專題05一元二次方程九種題型歸類（原卷版）

專題五一元二次方程九種題型歸類目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】一元二次方程及其解法【題型二】配方法的應(yīng)用【題型三】根的判別式【題型四】根與系數(shù)的關(guān)系【題型五】握手問題【題型六】增長率問題【題型七】面積問題【題型八】銷售問題【題型九】動點(diǎn)問題二、最新模考題組練【題型一】一元二次方程及其解法【典例分析】1.關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣32.已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．40443.解方程：（1）（2x+3）2＝（3x+2）2． （2）x2﹣2x﹣3＝0．【提分秘籍】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．解法：（1）直接開平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m＞0時，方程的解為；當(dāng)m＝0時，方程的解；當(dāng)m＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)解．（2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解．（3）公式法：對于一元二次方程，當(dāng)時，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解．【變式演練】1.解方程：（1）x（x﹣7）＝8（7﹣x）． （2）x2+4x﹣1＝0．（3）x2﹣5x+6＝02若關(guān)于x的一元二次方程x2ax+6=0的一個根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．53.若n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n=0的一個根，則m+n的值是（）A．1 B．2 C．1 D．2【題型二】配方法的應(yīng)用【典例分析】1.若實(shí)數(shù)a，b，x滿足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，則多項(xiàng)式a2+ab﹣b2的值可能為（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【提分秘籍】將一般形式的的一元二次代數(shù)式（方程），化成a(xh)2+k的形式，當(dāng)a>0時，代數(shù)式有最小值，當(dāng)a<0時，代數(shù)式有最大值。【變式演練】1.已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣72.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝x，AC＝y(tǒng)，且滿足x2+y2﹣20x﹣24y+244＝0，求△ABC的面積．【題型三】根的判別式【典例分析】1.關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣【提分秘籍】一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；△＝0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；△<0方程沒有實(shí)數(shù)根．注：△≥0方程有實(shí)數(shù)根.上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．【變式演練】1.已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或32.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．【題型四】根與系數(shù)的關(guān)系【典例分析】1.已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【提分秘籍】如果一元二次方程(a≠0)的兩個根是，那么．【變式演練】1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個不等實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1x2＝5，求k的值．2.已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化簡T；（2）若關(guān)于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．【題型五】握手問題【典例分析】1.一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手．有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手，這次會議到會的人數(shù)有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．142.2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【提分秘籍】單循環(huán)問題：12n（n1）雙循環(huán)問題：n（n1）（如互贈禮物問題）【變式演練】1.“五一”節(jié)老同學(xué)聚會，每兩個人都握一次手，所有人共握手28次，則參加聚會的人數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．102.有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后新增120個人患了流感，則每輪傳染中平均一個人傳染人的個數(shù)為（）A．10 B．11 C．60 D．123.新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有64人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，下列列式正確的是（）A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝644.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，則x為（）A．14 B．15 C．16 D．175.某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【題型六】增長率問題【典例分析】1．某農(nóng)場種植基地2021年蔬菜產(chǎn)量為100噸，預(yù)計(jì)2023年蔬菜產(chǎn)量將達(dá)到121噸.若蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率相同，則年平均增長率為（）A．210% B．10% C．5% D．10%2．隨著“二胎政策”出生的孩子越來越大，紛紛到了入學(xué)年齡，某校2021年學(xué)生數(shù)比2020年增長了8.5%，2022年新學(xué)期開學(xué)統(tǒng)計(jì)，該校學(xué)生數(shù)又比2021年增長了9.6%，設(shè)2021、2022這兩年該校學(xué)生數(shù)平均增長率為x，則x滿足的方程是（）A．2x=8.5C．2(1+x)2【提分秘籍】增長問題：原量（x+1）2=增長后的量下降問題：原量（x1）2=下降后的量【變式演練】1.某公司今年4月份的營業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃5、6月份總營業(yè)額要達(dá)到6600萬元，設(shè)該公司5、6兩個月的營業(yè)額的月平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．2500(1+x)2=6600 C．2500(1+x)2.某商場將進(jìn)貨價(jià)火為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2，3兩個月的銷售量月平均增長率不變.（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價(jià)促銷.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價(jià)每降價(jià)0.5元，其銷售量增加6個.這種臺燈售價(jià)定為多少時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元？【題型七】面積問題【典例分析】1.如圖，在寬為20m、長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要504m2，則修建的路寬應(yīng)為（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m2.如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，綠化后一邊減少了3m，另一邊減少了2m，剩余面積為30m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長為（）A．6m B．7m C．8m D．9m【提分秘籍】歸邊法：將“路”歸再一起，形成整體（規(guī)則圖形）面積，利用含x的代數(shù)式表示長與寬，再表示出面積即可?！咀兪窖菥殹?.為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價(jià)值觀和良好的勞動品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．2.改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？3.如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm，在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子．（1）當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2？（2）所得長方體盒子的側(cè)面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．4.2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動教育》成為一門獨(dú)立的課程，官渡區(qū)某學(xué)校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為22米），用長為34米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個寬1米的小門，供同學(xué)們進(jìn)行勞動實(shí)踐，若設(shè)菜地的寬AB為x米．（1）BC＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若圍成的菜地面積為96平方米，求此時的寬AB．【題型八】銷售問題【典例分析】1.某服裝銷售商用48000元購進(jìn)了一批時髦服裝，通過網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行銷售，由于行情較好，第二次又用100000元購進(jìn)了同種服裝，第二次購進(jìn)數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，每件的進(jìn)價(jià)多了10元．（1）該銷售商第一次購進(jìn)了這種服裝多少件，每件進(jìn)價(jià)多少元？（2）該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若按每件300元銷售，每天平均能賣出80件，銷售價(jià)每降低10元，則多賣出20件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3600元，銷售價(jià)應(yīng)為多少？2.某經(jīng)銷商以每件280元的價(jià)格購進(jìn)某種型號的學(xué)習(xí)機(jī)，以每件360元的售價(jià)銷售時，每月可售出60個，為了擴(kuò)大銷售，該經(jīng)銷商采取降價(jià)的方式促銷，在銷售中發(fā)現(xiàn)，如果每個學(xué)習(xí)機(jī)降價(jià)10元．那么每月就可以多售出50個．（1）求銷售量y（個）與售價(jià)x（元）的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）經(jīng)銷商銷售這種學(xué)習(xí)機(jī)每月的利潤要達(dá)到7200元，且盡可能讓利于顧客，求每個學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)應(yīng)降為多少元？（3）如果采用降價(jià)的方式銷售，該銷售商每月的利潤能否達(dá)到10600元．如果能，請求出相應(yīng)的售價(jià)；如果不能，請說明理由．【提分秘籍】其中的幾個關(guān)系式：利潤＝售價(jià)成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤率＝×100%．【變式演練】1.近年來，故宮不斷推陳出新，將文化底蘊(yùn)和流行時尚元素融合，設(shè)計(jì)出了眾多的爆款文創(chuàng)產(chǎn)品，600歲的故宮成為新晉網(wǎng)紅，小趙看到了商機(jī)，打算采購一批故宮文創(chuàng)商品進(jìn)行銷售，他以每條45元的價(jià)格購進(jìn)150條編織紅繩手鏈，再以每條65元賣出，結(jié)果編織紅繩手鏈很受歡迎，銷售一空，于是小趙準(zhǔn)備購進(jìn)第二批編織紅繩手鏈．（1）若第二次購進(jìn)的編織紅繩手鏈成本是每條40元，售價(jià)不變且全部賣完，要使兩次銷售的手鏈總利潤不低于14250元，那么第二次至少得購進(jìn)多少條編織紅繩手鏈？（2）在第二次銷售中，小趙按照（1）中的最低數(shù)量購進(jìn)編織紅繩手鏈，由于市場受限，編織紅繩手鏈購進(jìn)成本比預(yù)計(jì)的40元多，為保證利潤，小趙將售價(jià)提高m%，在銷售過程中，因質(zhì)量問題，有的編織紅繩手鏈下架不售賣，結(jié)果第二次銷售的獲利比第一次銷售的獲利多了8250元，求m的值．2.（2023?瀘縣校級一模）某商場以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場銷售這種商品每天獲利w（元）．（1）求y與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）該商場規(guī)定這種商品每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于38元，商品要想獲得600元的利潤，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？3.2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）冬奧會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【題型八】動點(diǎn)問題【典例分析】1.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BA向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨即停止．當(dāng)四邊形APQC的面積為11cm2時，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為（）A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s【提分秘籍】用未知數(shù)表示各個邊長，再應(yīng)用相關(guān)公式，正確列出一元二次方程?！咀兪窖菥殹?.△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代數(shù)式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止移動．問點(diǎn)P運(yùn)動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8cm2？3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，動點(diǎn)P以2m/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，B→A→C向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以1ms的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B向終點(diǎn)B移動，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t．（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，當(dāng)t為何值時，S△PCQ＝4；（2）當(dāng)PC＝CQ時，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，求△PCQ的面積．4.如圖，在長方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以1cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)，沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．（1）兩動點(diǎn)運(yùn)動幾秒時，四邊形PBCQ的面積是長方形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻，使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為cm？若存在，求出該時刻；若不存在，請說明理由．一．選擇題1．（2023?中原區(qū)校級一模）關(guān)于一元二次方程x2+3x＝4根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定2．（2023?伊川縣一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根3．（2023?河北區(qū)一模）方程x2+7x+12＝0的兩個根為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝44．（2023?衡水模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+b+2＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y＝x+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限?5．（2023?白堿灘區(qū)一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，則k的取值范圍是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≥46．（2023?越秀區(qū)校級一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有兩個相等實(shí)數(shù)根，則的值是（）A．4 B．±2 C．2 D．7．（2023?漢陽區(qū)校級模擬）若實(shí)數(shù)m，n滿足條件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，則的值是（）A．2 B．﹣4 C．﹣6 D．2或﹣68．（2023?沛縣校級一模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2023?虎林市校級一模）某種植物的主干長出若干為數(shù)目的支干，每個支干又長出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是21，則每個支干長出小分支的個數(shù)是（）A．6 B．4 C．3 D．510．（2023?平房區(qū)一模）華海中學(xué)初三學(xué)年舉行籃球比賽，要求參賽的每兩個隊(duì)之間都要比賽一場，若每天安排3場比賽，共需要5天，設(shè)初三學(xué)年有n個球隊(duì)，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．n（n+1）＝3×5 B．n（n﹣1）＝3×5 C． D．11．（2023?荔灣區(qū)一模）已知方程x2﹣2023x+1＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為（）A．1 B．2023 C．﹣1 D．﹣2023二．填空題12．（2023?商河縣一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0有一個根為0，則a的值等于．13．（2023?高新區(qū)校級模擬）某商店經(jīng)銷一批小家電，每個小家電成本40元，經(jīng)市場預(yù)測，定價(jià)為50元時，可銷售200個，定價(jià)每增