專題2.7等腰三角形的軸對(duì)稱性（3）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)題典（原卷版）

【講練課堂】20222023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.7等腰三角形的軸對(duì)稱性（3）：直角三角形【名師點(diǎn)睛】1.含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．2.直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．【典例剖析】【例1】（2021秋?京口區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．【變式1】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的長(zhǎng)．【例2】（2022春?邗江區(qū)期末）如圖1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．直線EH與直線AC相交于點(diǎn)F．設(shè)∠AEH＝α，∠ADC＝β．（1）求證：∠EFC＝∠FEC；（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，則α＝，β＝；②試探究α與β的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若將“D是BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)”改為“D是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出α與β的關(guān)系．【變式2】（2021秋?邗江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長(zhǎng)7cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為15cm，求OA的長(zhǎng)．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2018秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊為2cm，則斜邊的長(zhǎng)為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．12 B．9 C．6 D．33．（2021?蘇州模擬）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長(zhǎng)為（）A．3 B．2.5 C．2 D．15．（2018秋?武進(jìn)區(qū)校級(jí)期末）已知等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則頂角為（）A．30° B．135° C．150° D．30°或150°6．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，則AD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．4.57．（2022春?如皋市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝12，則CD的長(zhǎng)是（）A．12 B．6 C．4 D．38．（2021秋?無(wú)錫期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠CDE的大小為（）A．70° B．75° C．80° D．85°9．（2021秋?丹陽(yáng)市期末）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．則∠EBD的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．40° D．55°10．（2021秋?泰興市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、A不重合），設(shè)點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接MC、MF．若∠CBA＝50°，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠CMF的大小為（）A．80° B．100° C．130° D．發(fā)生變化，無(wú)法確定二．填空題（共8小題）11．（2022春?通州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是邊AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為．12．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝6，則CD＝．13．（2021秋?宿豫區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，AB＝8，AC＝10，則DE+DF＝．14．（2022?邳州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD＝BC，連接CD，若AC＝2，則CD的長(zhǎng)為．15．（2021秋?海門(mén)市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰長(zhǎng)為30cm，則腰AB上的高為cm．16．（2016秋?通州區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝．17．（2014秋?鹽城校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝．18．（2021秋?海門(mén)市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，點(diǎn)D在邊AC上，以BD為邊在BD左上方作等邊△BDE，若∠CBD＝45°，則點(diǎn)E到AB邊的距離為cm．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，若AC＝12．（1）求證：BD⊥BC．（2）求DB的長(zhǎng)．20．（2020秋?丹陽(yáng)市期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長(zhǎng)11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為27cm，求OA的長(zhǎng)．21．（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于點(diǎn)D，DE垂直平分AB于點(diǎn)E，DE＝3cm．求線段AC的長(zhǎng)．22．（2020秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）延長(zhǎng)AC至E，使CE＝AC，求證：DB＝DE．23．（2021秋?淮安期末）如圖，在Rt△ABC