2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（配湘教版）教學(xué)課件 4.3.2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則課標(biāo)要求1.理解對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,并能運(yùn)用運(yùn)算法則化簡(jiǎn)、求值.2.知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).3.能運(yùn)用運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)和證明.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則條件a>0且a≠1,M>0,N>0法則(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)logaMN=NlogaM(N∈R)(3)loga=logaM-logaN名師點(diǎn)睛1.逆向應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式,有利于化簡(jiǎn).2.對(duì)于每一條運(yùn)算法則,都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)與log2(-3)均不存在,不能寫(xiě)成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).3.法則(1)可以推廣到真數(shù)為無(wú)限多個(gè)正因數(shù)相乘的情況,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N+.過(guò)關(guān)自診用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lg(x2yz3);解

lg(xyz)=lg

x+lg

y+lg

z.解

lg(x2yz3)=lg

x2+lg

y+lg

z3=2lg

x+lg

y+3lg

z.知識(shí)點(diǎn)二兩種特殊的對(duì)數(shù)名稱(chēng)定義常用對(duì)數(shù)將以

為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù),并且把log10N記為

自然對(duì)數(shù)將以e(e=2.71828…)為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù),并且把logeN記作

10lgNlnN過(guò)關(guān)自診計(jì)算下列各式的值:(1)lg100=

;

(3)lg2+lg5=

;

(4)elnπ=

.

2-41π知識(shí)點(diǎn)三對(duì)數(shù)換底公式名師點(diǎn)睛1.換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.2.換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同底問(wèn)題進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來(lái)確定,一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù).過(guò)關(guān)自診計(jì)算:(1)log2781;(2)log1625·log58;(3)logab·logba(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例1】

計(jì)算下列各式的值:解

原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.規(guī)律方法

對(duì)于底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值常用的方法(1)“收”,將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差).對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg

2+lg

5=1在計(jì)算對(duì)數(shù)值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到,同時(shí)注意各部分變形要化到最簡(jiǎn)形式.變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值:探究點(diǎn)二換底公式的應(yīng)用【例2】

計(jì)算下列各式的值:(1)log89×log2732;規(guī)律方法

1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對(duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),解決一般對(duì)數(shù)的求值問(wèn)題.2.利用換底公式計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值的一般思路:變式訓(xùn)練2計(jì)算:(1)log23×log36×log68;(2)(log23+log43)×(log32+log274).探究點(diǎn)三有附加條件的對(duì)數(shù)求值問(wèn)題解

∵6x=5y=a(a>0),∴xlg

6=lg

a,ylg

5=lg

a.解

設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴l(xiāng)g

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.變式探究

證明

設(shè)3x=4y=6z=m(m>0),則x=log3m,y=log4m,z=log6m.規(guī)律方法

條件求值問(wèn)題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問(wèn)題,需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對(duì)數(shù),以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化進(jìn)行解題.探究點(diǎn)四換底公式在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】

分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對(duì)大小的單位.物理學(xué)家引入了聲壓級(jí)來(lái)描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測(cè)量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對(duì)數(shù)后乘20得到的數(shù)值稱(chēng)為聲壓級(jí).聲壓級(jí)是聽(tīng)力學(xué)中最重要的參數(shù)之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無(wú)害區(qū),說(shuō)明聲音環(huán)境優(yōu)良,60~110為過(guò)渡區(qū),110以上為有害區(qū).(1)試列出分貝y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式.(2)某地聲壓P=0.002帕,則該地為以上所說(shuō)的什么區(qū)?聲音環(huán)境是否優(yōu)良?(3)假若某精彩的文藝節(jié)目引起了觀眾多次響亮的掌聲,某記者用儀器測(cè)得其中一次掌聲的音量達(dá)到了90分貝,試求此時(shí)會(huì)場(chǎng)內(nèi)的聲壓是多少.由已知條件知40分貝小于60分貝,所以此地為噪音無(wú)害區(qū),聲音環(huán)境優(yōu)良.所以P=104.5P0=104.5×2×10-5=2×10-0.5≈0.63(帕),即此時(shí)會(huì)場(chǎng)內(nèi)的聲壓約是0.63帕.規(guī)律方法

解決對(duì)數(shù)應(yīng)用題的一般步驟變式訓(xùn)練3一臺(tái)機(jī)器原價(jià)20萬(wàn)元,由于磨損,該機(jī)器每年比上一年的價(jià)值降低8.75%,問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬(wàn)元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解

設(shè)經(jīng)過(guò)x年,這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬(wàn)元,則8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,所以約經(jīng)過(guò)10年這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬(wàn)元.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.下列等式成立的是(

)A.log2(8-4)=log28-log24C.log2(8+4)=log28+log24D.log223=3log22D123456解析

∵log2(8-4)=log24=2,log28-log24=3-2=1,∴l(xiāng)og2(8-4)≠log28-log24,故A錯(cuò)誤;∵log2(8+4)=log212,log28+log24=log232,∴l(xiāng)og2(8+4)≠log28+log24,故C錯(cuò)誤;由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得log223=3log22,故D正確.故選D.1234562.已知m=lg2,n=lg3,用m,n表示lg15=(

)A.1+m+n B.1-m+nC.1+m-n D.1-m-nB解析

lg

15=lg(3×5)=lg

3+lg

5=lg

3+(1-lg

2)=n+(1-m)=1-m+n,故選B.

1234563.log52×log425等于(

)C1234564.已知3a=2,用a表示log34-log36=

.

a-1解析

∵3a=2,∴a=log32,∴l(xiāng)og34-log36=log322-log3(2×3)=2log32-log32-log33=a-1.1234565.已知方程x2+xlog26+log23=0的兩根為α和β,則α+β=