（x+1）3+27＝0．（3）4（x﹣2）2＝49；（4）（x﹣1）3＝64．【變式2-8】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是2x﹣3和1﹣x，31?2b與33b?5互為相反數(shù)，求a+2【變式2-9】（2022春?前郭縣月考）已知2a+1的平方根為±3，a+3b﹣3的立方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．題型題型三無(wú)理數(shù)的識(shí)別【例題3】（2022秋?盱眙縣期末）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的為（）A．3.1?4? B．3.1415926 C．22解題技巧提煉（1）對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)進(jìn)行區(qū)分時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到用根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù)；（2）π是無(wú)理數(shù)，，化簡(jiǎn)后含π的數(shù)也是無(wú)理數(shù)，判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)要抓住兩點(diǎn)：一是無(wú)限小數(shù)；二是其形式不循環(huán).【變式3-1】（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）在實(shí)數(shù)3?27，0.1.23.，π，34A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式3-2】（2022春?長(zhǎng)沙期中）有下列說(shuō)法：①無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；②無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、0和負(fù)無(wú)理數(shù)；③帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；④無(wú)理數(shù)是含有根號(hào)且被開(kāi)方數(shù)不能被開(kāi)盡的數(shù)；⑤3A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式3-3】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）在實(shí)數(shù)5、227、0、3?1、3.1415、16、4.21、3A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式3-4】（2022秋?渭濱區(qū)期末）下列各數(shù)3.1415926，9，1.212212221…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2），15，3﹣π，﹣2023，34中，無(wú)理數(shù)有【變式3-5】（2022秋?秦淮區(qū)期中）下列各數(shù)：①0.3?，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相鄰兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）是無(wú)理數(shù)的是題型題型四實(shí)數(shù)的分類【例題4】（2022?將樂(lè)縣模擬）實(shí)數(shù)﹣3，?5，?A．﹣3 B．?5 C．?1解題技巧提煉本題采用分類法解答，可先把題目中所列各數(shù)分成有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，再?gòu)挠欣頂?shù)中找整數(shù)及分?jǐn)?shù).【變式4-1】（2022春?鳳陽(yáng)縣校級(jí)期末）在0.1、π、117、2、16、?A．4 B．5 C．3 D．2【變式4-2】（2022春?靈寶市期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，【變式4-3】（2022秋?新昌縣期中）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．?12，0，0.16，312，3，?235有理數(shù)：{…}；無(wú)理數(shù)：{…}；負(fù)實(shí)數(shù)：{…}；正分?jǐn)?shù)：{…}．【變式4-4】（2022秋?揚(yáng)州期中）將下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的集合里．①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|?207|，⑤π2，⑥0，⑦整數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；負(fù)數(shù)集合：{…}；有理數(shù)集合：{…}；無(wú)理數(shù)集合：{…}．【變式4-5】（2022秋?安岳縣校級(jí)月考）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：3?1、3.1415、39、?5、13、π2、﹣0.3有理數(shù)集合：{…}；無(wú)理數(shù)集合：{…}；正實(shí)數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；題型題型五實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值【例題5】（2022?新會(huì)區(qū)模擬）9的相反數(shù)和倒數(shù)分別是（）A．3，13 B．3，?13 C．﹣3，?解題技巧提煉1、數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù).2、數(shù)a的倒數(shù)是1a(a≠0).

3、【變式5-1】（2023?龍華區(qū)一模）9的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．33 C．13 【變式5-2】（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）實(shí)數(shù)?6A．6 B．?6 C．6 【變式5-3】（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對(duì)值是﹣5 B．任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù) C．任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是1【變式5-4】（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．絕對(duì)值是5的數(shù)是5 B．?2的相反數(shù)是±2C．1?2的絕對(duì)值是2?1 D．【變式5-5】（2022?南京模擬）下列各數(shù)中，它的相反數(shù)與它的絕對(duì)值不相等的是（）A．0 B．?2 C．π D．【變式5-6】（2022秋?屯留區(qū)期末）與|2?7A．7?2 B．2?7 C．2+7【變式5-7】（2022秋?武義縣期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．?9與327 B．3?8與?38 C．|?2|【變式5-8】已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，則?3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1題型題型六實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系【例題6】（2023?泰山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）實(shí)數(shù)m，n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．|m|＞1 B．1﹣m＜1 C．mn＜0 D．m+1＜0解題技巧提煉1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).2、與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.【變式6-1】（2022秋?南安市期末）如圖，5在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【變式6-2】則下列選項(xiàng)中可能被覆蓋住數(shù)是（）A．3 B．5 C．6 D．7【變式6-3】（2022秋?江北區(qū)期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列說(shuō)法一定正確的是（）A．a(chǎn)+b＜0 B．|a|＞|b| C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)b＜0【變式6-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上數(shù)表示2，5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B、C，B是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)（）A．?5 B．2?5 C．4?5【變式6-5】（2022秋?常德期末）如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度線段為邊長(zhǎng)作一個(gè)正方形，以表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A、B，則點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是（）A．?2，2 B．2?1，2+1 C．1?2，1【變式6-6】（2022秋?吉州區(qū)期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）填空：a0，b0，c0（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）直接寫(xiě)出|a﹣c|＝，|a﹣b|＝，|1﹣b|＝；（3）化簡(jiǎn)：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．【變式6-7】（2022?南京模擬）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A，B表示數(shù)1和2．點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離相等，設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x．（1）請(qǐng)你求出數(shù)x的值．（2）若m為(x?2)的相反數(shù)，n為（x﹣2）的絕對(duì)值，求m+題型題型七實(shí)數(shù)的非負(fù)性的應(yīng)用【例題7】（2022春?宣化區(qū)期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017解題技巧提煉算術(shù)平方根a具有雙重非負(fù)性,即被開(kāi)方數(shù)a≥0且a≥0，a中隱含條件a≥0要靈活運(yùn)用.2、幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于零，據(jù)此得出關(guān)于字母的方程，運(yùn)用方程思想求相關(guān)字母的值.【變式7-1】（2022春?拜泉縣校級(jí)月考）已知a?2+（b+5）2+|c+1|＝0，則a+b﹣cA．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【變式7-2】（2021春?涼州區(qū)校級(jí)期中）若|x?3+1|（1）求x，y的值；（2）求x2+2x﹣3y的值．【變式7-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知（a﹣16）2+b?27+|c﹣2|＝0，求代數(shù)式（a?【變式7-4】（2022?長(zhǎng)陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知a，b滿足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab【變式7-5】2x2?6|+(y+1)2?4=0，且x【變式7-6】（2021春?西峰區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)a，b滿足（a﹣2021）2+2020?b=0，求a﹣題型題型八實(shí)數(shù)的大小比較【例題8】（2023?佛山開(kāi)學(xué)）對(duì)于下列實(shí)數(shù)3，π﹣1，22，3大小排列正確的是（）A．3＜22＜π﹣1＜3B．πC．3＜π?1＜22＜3解題技巧提煉常用的實(shí)數(shù)大小比較的方法：正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù)；兩個(gè)正實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小.（2）平方法：兩數(shù)平方后再比較大?。唬?）作差法：通過(guò)相減判斷得到的差的正負(fù)來(lái)比較大??；（4）用中間量法比較大小，先找個(gè)中間量幫助比較出兩個(gè)同分母的分?jǐn)?shù)的分子的大小，從而確定它們的大小.【變式8-1】（2022秋?南召縣期末）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A．﹣3 B．?3 C．﹣π D．【變式8-2】（2022秋?長(zhǎng)沙期末）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．2 B．0 C．﹣4 D．π【變式8-3】（2022秋?鄞州區(qū)期末）比較大?。?35【變式8-4】（2022秋?沈丘縣期末）比較大?。?022【變式8-5】（2022秋?衡東縣期末）比較下列實(shí)數(shù)的大?。??12【變式8-6】（2023?西湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“＜”號(hào)把它們連接起來(lái)．?12，﹣3，|﹣2|，【變式8-7】對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b，c，且b＜c，則ba（1）5?14與14；（2）7【變式8-8】比較下列各組數(shù)的大?。?）16與255；（2）32與1；（3）5【變式8-9】設(shè)a=3?12，b=12，（1）比較a與b兩個(gè)數(shù)的大小；（2）求|a﹣b|+c?d題型題型九實(shí)數(shù)的規(guī)律問(wèn)題【例題9】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）若6≈2.449，60≈7.746，則0.006≈解題技巧提煉1、利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)向左（右）移動(dòng)一位.2、利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)向左（右）移動(dòng)一位.【變式9-1】（2022春?香洲區(qū)校級(jí)期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，則3【變式9-2】（2022春?呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，則【變式9-3】（2022春?梁平區(qū)期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3【變式9-4】（2022春?綦江區(qū)校級(jí)月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈1.289，若x≈462.6，則x＝【變式9-5】（2022春?寧南縣校級(jí)月考）已知5.217≈2.284，52.17（1）0.05217≈，52170≈（2）若x≈0.02284，則x＝【變式9-6】（2022秋?昌平區(qū)期中）觀察下面的規(guī)律：0.03≈0.1732，0.3≈0.5477，3≈1.732，30≈5.477，（1）30000≈（2）若0.5≈0.7071，5≈2.236，則0.05≈【變式9-7】借助計(jì)算機(jī)可以求得42+32=5，44A．55?5︸2018個(gè) C．33?3︸2018個(gè)題型題型十實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算問(wèn)題【例題10】（2021春?霍林郭勒市期末）定義運(yùn)算“*”的運(yùn)算法則為：a?b=1a?1b，比如2?3=1解題技巧提煉根據(jù)新運(yùn)算定義的方法列出式子，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.【變式10-1】規(guī)定運(yùn)算：a△b＝|a﹣b|（a，b為實(shí)數(shù)）．計(jì)算：(5【變式10-2】（2021春?梅河口市校級(jí)期中）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新的運(yùn)算如下：a*b=a+ba?b（a+b＞0），如3*2（1）8*7；（2）6*（5*4）．【變式10-3】（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）規(guī)定一種新的運(yùn)算a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣3+4+1，請(qǐng)比較（﹣3）△2與2△（﹣3）的大小．【變式10-4】對(duì)于實(shí)數(shù)a、b定義運(yùn)算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．（1）求（﹣2）#3的值；（2）通過(guò)計(jì)算比較3#（﹣2）與（﹣2）#3的大小關(guān)系；（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．【變式10-5】（2022春?渦陽(yáng)縣月考）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新的運(yùn)算如下：a?b=aba?b，如2?（1）3?2的值；（2）5?（4?2）的值．【變式10-6】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：“*”，運(yùn)算規(guī)則為a*b＝ab﹣a﹣b．（1）計(jì)算：9?3?125（2）填空：16*（?3?8）（?3（3）我們知道：實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算滿足交換律，那么，由（2）的計(jì)算結(jié)果，你認(rèn)為這種運(yùn)算“*”是否滿足交換律？若滿足，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型題型十一實(shí)數(shù)的估算【例題11】（2022?文山市模擬）若m=6，則估計(jì)mA．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．2≤m＜3 D．3＜m＜4解題技巧提煉估算a（a≥0）時(shí)，首先要確定a的整數(shù)部分，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，得出a在哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間，從而確定a的整數(shù)部分和小數(shù)部分.【變式11-1】（2022秋?武義縣期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)可能是（）A．2 B．5 C．8 D．10【變式11-2】（2021?津南區(qū)一模）估計(jì)2+13A．在2和3之間 B．在4和5之間 C．在5和6之間 D．在6和7之間【變式11-3】（2021春?渝北區(qū)期末）估計(jì)11?A．3和4之間 B．2和3之間 C．1和2之間 D．0和1之間【變式11-4】（2021春?海珠區(qū)校級(jí)月考）下列無(wú)理數(shù)中，與4最接近的是（）A．8 B．12 C．14 D．17【變式11-5】（2022?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）與1+17A．3 B．4 C．5 D．6【變式11-6】（2022秋?桂平市期末）已知m，n為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且m＜10＜n，則（m﹣n）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【變式11-7】（2022秋?慈溪市期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題，大家知道2是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，于是小明用2?1來(lái)表示2的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜7＜3，∴7（1）請(qǐng)解答：（1）13的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果5的小數(shù)部分是a，29的整數(shù)部分是b，求a+b?（3）已知：x是5+13的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，求x﹣y【變式11-8】（2022秋?蓮都區(qū)期中）【閱讀理解】∵4＜5＜9，即2＜5＜3．∴5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為5?【解決問(wèn)題】已知：a是17?2的整數(shù)部分，b是17（1）a，b的值；（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．題型題型十二實(shí)數(shù)的運(yùn)算【例題12】（2022春?淮南期中）計(jì)算：（1）計(jì)算：?3（2）計(jì)算：(?10)2解題技巧提煉實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序?yàn)椋合人愠朔?、開(kāi)方、再算乘法、除法，最后算加法、減法，同級(jí)運(yùn)算按照自左向右的順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里的.有理數(shù)的運(yùn)算律實(shí)數(shù)同樣適用.【變式12-1】（2022春?源城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（3）2﹣|2?9|【變式12-2】（2022春?樂(lè)昌市校級(jí)期中）計(jì)算：3?27【變式12-3】計(jì)算：（1）3?827×14?(?2)2；【變式12-4】（2022春?杭錦后旗期中）計(jì)算（1）﹣12222+364?（2）（﹣2）2+3?27+3?【變式12-5】（2022春?陽(yáng)東區(qū)期中）計(jì)算：﹣22×14?【變式12-6】（2022春?大荔縣校級(jí)月考）計(jì)算：25【變式12-7】（2022春?漳平市期中）計(jì)算：?1題型題型十三實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題13】（2021春?贛州期中）用一張面積為64cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一個(gè)長(zhǎng)寬之比為4：3的長(zhǎng)方形紙片（裁剪方式見(jiàn)示意圖），該長(zhǎng)方形紙片的面積可能是60cm2嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．解題技巧提煉解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是列方程，對(duì)于最后的結(jié)果，一定要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義.【變式13-1】（2021秋?臨汾期中）將一塊體積為64cm3的正方體鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，則每個(gè)小正方體木塊的棱長(zhǎng)為cm．【變式13-2】（2022秋?運(yùn)城期末）將邊長(zhǎng)分別為1和2的長(zhǎng)方形如圖剪開(kāi)，拼成一個(gè)與長(zhǎng)方形面積相等的正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)是（）A．3 B．5 C．2 D．2【變式13-3】（2022春?白水縣期末）電流通過(guò)導(dǎo)線時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量，滿足Q＝I2Rt，其中Q為產(chǎn)生的熱量（單位：J），I為電流（單位：A），R為導(dǎo)線電阻（單位：Ω），t為通電時(shí)間（單位：s），若導(dǎo)線電阻為5Ω，2s時(shí)間導(dǎo)線產(chǎn)生40J的熱量，求電流的值是多少？【變式13-4】（2022秋?越城區(qū)期中）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，面積是72cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【變式13-5】（2021春?岳池縣期中）如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長(zhǎng)方形紙板拼接而成的，已知一個(gè)長(zhǎng)方形紙板的面積為162平方厘米，求正方形紙板的邊長(zhǎng)．【變式13-6】（2022春?余干縣期中）小麗想用一塊面積為900cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為600cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為4：3，她不知道是否裁得出來(lái)，正在發(fā)愁小明見(jiàn)了說(shuō)：“別發(fā)愁，一定能用這塊正方形紙片裁出需要的長(zhǎng)方形紙片．”你同意小明的說(shuō)法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？【變式13-7】（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度比為4：3，面積為612cm2．請(qǐng)問(wèn)在此長(zhǎng)方形內(nèi)沿著AB邊并排最多能裁出多少個(gè)面積為16πcm2的圓？并計(jì)算說(shuō)明．七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第六章實(shí)數(shù)》本章知識(shí)綜合運(yùn)用三個(gè)三個(gè)概念●●1、算術(shù)平方根與平方根：◆◆算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.表示方法：a的算術(shù)平方根記作：，讀作:“根號(hào)a”.◆◆平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說(shuō)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為，正數(shù)a的負(fù)的平方根，可以表示為-.正數(shù)a的平方根可以用±表示，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”．●●2、立方根：◆◆立方根的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆◆立方根的表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“”表示，讀作“三次根號(hào)a”，其中a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù).●●3、實(shí)數(shù)：◆◆1、實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).◆◆2、實(shí)數(shù)的分類：（1）按定義分類．（2）按性質(zhì)分類.三個(gè)三個(gè)性質(zhì)●●1、平方根的性質(zhì)：①正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.●●2、立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)，即.②.●●3、實(shí)數(shù)的性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣．一個(gè)一個(gè)運(yùn)算●●實(shí)數(shù)的運(yùn)算◆◆題型一題型一平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念【例題1】（2022春?信陽(yáng)期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．4=±2C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1【分析】根據(jù)平方根的意義、立方根的意義，可得答案．【解答】解：A、0.09的平方根是±0.3，故A不符合題意；B、4=2，故BC、0的立方根是0，故C符合題意；D、1的立方根是1，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，利用平方根的意義、立方根的意義是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉1、一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.2、一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根.3、一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.【變式1-1】（2022春?合肥期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一個(gè)平方根 D．算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1【分析】根據(jù)立方根的定義和求法，平方根的定義和求法，以及算術(shù)平方根的定義和求法，逐項(xiàng)判定即可．【解答】解：A、3的平方根是±3，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、﹣1的立方根是﹣1，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、0.1是0.01的一個(gè)平方根，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的定義，平方根的定義，以及算術(shù)平方根的定義．【變式1-2】（2022秋?雞澤縣期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算術(shù)平方根是±7；③127的立方根是1④116的平方根是1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)立方根、平方根和算術(shù)平方根的定義分別對(duì)每小題進(jìn)行分析，即可得出答案．【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，原說(shuō)法正確；②49的算術(shù)平方根是7，原說(shuō)法錯(cuò)誤；③127的立方根是1④116的平方根是±1正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方根、平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握立方根、平方根和算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?右玉縣期末）(?1A．?14 B．14 C．±【分析】先根據(jù)乘方的定義得出（?14）2【解答】解：∵（?14）2∴(?14)故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的概念．【變式1-4】（2022春?隴縣期末）﹣8的立方根與4的算術(shù)平方根的和是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．0或﹣4【分析】分別利用立方根的定義和算術(shù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵﹣8的立方根為﹣2，4的算術(shù)平方根為2，∴﹣8的立方根與4的算術(shù)平方根的和為：﹣2+2＝0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查立方根的定義及算術(shù)平方根的定義，比較簡(jiǎn)單．【變式1-5】（2022秋?東明縣校級(jí)期末）若4是（8+a）的一個(gè)平方根，則a的立方根是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵4是（8+a）的一個(gè)平方根，∴8+a＝16即a＝8，∴a的立方根是38故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定義是關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?東平縣期末）兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，前一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是x，則后一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C．x+1 D．x【分析】先求出這個(gè)數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義再求出它的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，∴這個(gè)自然數(shù)是x2，下一個(gè)自然數(shù)是x2+1，∴下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是：x2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根的定義，先根據(jù)算術(shù)平方根求出這個(gè)數(shù)及它的下一個(gè)自然數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2021秋?永年區(qū)期末）下列說(shuō)法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算術(shù)平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平方根可以判斷①②⑥，根據(jù)立方根可以判斷③④⑤，根據(jù)算術(shù)平方根可以判斷④．【解答】解：①﹣2是4的平方根，符合題意；②16的平方根是±4，不符合題意；③﹣125的立方根是﹣5，不符合題意；④0.25的算術(shù)平方根是0.5，符合題意；⑤27125的立方根是3⑥81的平方根是±3，不符合題意；符合題意的有：①④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根和立方根，掌握算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．題型題型二平方根、算術(shù)平方根、立方根的計(jì)算【例題2】（2021秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）下列各式計(jì)算正確的是（）A．3?1=?1 B．38=±2 C．【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：A、原式＝﹣1，故本選項(xiàng)計(jì)算正確；B、原式＝2，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C、原式＝2，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；D、原式＝±3，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、求一個(gè)正數(shù)的平方根就是看哪兩個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)正數(shù)，這兩個(gè)數(shù)就是正數(shù)的平方根，其中正的那個(gè)為該數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根和平方根都是0.2、求立方根就是看哪個(gè)數(shù)的立方等于這個(gè)數(shù)，正數(shù)的立方根有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根為0，立方根為其本身的數(shù)有±1,0.【變式2-1】（2023?任城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）64的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．±4【分析】直接利用平方根的定義求解即可．【解答】解：64的平方根，即8的平方根是：±8=±22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．理解64的平方根即8的平方根是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，則a+bA．4 B．2 C．±2 D．3【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值意義和ab＜0求出a、b值，從而求出a+b值，再求出其算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵a=3∴a＝9，∵|b|＝5，∴b＝±5，∵ab＜0，∴a＝9，b＝﹣5，∴a+b＝9﹣5＝4，∴a+b的算術(shù)平方根為4=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根與絕對(duì)值，有理數(shù)乘法，熟練掌握正確求出一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋?屯留區(qū)期末）如果x=3?27，那么代數(shù)式x（x﹣5）﹣xA．15 B．5 C．﹣5 D．﹣15【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的立方根求得x＝﹣3，代入化簡(jiǎn)后的式子，即可求解．【解答】解：∵x=3∴x（x﹣5）﹣x2＝x2﹣5x﹣x2＝﹣5x＝﹣5×（﹣3）＝15，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，代數(shù)式求值，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，求得x（x﹣5）﹣x2是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）﹣27的立方根與9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6【分析】依據(jù)平方根和立方根的定義求得這兩個(gè)數(shù)，然后利用加法法則計(jì)算即可．【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根和平方根的定義，掌握立方根和平方根的定義是關(guān)鍵．【變式2-5】（2021秋?仁壽縣校級(jí)期末）已知2x﹣1和5﹣x為某實(shí)數(shù)的平方根，則x的值為（）A．﹣4 B．2 C．4或﹣2 D．﹣4或2【分析】結(jié)合平方根的性質(zhì)，分兩種情況討論，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：2x﹣1+5﹣x＝0或2x﹣1＝5﹣x，解得：x＝﹣4或x＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根，一個(gè)正數(shù)的有兩個(gè)平方根且兩個(gè)平方根的和為0，掌握分類討論思想解答是關(guān)鍵．【變式2-6】（2022春?寧國(guó)市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根（）A．±5 B．12 C．13 D．±13【分析】根據(jù)平方根，立方根的定義即可得到x、y的值，最后代入x2+y2求解，再計(jì)算出其算術(shù)平方根即可得到答案．【解答】解：∵x﹣1的平方根是±2，∴x﹣1＝4，∴x＝5，又∵2x+y+5的立方根是3，∴2x+y+5＝27，∴把x的值代入解得：2×5+y+5＝27，∴y＝12，∴x2+y2＝52+122＝169，∴x2+y2的算術(shù)平方根為169=13故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方根，立方根的概念，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義判斷出一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找答案．【變式2-7】求下列式子中的x的值：（1）18﹣2x2＝0；（2）（x+1）3+27＝0．（3）4（x﹣2）2＝49；（4）（x﹣1）3＝64．【分析】（1）直接利用平方根的定義計(jì)算得出答案；（2）直接利用立方根的定義計(jì)算得出答案．（3）直接利用平方根的定義計(jì)算得出答案；（4）直接利用立方根的定義計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）18﹣2x2＝0，則2x2＝18，故x2＝9，解得：x＝±3；（3）（x+1）3+27＝0，則（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，解得：x＝﹣4．（4）∵4（x﹣2）2＝49，∴(x?2)∴x?2=±7∴x=2±7∴x=112或（2）∵（x﹣1）3＝64，∴x﹣1＝4，∴x＝5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及平方根、立方根，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2-8】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是2x﹣3和1﹣x，31?2b與33b?5互為相反數(shù)，求a+2【分析】利用平方根的意義求出a值，利用相反數(shù)的意義求出b值，將a，b值代入代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是2x﹣3和1﹣x，∴2x﹣3+1﹣x＝0，解得：x＝2．∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，∴a＝1；∵31?2b與3∴1﹣2b+3b﹣5＝0，解得：b＝4．當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)，a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，平方根，立方根，相反數(shù)的意義，利用平方根的意義求出a值，利用相反數(shù)的意義求出b值是解題的關(guān)鍵．【變式2-9】（2022春?前郭縣月考）已知2a+1的平方根為±3，a+3b﹣3的立方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根據(jù)立方根、平方根的定義解決此題．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解決此題．【解答】解：（1）由題意得：2a+1＝9，a+3b﹣3＝64．∴a＝4，b＝21．（2）由（1）得：a＝4，b＝21．∴a+b＝4+21＝25．∴a+b的平方根為±25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根、立方根，熟練掌握平方根、立方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．題型題型三無(wú)理數(shù)的識(shí)別【例題3】（2022秋?盱眙縣期末）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的為（）A．3.1?4? B．3.1415926 C．22【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義即可判斷．【解答】解：A、3.1?B、3.1415926是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、227D、π是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是無(wú)理數(shù)，熟知無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)進(jìn)行區(qū)分時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到用根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù)；（2）π是無(wú)理數(shù)，，化簡(jiǎn)后含π的數(shù)也是無(wú)理數(shù)，判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)要抓住兩點(diǎn)：一是無(wú)限小數(shù)；二是其形式不循環(huán).【變式3-1】（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）在實(shí)數(shù)3?27，0.1.23.，π，34A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義即可求解．【解答】解：3?27所以無(wú)理數(shù)有π，34，8，3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，熟練掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春?長(zhǎng)沙期中）有下列說(shuō)法：①無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；②無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、0和負(fù)無(wú)理數(shù)；③帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；④無(wú)理數(shù)是含有根號(hào)且被開(kāi)方數(shù)不能被開(kāi)盡的數(shù)；⑤3A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類判斷．【解答】解：∵無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，∴①錯(cuò)誤．∵0是有理數(shù)，∴②錯(cuò)誤．∵4=∴③錯(cuò)誤．∵π也是無(wú)理數(shù)，不含根號(hào)，∴④錯(cuò)誤．∵33∴⑤錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的概念，掌握無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是求解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）在實(shí)數(shù)5、227、0、3?1、3.1415、16、4.21、3A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：3?1=?1，故在實(shí)數(shù)5、227、0、3?1、3.1415、16、4.21、3π、6.1010010001…（相鄰兩個(gè)1之間的0依次增加1個(gè)）中，無(wú)理數(shù)有5、3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．如π，6，0.8080080008…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式．【變式3-4】（2022秋?渭濱區(qū)期末）下列各數(shù)3.1415926，9，1.212212221…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2），15，3﹣π，﹣2023，34中，無(wú)理數(shù)有【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，“無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)是無(wú)理數(shù)”逐個(gè)分析判斷即可．【解答】解：在3.1415926，9=3，1.212212221…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2），15，3﹣π，﹣2023，3.1415926，9，151.212212221…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2），3﹣π，，34故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．【變式3-5】（2022秋?秦淮區(qū)期中）下列各數(shù)：①0.3?，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相鄰兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）是無(wú)理數(shù)的是【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：在實(shí)數(shù)①0.3?，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相鄰兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）中，無(wú)理數(shù)有故答案為：⑤⑥．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0），等有這樣規(guī)律的數(shù)．題型題型四實(shí)數(shù)的分類【例題4】（2022?將樂(lè)縣模擬）實(shí)數(shù)﹣3，?5，?A．﹣3 B．?5 C．?1【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)小于0，以及整數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：實(shí)數(shù)﹣3，?5，?故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握負(fù)數(shù)小于0，以及整數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題采用分類法解答，可先把題目中所列各數(shù)分成有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，再?gòu)挠欣頂?shù)中找整數(shù)及分?jǐn)?shù).【變式4-1】（2022春?鳳陽(yáng)縣校級(jí)期末）在0.1、π、117、2、16、?A．4 B．5 C．3 D．2【分析】利用有理數(shù)的概念，從所給的數(shù)中找出所有的有理數(shù)即可．【解答】解：∵16=4，?∴在0.1、π、117、2、16、?38數(shù)中，有理數(shù)有：0.1，117，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的分類，準(zhǔn)確找出所有的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春?靈寶市期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)解決此題．【解答】解：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋?新昌縣期中）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．?12，0，0.16，312，3，?235有理數(shù)：{…}；無(wú)理數(shù)：{…}；負(fù)實(shí)數(shù)：{…}；正分?jǐn)?shù)：{…}．【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和正分?jǐn)?shù)的概念即可得到答案．【解答】解：有理數(shù)：{?12，0，0.16，31無(wú)理數(shù)：{3，?235，π負(fù)實(shí)數(shù)：{?12，?2正分?jǐn)?shù)：{0.16，31故答案為：?12，0，0.16，313，?235，π?12，?20.16，31【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和正分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?揚(yáng)州期中）將下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的集合里．①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|?207|，⑤π2，⑥0，⑦整數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；負(fù)數(shù)集合：{…}；有理數(shù)集合：{…}；無(wú)理數(shù)集合：{…}．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類解答即可．【解答】解：整數(shù)集合：{②⑥⑧…}；分?jǐn)?shù)集合：{①③④⑦…}；負(fù)數(shù)集合：{①②④⑦…}；有理數(shù)集合：{①②③④⑥⑦⑧…}；無(wú)理數(shù)集合：{⑤…}．故答案為：②⑥⑧，①③④⑦，①②④⑦，①②③④⑥⑦⑧，⑤．【點(diǎn)評(píng)】此題考查實(shí)數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)的分類解答．【變式4-5】（2022秋?安岳縣校級(jí)月考）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：3?1、3.1415、39、?5、13、π2、﹣0.3有理數(shù)集合：{…}；無(wú)理數(shù)集合：{…}；正實(shí)數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)分為有理數(shù)、無(wú)理數(shù)．或者實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)．進(jìn)行填空．【解答】解：有理數(shù)集合：{3.1415、13、﹣0.3?、64、0、（﹣2）無(wú)理數(shù)集合：{3?1、39、?5正實(shí)數(shù)集合：{3?1、3.1415、39、13、π分?jǐn)?shù)集合：{3.1415、13、﹣0.3故答案為：3.1415、13、﹣0.3?、64、0、（﹣2）3；3?1、39、?5、π2、2.3030030003……（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加1）；3?1、3.1415、39、13【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)的定義，用到的知識(shí)點(diǎn)為：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)；無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．題型題型五實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值【例題5】（2022?新會(huì)區(qū)模擬）9的相反數(shù)和倒數(shù)分別是（）A．3，13 B．3，?13 C．﹣3，?【分析】直接利用相反數(shù)以及倒數(shù)的定義分別得出答案．【解答】解：9=3，則3的相反數(shù)和倒數(shù)分別是：﹣3，1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根以及倒數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉1、數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù).2、數(shù)a的倒數(shù)是1a(a≠0).

3、【變式5-1】（2023?龍華區(qū)一模）9的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．33 C．13 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和相反數(shù)的概念求即可．【解答】解：9=∴9的相反數(shù)是﹣3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，相反數(shù)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）實(shí)數(shù)?6A．6 B．?6 C．6 【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義解決此題．【解答】解：?6的絕對(duì)值是：6故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對(duì)值是﹣5 B．任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù) C．任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是1【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：A、5的絕對(duì)值是5，不符合題意；B、0沒(méi)有倒數(shù)，不符合題意；C、任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù)，符合題意；D、﹣2的倒數(shù)是?1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．絕對(duì)值是5的數(shù)是5 B．?2的相反數(shù)是±2C．1?2的絕對(duì)值是2?1 D．【分析】利用絕對(duì)值的意義，立方根，相反數(shù)的意義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)作出判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵絕對(duì)值是5的數(shù)是5或?5∴A選項(xiàng)的結(jié)論不正確；∵?2的相反數(shù)是2∴B選項(xiàng)的結(jié)論不正確；∵1?2的絕對(duì)值是2∴C選項(xiàng)的結(jié)論正確；∵3?8∴3?8∴D選項(xiàng)的結(jié)論不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，立方根，相反數(shù)的意義，正確利用絕對(duì)值的意義，立方根，相反數(shù)的意義進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2022?南京模擬）下列各數(shù)中，它的相反數(shù)與它的絕對(duì)值不相等的是（）A．0 B．?2 C．π D．【分析】根據(jù)絕對(duì)值和相反數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A.0的相反數(shù)是0，0的絕對(duì)值是0，故A不符合題意；B.?2的相反數(shù)是2，?2的絕對(duì)值是2，故C．π的相反數(shù)是﹣π，π的絕對(duì)值是π，故C符合題意；D.3?8=?2，﹣2的相反數(shù)是2，﹣2的絕對(duì)值是2，故故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值和相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的意義，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．【變式5-6】（2022秋?屯留區(qū)期末）與|2?7A．7?2 B．2?7 C．2+7【分析】利用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)即可求解．【解答】解：∵2?7∴|2?7故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值化簡(jiǎn)，正確理解絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．【變式5-7】（2022秋?武義縣期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．?9與327 B．3?8與?38 C．|?2|【分析】利用相反數(shù)的定義判斷．【解答】解：A、∵?9=?3，∴?9與327互為相反數(shù)，∵3?8=?2，∴3?8=?3|?2|=2，∵3?8∴2與3?8不是互為相反數(shù)，D故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．【變式5-8】已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，則?3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【分析】直接利用倒數(shù)的定義以及相反數(shù)的定義分別分析得出答案．【解答】解：∵a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，∴ab＝1，c+d＝0，則?3＝﹣1+0+1＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．題型題型六實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系【例題6】（2023?泰山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）實(shí)數(shù)m，n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．|m|＞1 B．1﹣m＜1 C．mn＜0 D．m+1＜0【分析】由圖可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1．根據(jù)絕對(duì)值的定義、不等式的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算解決本題．【解答】解：由圖可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1，|m|＞n，A．由圖知：|m|＞1，故A不符合題意．B．由圖知：1﹣m＞1，故B符合題意．C．由圖知：mn＜0，故C不符合題意．D．由圖知：m+1＜0，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)，熟練掌握絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).2、與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.【變式6-1】（2022秋?南安市期末）如圖，5在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【分析】5在2到3之間，故找2與3之間的點(diǎn)即可．【解答】解：4＜即2＜5故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸與實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是會(huì)用夾逼法求5的范圍．【變式6-2】則下列選項(xiàng)中可能被覆蓋住數(shù)是（）A．3 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)3、5、6、7的大小即可．【解答】解：數(shù)軸被墨跡污染的數(shù)介在1與2之間，∵12＝1，22＝4，32＝9，∴1＜3＜2，2＜5＜3，2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式6-3】（2022秋?江北區(qū)期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列說(shuō)法一定正確的是（）A．a(chǎn)+b＜0 B．|a|＞|b| C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)b＜0【分析】有數(shù)軸可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，有運(yùn)算法則可知，ab＜0．【解答】解：有數(shù)軸可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則可得，∴a+b＞0，a﹣b＜0，ab＜0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出隱含條件a＜0，b＞0，|a|＜|b|．【變式6-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上數(shù)表示2，5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B、C，B是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)（）A．?5 B．2?5 C．4?5【分析】設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是a，求出BC之間的距離，求出AB，即可得出關(guān)于a的方程，求出即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是a，∵在數(shù)軸上數(shù)表示2，5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B、C，∴B、C之間的距離是BC=5∵B是AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC=5∵B點(diǎn)表示的數(shù)是2，A點(diǎn)表示的數(shù)是a，∴2﹣a=5解得：a＝4?5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：在數(shù)軸上AB之間的距離是AB＝|xA﹣xB|．【變式6-5】（2022秋?常德期末）如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度線段為邊長(zhǎng)作一個(gè)正方形，以表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A、B，則點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是（）A．?2，2 B．2?1，2+1 C．1?2，1【分析】先根據(jù)勾股定理求出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式為：兩點(diǎn)間的距離＝較大的數(shù)﹣較小的數(shù)，便可求出1和A之間的距離，進(jìn)而可求出點(diǎn)A表示的數(shù)．【解答】解：數(shù)軸上正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：12+12=∴點(diǎn)A表示的數(shù)是1?2；點(diǎn)B表示的數(shù)為1+故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，本題需注意：知道數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，求較小的數(shù)，就用較大的數(shù)減去兩點(diǎn)間的距離．【變式6-6】（2022秋?吉州區(qū)期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）填空：a0，b0，c0（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）直接寫(xiě)出|a﹣c|＝，|a﹣b|＝，|1﹣b|＝；（3）化簡(jiǎn)：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸得出答案即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（3）先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）由數(shù)軸可得，∴a＞0，b＞0，c＜0，故答案為：＞，＞，＜；（2）由（1）知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，1﹣b＜0，∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|1﹣b|＝b﹣1，故答案為：a﹣c，b﹣a，b﹣1；（3）由數(shù)軸可得，a﹣c＞0，1﹣c＞0，a﹣b＜0，原式＝（a﹣c）﹣2（1﹣c）﹣（a﹣b）＝a﹣c﹣2+2c﹣a+b＝c+b﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)數(shù)軸得出c＜0＜a＜b和|c|＜|a|＜|b|是解此題的關(guān)鍵．【變式6-7】（2022?南京模擬）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A，B表示數(shù)1和2．點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離相等，設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x．（1）請(qǐng)你求出數(shù)x的值．（2）若m為(x?2)的相反數(shù)，n為（x﹣2）的絕對(duì)值，求m+【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求出AB之間的距離即為x的值；（2）根據(jù)題意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是1和2，∴AB=2∴OC=AB=2∴點(diǎn)C表示的數(shù)x=2（2）由（1）知x=2∴x?2=2∴m＝﹣（﹣1）＝1，n=|2∴m+n=1+3?2∵1＜2＜4，∴1＜2∴2＜4?2∴4?2的整數(shù)部分為2，其立方根為3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，相反數(shù)和絕對(duì)值，正確估算1＜2＜2及2＜4題型題型七實(shí)數(shù)的非負(fù)性的應(yīng)用【例題7】（2022春?宣化區(qū)期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017【分析】非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0，由此即可計(jì)算．【解答】解：∵a+2+|b∴a+2＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0．解題技巧提煉算術(shù)平方根a具有雙重非負(fù)性,即被開(kāi)方數(shù)a≥0且a≥0，a中隱含條件a≥0要靈活運(yùn)用.2、幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于零，據(jù)此得出關(guān)于字母的方程，運(yùn)用方程思想求相關(guān)字母的值.【變式7-1】（2022春?拜泉縣校級(jí)月考）已知a?2+（b+5）2+|c+1|＝0，則a+b﹣cA．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、二次方的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性求出a、b、c的值，然后再代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵a?2+(b+5∴a?2=0b+5=0解得：a=2b=?5∴a+b﹣c＝2+（﹣5）﹣（﹣1）＝2﹣5+1＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，涉及到求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，二次方的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性，根據(jù)題意求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2021春?涼州區(qū)校級(jí)期中）若|x?3+1|（1）求x，y的值；（2）求x2+2x﹣3y的值．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值；（2）代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵|x?3+1|∴x?3+1＝0，即x=3?1，（2）當(dāng)x=3?1，x2+2x﹣3y＝（3?1）2+2×（3＝3﹣23+1+23＝﹣4，即x2+2x﹣3y的值為﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握絕對(duì)值、算術(shù)平方根的非負(fù)性是正確解答的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知（a﹣16）2+b?27+|c﹣2|＝0，求代數(shù)式（a?【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b，c的值，進(jìn)而代入求出答案．【解答】解：∵（a﹣16）2+b?27+|∴a﹣16＝0，b﹣27＝0，c﹣2＝0，解得：a＝16，b＝27，c＝2，∴（a?3＝（16?3＝（4﹣3）2＝1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．【變式7-4】（2022?長(zhǎng)陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知a，b滿足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵a+1+|b∴a+1＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴a2012+b2013+4＝1+1+4＝6，∴a2012+b2013+4的平方根為±6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】2x2?6|+(y+1)2?4=0，且x【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x2＝3，y＝﹣3，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵|2x2?6|+(y+1)2∴2x2﹣6＝0，（y+1）2﹣4＝0，解得：x2＝3，y＝﹣3，故x2﹣3y＝3﹣3×（﹣3）＝3+9＝12．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出x2，y的值是解題關(guān)鍵．【變式7-6】（2021春?西峰區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)a，b滿足（a﹣2021）2+2020?b=0，求a﹣【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)平方根的定義即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a﹣2021＝0，2020﹣b＝0，∴a＝2021，b＝2020，∴a﹣b＝2021﹣2020＝1，∴a﹣b的平方根是±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值．題型題型八實(shí)數(shù)的大小比較【例題8】（2023?佛山開(kāi)學(xué)）對(duì)于下列實(shí)數(shù)3，π﹣1，22，3大小排列正確的是（）A．3＜22＜π﹣1＜3B．πC．3＜π?1＜22＜3【分析】求出各無(wú)理數(shù)的近似值，再比較大小即可．【解答】解：∵π≈3.14，∴π﹣1≈2.14；∵2≈1.41，3∴22≈∵3＞2.82＞2.14＞1.7，3，∴3＜π﹣1＜22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，熟記各無(wú)理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉常用的實(shí)數(shù)大小比較的方法：正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù)；兩個(gè)正實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小.（2）平方法：兩數(shù)平方后再比較大?。唬?）作差法：通過(guò)相減判斷得到的差的正負(fù)來(lái)比較大?。唬?）用中間量法比較大小，先找個(gè)中間量幫助比較出兩個(gè)同分母的分?jǐn)?shù)的分子的大小，從而確定它們的大小.【變式8-1】（2022秋?南召縣期末）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A．﹣3 B．?3 C．﹣π D．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可．【解答】解：?3≈?1.73，﹣π≈﹣3.14，∵3.14＞3＞2＞1.73，∴﹣3.14＜﹣3＜﹣2＜﹣1.73，即﹣π＜﹣3＜3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，熟知兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022秋?長(zhǎng)沙期末）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．2 B．0 C．﹣4 D．π【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于0即可得出答案．【解答】解：∵﹣4＜0＜2＜∴最大的數(shù)是π，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，掌握2≈1.414，π【變式8-3】（2022秋?鄞州區(qū)期末）比較大?。?35【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，故可比較．【解答】解：∵5＞∴5＞故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【變式8-4】（2022秋?沈丘縣期末）比較大小：1022【分析】利用平方運(yùn)算比較10與22的大小，即可解答．【解答】解：∵（10）2＝10，（22）2＝8，∴10＞8，∴10＞22故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握平方運(yùn)算比較大小是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022秋?衡東縣期末）比較下列實(shí)數(shù)的大?。??12【分析】由算術(shù)平方根的含義可得2736＞25【解答】解：∵2736＞25∴32∴3?1故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是無(wú)理數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根的含義，掌握無(wú)理數(shù)的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式8-6】（2023?西湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“＜”號(hào)把它們連接起來(lái)．?12，﹣3，|﹣2|，【分析】將這些數(shù)表示在數(shù)軸上表示出來(lái)，根據(jù)數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大即可寫(xiě)出答案．【解答】解：∵|﹣2|＝2，94將這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所示出來(lái)（如下圖）：∴這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為：?3＜?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，數(shù)軸與實(shí)數(shù)，掌握數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．【變式8-7】對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b，c，且b＜c，則ba（1）5?14與14；（2）7【分析】（1）與5接近的兩個(gè)平方數(shù)是4與9，接下來(lái)根據(jù)5＞4=（2）與7接近的兩個(gè)平方數(shù)是4與9，接下來(lái)根據(jù)7＜9=【解答】解：（1）因?yàn)?＞4=2，故5（2）因?yàn)?＜9=3，故7+1＜4，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)大小的估算方法．【變式8-8】比較下列各組數(shù)的大?。?）16與255；（2）32與1；（3）5【分析】（1）根據(jù)平方法進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較即可；（2）根據(jù)作差法進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較即可；（3）根據(jù)作差法進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較即可．【解答】解：（1）因?yàn)?62＝256，256＞255，所以16＞255（2）因?yàn)?2?13＜4，所以3＜所以3?2所以32（3）∵5?12?5＞4，∴5＞∴5?2∴5?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．【變式8-9】設(shè)a=3?12，b=12，（1）比較a與b兩個(gè)數(shù)的大??；（2）求|a﹣b|+c?d【分析】（1）先估算出3的范圍，再變形，即可得出答案；（2）先代入，再求出即可．【解答】解：（1）∵3＜4，∴3＜2∴3?1＜1∴3?1即a＜b；（2）∵a=3?12，b=12，∴原式＝|3?12=2?＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，能估算出3的大小和正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是解此題的關(guān)鍵．題型題型九實(shí)數(shù)的規(guī)律問(wèn)題【例題9】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）若6≈2.449，60≈7.746，則0.006≈【分析】根據(jù)“一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮小）100倍，10000倍……，其算術(shù)平方根就擴(kuò)大（或縮?。?0倍，100倍……”進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵60≈∴0.006=故答案為：0.07746．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根，掌握“一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮小）100倍，10000倍……，其算術(shù)平方根就擴(kuò)大（或縮?。?0倍，100倍……”是正確解答的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)向左（右）移動(dòng)一位.2、利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)向左（右）移動(dòng)一位.【變式9-1】（2022春?香洲區(qū)校級(jí)期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，則3【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵30.3∴3300故答案為：6.694．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了立方根，理解題意掌握立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022春?呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，則【分析】利用立方根特征求解．【解答】解：因?yàn)楦笖?shù)是3，所以被開(kāi)方數(shù)需要三位三位地移動(dòng)，立方根是一位一位地移動(dòng)，故答案為：63.29．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根的性質(zhì)，理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022春?梁平區(qū)期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵31.12∴31120故答案為：10.38．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了立方根，解題的關(guān)鍵是掌握小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)的規(guī)律．【變式9-4】（2022春?綦江區(qū)校級(jí)月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，3