2021年高中數(shù)學第三章 學案新人教A版選修1-2

第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程X2+1=O是無能為力的，只有把實數(shù)集擴充到復數(shù)

集上才能解決，可是，歷史上引進虛數(shù)，把實數(shù)集擴充到復數(shù)集可不是件容易的事.

16世紀意大利米蘭學者卡當（1501?1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公

布了三次方程的一般解法（“卡當公式”），他把10分成兩部分，使它們的乘積等于40,即

（5+、-15）（515）=40,盡管他認為（5+、-15）和（5—7一15）這兩個表示式是沒有意義

的、想象的、虛無縹緲的.法國數(shù)學家笛卡兒（1596?1650）在《幾何學》中使用“虛的數(shù)”

與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來.但這引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學

家都不承認虛數(shù).然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間的考驗，并最終占有一席之地.許

多數(shù)學家經(jīng)過長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領(lǐng)域游蕩了200

年的“幽靈”——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛.虛數(shù)成為

數(shù)系大家庭中的一員，從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集.

同學們，你想了解復數(shù)的初步知識嗎？那就讓我們步入本章的學習吧！

隨著科學和技術(shù)的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)

展有著極其重要的意義，而且在系統(tǒng)分析、信號分析、量子力學、電工學、應(yīng)用數(shù)學、流體

力學、振動理論、機翼理論等方面得到了廣泛應(yīng)用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的

威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù).

3.1救余的步充和復數(shù)的機念

3.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

自主預(yù)習?探新知

V

2018年8月，希望工程舉行中學生夏令營，來到海濱城市青島.一天，張明與王華面

對著廣闊的大海，有一番耐人尋味的對話.

張明：海納百川，心闊容海.海、心孰大？

王華：夸張的手法，不可比較.

張明：那么數(shù)"，"可否比較大?。?/p>

王華：未必.

同學們，你能準確回答張明的問題嗎？

V

新知導學

1.復數(shù)的定義：形如“+6i(a、&GR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=

-1.

全體復數(shù)構(gòu)成的集合叫做.復數(shù)集一.

2.復數(shù)的代數(shù)表示：復數(shù)通常用字母z表示，BPz=a+hi(a.b^R),這一表示形式叫

做復數(shù)的代數(shù)形式，。與。分別叫做復數(shù)z的一實部_與一虛部一.

3.復數(shù)相等的充要條件

設(shè)a、b、c、d都是實數(shù)，那么a+bi=c+dioa=c且Z?=d__.

4.復數(shù)z=a+bi(a、&WR),z=0的充要條件是a=0口一1=0,a=0是z為純虛數(shù)

的必要不充分條件.

5.復數(shù)的分類

a=0

(1)復數(shù)z=a+bi(a,Z?GR),z為實數(shù)06=0,z為虛數(shù)z為純虛數(shù)合

b中。

(2)集合表示:

預(yù)習自測

1.復數(shù)2—3i的虛部是(B)

A.3B.13

C.3iD.-3i

［解析］復數(shù)2—3i的虛部為一3,故選B.

2.設(shè)機WR,復數(shù)z=7??—l)i表示純虛數(shù)，則〃7的值為(B)

A.1B.-1

C.±1D.0

加2—1=0

［解析］由題意得，,m=—\,

加一1W0

3.(2020?浙江，2)已知a￡R,若。一1+(〃-2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則〃=(C)

A.1B.-1

C.2D.-2

［解析］:。一l+(〃-2)i是實數(shù)，

ci―2=0,?.a=2.

-1

4.若(x+2y)i=2r—1,則實數(shù)x,＞的值分別為4

［解析］,：(x+2)，)i=2x-l,

f2x-l=0x=2

1

-

4

5.實數(shù)k為何值時，復數(shù)z=(M—3Z—4)+(R—5%—6)i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)?

(4)零?

［解析］(1)當斤一5k—6=0,即4=6或k=一1時，z是實數(shù).

(2)當斤一5%—6/0,即上#6且％#—1時，z是虛數(shù).

^-3^-4=0

⑶當好_5-6切'即％=4時，z是純虛數(shù).

3_34一4=0

{―?！碤T時，z”

互動探究?攻重難

互動探究解疑

命題方向?

復數(shù)的概念

■典例1判斷以下命題是否正確：

(1)復數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；

(2)兩個復數(shù)一定不能比較大??；

(3)復數(shù)m+"i中,實部和虛部分別是〃?和"；

(4)在復數(shù)a+6i(a,〃GR)中，若則〃+歷一定不是純虛數(shù)；

(5)滿足/=—1的數(shù)x只能是i；

(6)若〃GR,則復數(shù)(a+2)i是純虛數(shù).

［解析］(1)不正確.復數(shù)是由實數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成的，虛數(shù)中包含純虛數(shù).

(2)不正確.復數(shù)不一定能比較大小，當兩個復數(shù)都是實數(shù)時，它們就可以比較大小.

(3)不正確.對于復數(shù)w+”i,由于沒有條件um,〃GR"，所以其實部和虛部不一定等

于m和n.

(4)正確.在復數(shù)“+慶(a,6GR)中，只要〃W0,不論/>=0還是力WO,它一定不是純

虛數(shù).

(5)不正確.滿足/=—1的數(shù)x=±i.

(6)不正確.當。=-2時，復數(shù)(a+2)i就是實數(shù)0,不是純虛數(shù)，只有當adR且

—2時，(a+2)i才是純虛數(shù).

II跟蹤練習L?

給出下列說法：①復數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；②若復數(shù)z=3/n+2〃i,則其實部

與虛部分別為3機2〃；③在復數(shù)z=x+yi(x,yCR)中，若xWO,則復數(shù)z一定不是純虛數(shù)；

④若aWR,a^O,則(4+3)i是純虛數(shù).其中正確的說法的序號是_球.

［解析］①錯，復數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).

②錯，只有當m,時，才能說復數(shù)z=3,〃+2"i的實部與虛部分別為3m,2〃.

③正確，復數(shù)z=x+yi(x,yGR)為純虛數(shù)的條件是x=0且y/0,只要xr0,則復數(shù)z

一定不是純虛數(shù).

④錯，只有當a6R,且“w—3時，（a+3）i才是純虛數(shù).

命題方向?

復數(shù)的分類

"22-m-6

典例2，〃取何實數(shù)時，復數(shù)z=”7+3一+（而—2，“-15）i.

（1）是實數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？

［思路分析］根據(jù)復數(shù)分類的標準及條件，建立關(guān)于實數(shù)機的方程或不等式（組），求解

滿足的條件.

機2-2m-15=0

［解析］（1）：Z為實數(shù),

加+3W0

m=5或"2=—3

,.\m=5.

mW—3

二當巾=5時，z是實數(shù).

機—22m—15#0

（2）：z為虛數(shù),

"1+3W0

[mW5且"3

Ai,且m#—3.

[〃?W—3

當m^5且mW—3時，z是虛數(shù).

nv一機—6=0

(3)，z為純虛數(shù)，.丁加+3#0,

“2—2加一15H0

m=3或6=—2

.?.<mW—3,???m=3或m=-2.

且加#—3

/.當m=3或m=-2時，z是純虛數(shù).

『規(guī)律方法』1.判斷一個含有參數(shù)的復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先

要保證參數(shù)值使虛數(shù)表達式有意義，其次要注意復數(shù)代數(shù)形式的條件，另外對參數(shù)值的取舍，

是取“并”還是“交”，非常關(guān)鍵，解答后進行驗算是很必要的.

2.形如歷的數(shù)不一定是純虛數(shù)，只有限定條件b￡R且bWO時，形如齒的數(shù)才是純

虛數(shù).

II跟蹤練習2_?

實數(shù)〃?取什么值時，復數(shù)（帆2—5%+6）+（加一3帆）i為：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)?

（4）零?

［解析］設(shè)z=（n?2—5/w+6）+（zw2—3/w）i.

(1)要使Z為實數(shù)，必須有

nr—3m=0,

得m=0或〃?=3,

故m=0或加=3時，z為實數(shù).

(2)要使z為虛數(shù)，必須有

〃「一3〃?W0,

得zzzWO且/刀W3,

故加W0且〃?W3時，z為虛數(shù).

［機2—3機#0

(3)要使Z為純虛數(shù)，必須有2「「八

［%/—5m+6=0

機H3且加#0

m=3或〃2=2

/.zn=2,

.?.m=2時，z為純虛數(shù).

(4)要使z=0,依復數(shù)相等的充要條件有

〃彼―5m+6=0［加=2或帆=3

.\m=3.

m2—3m=0'=0或6=3

???當〃7=3時，復數(shù)Z為零.

命題方向?

復數(shù)相等

I典例3求解下列各題:

(1)若(3x—2y)i=2一戈，求實數(shù)x,y的值；

(2)已知(/—b)+4i=6+(a—b)i,求實數(shù)。的值.

［思路分析］根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件，由實部、虛部分別相等，建立關(guān)于實數(shù)心

y或a,〃的方程組進行求解.

［解析］(l)V(3x-2y)i=2-x,且x,y是實數(shù)，

［2—x=0［x=2

出-2y=0［y=3

即x,y的值分別是2和3.

(2)-b)+4i=6+(a—b)i,

a2—b=6

兩式相減，得a2—。=2,

a-b=4

.,.4=2或-1,從而b=-2或一5,

即〃=2,Z?=—2或〃=—1,h=-5.

II跟蹤練習3—■

已知2%—1+。，+l)i=x—y+(一九一y)i,求實數(shù)x、y的值.

［解析］因為x、y為實數(shù)，

所以2x—1、y+1、x—y、一元一y均為實數(shù).

{2x-1=x-y\x=3

由復數(shù)相等的充要條件，知—，所以.

ly十l=_%_y［y=-2

易混易錯警示

準確掌握概念

■典例4在下列命題中，正確命題的個數(shù)是(A)

①兩個復數(shù)不能比較大??；

②若Z1和Z2都是虛數(shù)，且它們的虛部相等，則Z1=Z2：

③若“、〃是兩個相等的實數(shù)，則3—力+(a+6)i是純虛數(shù).

A.0B.1

C.2D.3

［錯解］兩個復數(shù)不能比較大小，故①正確；

設(shè)zi=〃?i(〃?GR),Z2=〃i(〃GR)

?；Z1與Z2的虛部相等，，機=〃，.；1=22，故②正確.

若〃、6是兩個相等的實數(shù)，則“一6=0,

所以m—%)+3+〃)i是純虛數(shù)，故③正確.

綜上可知：①②③都正確，故選D.

［辨析］兩個復數(shù)當它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，錯解①中忽視了這一特殊情

況導致錯誤；而錯解②將虛數(shù)與純虛數(shù)概念混淆，事實上純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集，在代

數(shù)形式上，純虛數(shù)為bi(bCR且b/0)虛數(shù)為“+加(a,bSR,且6#0).③中要保證

才可能是純虛數(shù).

［正解］兩個復數(shù)當它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，故①是不正確的；

設(shè)zi=a+5(。、匕WO),Z2=c+di(c、deR且dWO),,:b=d,C.zi—c+b\.

當〃=<:時，z］=Z2，當arc時，zi#Z2，故②是錯誤的，③當a=b/O時，a-b+(a+

與i是純虛數(shù)，當。=b=0時，a—/?+(a+6)i=0是實數(shù)，故③錯誤，因此選A.

II跟蹤練習4一?

實數(shù)m取什么值時，復數(shù)lg(/?2—2m—2)+(m2+3m+2)i分別是(1)純虛數(shù)？(2)實數(shù)？

［解析］⑴復數(shù)1g(加2—2〃?-2)+(,”2+3〃?+2)i為純虛數(shù)，

[/H2—2/n-2=1,

則《

[m2+3m+2^0,

Jm=3或m=-l,

萬"[m#—2且機W—1,

所以m=3.

即加=3時，lg(/w2—2m—2)+(nr+3tn+2)i為純虛數(shù).

[小一2〃?一2>0,①

(2)復數(shù)lg(/—2〃?-2)+(加2+3加+2)[為實數(shù)，貝?。俊竔c八方

加-十3m+2=0,(2

解得②得m——2或m=-1,

代入①檢驗知滿足不等式，

所以當m——2或m——1時，1g(m2—2〃?-2)+(w2+2>m+2)i為實數(shù).

學科核心素養(yǎng)

根據(jù)復數(shù)的大小求參數(shù)的值

兩個復數(shù)能比較大小時，這兩個復數(shù)必為實數(shù)，從而這兩個復數(shù)的虛部為0.

■典例5如果k>gl（〃?+〃）一（加2—3加萬2—1,求自然數(shù)相，〃的值.

2

［思路分析］由虛數(shù)不能比較大小知本題中的logl（帆+〃）一（加一3m）i必為實數(shù)，所以

2

）22—3m=0.故原不等式轉(zhuǎn)化為logj_（m+〃）2—1.

2

［解析］*.*logj_（相+〃）一（蘇一3/n）i2—1,

2

???錯誤！?,?錯誤！

?.,加，〃￡N,

，機=0,九=1或〃=2.

『規(guī)律方法』已知兩個復數(shù)的大小求參數(shù)值時，一般先由復數(shù)的虛部為0求得參數(shù)的

值，再進一步檢驗復數(shù)的大小關(guān)系即可.

3.1.2復數(shù)的幾何意義

自主預(yù)習?探新知

情景引入

大家知道實數(shù)的幾何模型是數(shù)軸上的點，即實數(shù)和數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系，那

么復數(shù)的幾何模型又是怎樣的呢？在1806年，德國數(shù)學家高斯公布了虛數(shù)的圖象表示法，

即虛數(shù)能用平面內(nèi)的點來表示.在直角坐標系中，橫軸上取對應(yīng)實部。的點A,縱軸上取對

應(yīng)虛部6的點8,通過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數(shù)a+bi,這

樣就將復數(shù)與平面內(nèi)的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系，至此找到了復數(shù)的幾何模型——平面內(nèi)的

點.以后隨著對復數(shù)的進一步研究，又將復數(shù)與平面內(nèi)的向量建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此復

數(shù)就有了另一個幾何模型——平面內(nèi)的向量，并且闡述了復數(shù)的幾何加法和乘法，從而豐富

了內(nèi)涵，至此復數(shù)理論也就較完整地建立起來了.

新知導學

1.復平面的定義

建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做一實軸一，y軸叫做軸

_,實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).

2.復數(shù)的幾何意義

(1)每一個復數(shù)都由它的實部和虛部一唯一確定,當把實部和虛部作為一個有序

數(shù)對時，就和點的坐標一樣，從而可以用點表示復數(shù)，因此復數(shù)與復平面內(nèi)的點是_一一對

應(yīng)—關(guān)系.

(2)若復數(shù)z=〃+/;i(a、/?GR),則其對應(yīng)的點的坐標是(。，b),不是(a,bi).

(3)復數(shù)與復平面內(nèi)一以原點為始點一的向量也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z=a+bi(a、6GR)可以用點

Z(a,6)或向量應(yīng)表示.

復數(shù)z=a+%i(a、hdR)與點Z(a,切和向量OZ的——對應(yīng)關(guān)系如下:

復數(shù)z=a+bi(a,b€R)

平面向量該

3.復數(shù)的模

復數(shù)z=a+5(縱6CR)對應(yīng)的向量為ON,則。彳的模叫做復數(shù)z的模，記作|z|且|z|

=__-\/a2+/?2.

當b=0時，z的模就是實數(shù)〃的絕對值.

4.復數(shù)模的幾何意義

復數(shù)模的幾何意義就是復數(shù)z^a+bi所對應(yīng)的點Z（m6）到原點（0,0）的一距離_.

由向量的幾何意義知，|Z|-Z2|表示在復平面內(nèi)復數(shù)zi與z,對應(yīng)的兩點之間的距離

預(yù)習自測

1.復數(shù)z=一疝在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的坐標為（A）

A.（0,一無）B.（一兀，0）

C.（0,0）D.（一兀，一兀）

［解析］復數(shù)z=ni的實部為0,虛部為一無，故在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的坐標為（0,一兀）,

故選A.

2.復數(shù)z=-l—2i（i為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（C）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］z=-1—2i對應(yīng)點Z（—1,-2）,位于第三象限.

3.已知平行四邊形OABC中，O,A,C三點對應(yīng)的復數(shù)分別為0,l+2i,3—2i,則向量

施的模|B|=（D）

A.小B.2y［5

C.4D.V13

［解析］由于OABC是平行四邊形，所以贏=次7,因此|而=|沆|=|3-2i|=MT5.

4.已知復數(shù)z=（n?—3）+（%—l）i的模等于2,則實數(shù)m的值為（A）

A.1或3B.1

C.3D.2

［解析］依題意可得?（?-3）2+（加-1）2=2,解得"2=1或3.

5.求復數(shù)zi=3+4i及Z2=一義一gi的模，并比較它們的模的大小.

［解析］憶1|=小可^=5,

V5>|,.'.|zi|>|z2|.

互動探究?攻重難

互動探究解疑

命題方向?

復數(shù)的幾何意義

?■■典例1在復平面內(nèi)，若復數(shù)z=（加2+2〃?-8）+（〃?一3〃?+2）i對應(yīng)的點分別滿

足下列要求，試求復數(shù)z：

（1）在虛軸上（不包括原點）；（2）在實軸負半軸上；（3）在第一、三象限的角平分線上.

［思路分析］把點的對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為實部與虛部應(yīng)滿足的條件，求出參數(shù)，〃的值，即得

復數(shù)z.

［解析］（1）若復數(shù)z對應(yīng)的點在虛軸上（不包括原點），則〃尸+2〃?-8=0且m2—3m+

2W0,

.?.m=一4,此時z=30i.

（2）若復數(shù)z對應(yīng)的點在實軸負半軸上，則

;n2+2/n—8<0,

.蘇一3〃?+2=0,

解得〃?=1,此時z=-5.

（3）若復數(shù)z對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上，即在直線y=x上，即評一3加+2

=〃P+2m-8,

此時z=0.

『規(guī)律方法』1.復數(shù)的幾何意義包含兩種：

（1）復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系：每一個復數(shù)和復平面內(nèi)的一個點對應(yīng)，復數(shù)的實部、

虛部分別是對應(yīng)點的橫坐標、縱坐標.

（2）復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應(yīng)關(guān)系：當向量的起點在原點時，該向量可由終點唯一確

定，從而可與該終點對應(yīng)的復數(shù)建立——對應(yīng)關(guān)系，借助平面向量的有關(guān)知識，能更好地理

解復數(shù)的相關(guān)知識.

2.有關(guān)復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點位置（在實軸上、虛軸上、某個象限內(nèi)、某條已知直線

上等）的題目，先找出復數(shù)的實部、虛部，再按點所在的位置列方程或不等式（組）求解.

II跟蹤練習?

在復平面內(nèi)，復數(shù)6+5i,—2+3i對應(yīng)的點分別為A,8.若C為線段A2的中點，則點

C對應(yīng)的復數(shù)是（C）

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

［解析］由題意知A(6,5),B(—2,3),；.C(2,4),...點C對應(yīng)的復數(shù)為2+4i,故選C.

命題方向?

復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應(yīng)

例2在復平面上，點A,B,C對應(yīng)的復數(shù)分別為l+4i,—3i,2,。為復平

面的坐標原點.

(1)求向量萬1+五，病對應(yīng)的復數(shù)；

(2)求平行四邊形ABCD的頂點。對應(yīng)的復數(shù).

［思路分析］根據(jù)復數(shù)與點、復數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系求解.

［解析］(1)由已知得殖，0B,沆所對應(yīng)的復數(shù)分別為l+4i,-3i,2,

于是后=(1,4),OB=(0,-3),沆=(2,0),

因此宓+加=(1,1),AC=OC-OA=(1,-4),

故—十初對應(yīng)的復數(shù)為1+i,啟對應(yīng)的復數(shù)為1-4i.

3

(2)由已知得點A,B,C的坐標分別為(1,4),(0,一3),(2,0),則AC的中點為傷，2),

(O+XQ3

3I2=■

由平行四邊形的性質(zhì)知BD的中點也是(5,2),若設(shè)yo),則有＜_,解得

2-3+yo

I2-2,

xo=3,

r故既3,7).

尻=7,

『規(guī)律方法』1.若復數(shù)2="+從(“，匕GR),則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的向量花=伍,

b).

2.復平面內(nèi)向量對應(yīng)的復數(shù)可通過向量的坐標運算求得.

3.一個向量不管怎樣平移，它所對應(yīng)的復數(shù)是不變的，但其起點與終點對應(yīng)的復數(shù)可

能改變.

II跟蹤練習2一?

ABC。是復平面內(nèi)的平行四邊形，A,B,C三點對應(yīng)的復數(shù)分別是l+3i,-i,2+i.

(1)求點。對應(yīng)的復數(shù)；

(2)求AABC的邊BC上的高.

［解析］(1)復平面內(nèi)A,B,C對應(yīng)點的坐標分別為(1,3),(0,-1),(2,1),

設(shè)點。的坐標為(x,y),

由屐)=跆，得＞-3)=(2,2),

/.X—1=2,y—3=2,解得x=3,y=5,

故點0(3,5),其對應(yīng)的復數(shù)為3+5i.

(2)VB(0,-1),C(2,l),

?*.BC的直線方程為x一y1=0,

點A到BC的直線距離公口寶憶亭,

故BC邊上的高為邛^.

命題方向?

復數(shù)模的計算

■典例3已知復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復數(shù)z.

［思路分析］設(shè)2=。+歷(小人CR),代入等式后，可利用復數(shù)相等的充要條件求出小

b.

［解析］解法一：設(shè)z="+bi(a、bGR),則|才="層+82,

代入方程得a+hi+yla2+b2=2-［-^i,

［a+\la2+b2=2,=-15

,解得..\z=-15+8i.

18=8［%=8

解法二：原式可化為z=2一|z|+8i,

：|zgR,；.2一|z|是z的實部，于是團=寸(2—|才)2+82,

即|ZF=68—4|z|+|z|2,.-.|z|=17.

代入z=2一|z|+8i得z=-15+8i.

『規(guī)律方法』計算復數(shù)的模時，應(yīng)先找出復數(shù)的實部和虛部，然后利用模的公式進行

計算.兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.

II跟蹤練習3_?

下列各復數(shù)的模不是1的為(D)

易混易錯警示

混淆復數(shù)的模與實數(shù)的絕對值致誤

■典例4已知復數(shù)Z滿足|z|2—2|Z|-3=0,則復數(shù)z對應(yīng)點的軌跡是(A)

A.1個圓B.線段

C.2個點D.2個圓

［錯解］由題意可知(|z|-3)(|z|+l)=0,即團=3或憶|=一1,故選D.

［辨析］錯解中忽視了“|z|”的幾何意義導致錯誤.

［正解］由題意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,

即|z|=3或|z|=一1.

...|z|=-l應(yīng)舍去，故應(yīng)選A.

［點評］由復數(shù)模的定義和復數(shù)的幾何意義知，|z|表示z在復平面內(nèi)的對應(yīng)點到原點的

年顆因此|z|》0.z=i時，但團￥一1,不要作錯誤的遷移.

學科核心素養(yǎng)

利用復數(shù)的幾何意義解題

我們知道，在實數(shù)集中，實數(shù)?的絕對值，即同是表示實數(shù)。的點與原點0間的距離.那

么在復數(shù)集中，類似地，|z|是表示復數(shù)z的點到坐標原點間的距離，也就是向量々的模，|z|

=|用.運用此性質(zhì)，可以解決有關(guān)問題.

■典例5已知復數(shù)z=3+“i,且|z|<4,求實數(shù)a的取值范圍.

［思路分析］由題目可獲取以下主要信息：

①已知復數(shù)及其模的范圍；

②求復數(shù)虛部的取值范圍.

解答本題可利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)不等式求解或利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

［解析］解法一：：z=3+ai(aeR),

：.\z\—y］32+cr,

由已知得32+/V42,二/<7,(—巾，巾).

解法二：利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，

以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，

由z=3+ai知z對應(yīng)的點在直線x=3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合，由

32+>2=42得

，A（3,幣），8（3,一幣）.由圖可知：S<a<?

『規(guī)律方法』解決復數(shù)問題的主要思想方法有：（1）轉(zhuǎn)化思想：復數(shù)問題實數(shù)化；（2）

數(shù)形結(jié)合思想：利用復數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；（3）整體化思想：利用復數(shù)的特征整體

處理.

3.2復數(shù)代數(shù)形式的四則運算

3.2.1復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義

自主預(yù)習?探新知

情景引入

加法是一種累積，使人從小到大，從弱到強，從單純走向復雜；減法是一種刪節(jié)，在經(jīng)

過一定的積累以后，刪去多余的枝枝葉葉，以化解心靈的重負；乘法是一種跨越，是實現(xiàn)人

生跨越的秘訣；除法是一種卸載，一切不道德的塵埃，必須依靠理性來及時卸載，以剔除心

靈的稗種.這就是人生的四則運算.

復數(shù)作為數(shù)系大家庭的一員，它的四則運算又是怎樣的呢？

新知導學

復數(shù)的加、減法法則及幾何意義與運算律

Zi、Zi、Z3《C,設(shè)應(yīng)1、應(yīng)分別與復數(shù)zi=a+bi,Z2=c+di（a.b、c、”CR）相對應(yīng)，且應(yīng)卜

無不共線

加法減法

運算Z\+Z2Z]—Z2

法則=(a+c)+(b+d)\=(a-c)+(b—d)\

w

幾何

意義

復數(shù)的差Z1—Z2與向量歷|一

復數(shù)的和21+22與向量021+。22=。2的坐標

對應(yīng)晶2=ZZ的坐標對應(yīng)

運算律交換律Z|+Z2=Z2+_Z1—

結(jié)合律(Z1+Z2)+Z3=Z］+(Zg+z3_)

預(yù)習自測

1.已知復數(shù)zi=3+4i,Z2=3—4i,則zi+z2=(B)

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

［解析］zi+z2=3+4i+3—4i=(3+3)+(4—4)i=6.

2.復數(shù)(1+i)~~(2—i)—3i等于(A)

A.-1-iB.1-i

C.iD.-i

［解析］(l+i)-(2-i)—3i=(l-2)+(i+i—3i)=-l-i.故選A.

3.(2020,全國卷I文,2)若z=l+2i+i3,則|z|=(C)

A.0B.1

C，V2D.2

［解析］；z=l+2i+i3=l+2i-i=l+i,

.,.|Z|=^/12+12=V2.

4.若復數(shù)Z|=-2+i,Z2=l+2i,則復數(shù)ZLZ2在復平面內(nèi)對應(yīng)點所在的象限是(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］ZI—Z2=(—2+i)—(l+2i)=(—2—l)+(i—2i)=—3—i,故z1一Z2對應(yīng)點的坐標

為(-3,一1)在第三象限.

5.若復數(shù)zi=2+i,Z2=3+ai(adR),zi+z2所對應(yīng)的點在實軸上，則〃=一一L.

［解析］zi+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(tz+l)i,「Z1+Z2所對應(yīng)的點在實軸上，???a+l=0,

*.a=-1.

6.計算：(l)(2+4i)+(—5+i)；

(2)(2/i-8)+(l-V2i).

［解析］(l)(2+4i)+(—5+i)=(2—5)+(4+l)ii=-3+5i?

(2)(2吸i-8)+(1—6i)=(-8+2小i)+(l-_^/2i)=(-8+1(2y［2—y［2］i=-7+A/2

互動探究?攻重難

互動探究解疑

命題方向?

復數(shù)代數(shù)形式的加減運算

■典例1計算下列各題：

(1)(也—4)+(一6+乎i)+1；

(3)(5—6i)+(—2—2i)—(3+3i).

［思路分析］解答本題可根據(jù)復數(shù)加減運算的法則進行.

［解析］(1)原式=(6一啦)+(—巾+坐)i+1=1一半.

(2)原式=(-、+%+(—＞，+l)i=，+:i.

(3)原式=(5—2—3)+［-6+(-2)-3］i=-lIi.

『規(guī)律方法』復數(shù)的加減法運算就是把復數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加減.

II跟蹤練習［_■

計算：(l)(l+2i)+(3-4i)-(5+6i)；

(2)5i-［(3+4i)-(-l+3i)］；

(3)(a+bi)—(2a—3bi)—3i(a,6CR).

［解析］(l)(l+2i)+(3—4i)-(5+6i)=(4-2i)—(5+6i)=-l-8i.

(2)5i—［(3+4i)-(—l+3i)］=5i-(4+i)=-4+4i.

OXa+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+［b-［-3b)-3］i=-a+(4b~3)i.

命題方向?

復數(shù)加、減法運算的幾何意義

■典例2已知復平面內(nèi)的平行四邊形0A8C的三個頂點0、A、C對應(yīng)的復數(shù)分

別為0、3+2i、-2+4i,試求：

(1)命對應(yīng)的復數(shù)；

(2)以對應(yīng)的復數(shù)；

(3)8點對應(yīng)的復數(shù).

［解析］(1)公=一亦，則43對應(yīng)的復數(shù)為一(3+2i),即一3一2i.

(2)CA=OA-OC,所以以對應(yīng)的復數(shù)為(3+2i)一(-2+4i)=5-2i.

(3)^=0A+AB=dA+0C,所以而對應(yīng)的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

即B點對應(yīng)的復數(shù)為l+6i.

『規(guī)律方法』1.對于一些較復雜的復數(shù)運算問題，特別是與復數(shù)的模有關(guān)的問題可將

復數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量加以轉(zhuǎn)化，利用幾何意義給予幾何解釋，數(shù)形結(jié)合解決.

2.若幾何圖形的變換可以坐標化，可利用向量、點與復數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算處理.

例如關(guān)系式|zi+Z2|=|zi—Z2|的幾何解釋為：平行四邊形兩對角線長相等，故四邊形04cB

為矩形.

II跟蹤練習2一■

設(shè)向量應(yīng)?及應(yīng)在復平面內(nèi)分別與復數(shù)zi=5+3i及復數(shù)Z2=4+i對應(yīng)，試計算zi—Z2,

并在復平面內(nèi)表示出來.

［解析］zi-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-l)i=l+2i.

如下圖所示，ZN即為ZI-Z2所對應(yīng)的向量.

根據(jù)復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)Z1一Z2是連接向量無I,血的終點，并指向被減數(shù)的

向量ZZ所對應(yīng)的復數(shù).

命題方向?

復數(shù)加減法的綜合問題

■典例3已知|Z1|=|Z2|=|Z|—Z2|=l,求|Z1+Z2|.

［思路分析］設(shè)出Z］、Z2,將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題或利用復數(shù)運算的幾何意義求解.

［解析］解法一：設(shè)zi=a+6i,Z2=c+M(a、b、c、R),

*.*|Z1|=|Z2|=|Z1-Z21=1,

.*?a2+b2=c2+d2=1,①

(a-c)2+(b~d)2=l,②

由①@得2ac+2M=1.

/.|zi+Z2I=d(a+c)2+(A+rf)2

=y］a2+c2+h2+d2+2ac+2bd=y［3.

解法二：作出ZI、Z2對應(yīng)的向量龍：1、dll,

則Z1—Z2對應(yīng)Z2Z1,

：|Z1|=|Z2|=1,若應(yīng)1、應(yīng)2共線,

則|zi-Z2|=|叁|=2或0,與已知矛盾.

二應(yīng)|與應(yīng)2不共線.

又|Z]|=|Z2|=|Z1—Z2),

...△OZ|Z2為等邊三角形.

...NZ|OZ2=60°,

設(shè)ZI+Z2對應(yīng)向量應(yīng),則NOZiZ=120。,

...在△OZiZz中，由余弦定理得：

|OZ|=^12+12-2X1X1XCOS1200

『規(guī)律方法』1.設(shè)出復數(shù)z=x+yi(x,yCR),利用復數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)

化為x、y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復數(shù)問題實數(shù)化思想”的應(yīng)用.

2.在復平面內(nèi)，zi,Z2對應(yīng)的點為A、B,zi+z2對應(yīng)的點為C,。為坐標原點，則四

邊形OACB:

(1)為平行四邊形；(2)若|zi+z2|=|z|-Z2|,則四邊形OACB為矩形；(3)若|zi|=|zd,則四

邊形。4cB為菱形：(4)若⑵|=0|且|zi+z2|=|zi-Z2|,則四邊形OACB為正方形.

II跟蹤練習3一■

設(shè)Zl、Z2《c,已知|Z1|=|Z2|=1,|ZI+Z2|=6,求|ZLZ2］.

［解析］解法一：設(shè)zi=a+6i,Z2=c+di(a,b、c、JGR).

由題意，知/+/=1,/+/=1.

(a+c')2+(b+d)2=2,：.2ac+2bd=0.

\z\—zJr—(a—c)2+(b—d)2

=<72+c2+/>2+J2—2ac—2M=2.

/.|zi—Z2|=A/2.

解法二：設(shè)復數(shù)Z|,Z2,Z1+Z2分別對應(yīng)向量無I、無2、OZ,

|Z1I=|Z2|=11|Z1+Z2|—"\/2,

平行四邊形OZ|ZZ2為正方形.

，|Z|一Z2|=|愛1|=|西=也.

V

V

易混易錯警示

考慮問題要全面

■典例4已知：復平面上的四個點4、B、C、力構(gòu)成平行四邊形，頂點4、B、

C對應(yīng)于復數(shù)一5一2i、-4+5i、2,求點。對應(yīng)的復數(shù).

［錯解］'：BA=CD,

??ZA-ZB=ZD-ZCf

,ZD=ZA-ZB+ZC

=(-5-2i)-(-4+5i)+2=l-7i.

即點。對應(yīng)的復數(shù)為l-7i.

［辨析］四個點A、B、C、力構(gòu)成平行四邊形，并不僅有。4BC。一種情況，應(yīng)該還有

口A8OC和。4CB力兩種情況.如圖所示.

［正解］用錯解可求。對應(yīng)的復數(shù)為l—7i,用相同的方法可求得另兩種情況下點。對

應(yīng)的復數(shù)z.

圖①中點。對應(yīng)的復數(shù)為3+7i,

圖②中點。對應(yīng)的復數(shù)為-11+3i.

故點。對應(yīng)的復數(shù)為l-7i或3+7i或一ll+3i.

V

V

V

學科核心素養(yǎng)

復數(shù)的模的取值范圍問題

■典例5設(shè)》6［0,2兀)，復數(shù)zi=cosx+isinx對應(yīng)的點在第一象限中直線y=x的

左上方，Z2=l—i,則|Z|+Z2|的取值范圍是」

［思路分析］第一步，審題.

一審條件，挖掘題目信息，由苫e［0,2兀)，復數(shù)zi的對應(yīng)點位于第一象限且在直線y=x

的左上方可求得X的取值范圍；由Z|與Z2的代數(shù)形式及復數(shù)加法運算法則可求出ZI+Z2.

二審結(jié)論，明確解題方向，求|Z|+Z2|的取值范圍，可利用復數(shù)運算法則及模的定義轉(zhuǎn)化

為求三角函數(shù)值域，要特別注意求值域時x的取值范圍不能認定就是［0,2兀).

第二步，建立聯(lián)系，確定解題步驟.

由條件與結(jié)論之間的關(guān)系，確定本題解題步驟：先求X的取值范圍，再將|Z|+Z2|表示為

X的三角函數(shù)，然后化為一角一函形式，利用三角函數(shù)的值域求|Z|+Z2|的取值范圍.

第三步，規(guī)范解答.

［解析］由已知得zi+z2=(cosx+l)+(sinr—l)i,

22

所以|zi+z2|=^(cosx+l)+(sin.r-l)

=-ycos2jf+2cosx+1+sin2JC—2sinx+1

="\/2(cosx-sinx)+3=J2吸cos(x+，)+3.

因為復數(shù)z〕=cosx+isinx對應(yīng)點在第一象限中直線y=x的左上方，且刀右［0,2兀)，

cos^>0

所以jsinx>0,解得*xV全

.siar>cosx

所以六x+上季

故cos（xT$￡（一乎，0）,

所以#cos（x+；）+3￡（l,?。?

故|ZI+Z2|￡（1,y/3）.

3.2.2復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

自主預(yù)習?探新知

情景引入

根據(jù)復數(shù)的幾何意義和平面向量在坐標表示下的加(減)法運算，我們很容易規(guī)定了復

數(shù)的加(減)法規(guī)則，因為實數(shù)是復數(shù)的一部分，且實數(shù)有其乘法運算，因此我們有理由且應(yīng)

當規(guī)定復數(shù)集內(nèi)的乘法運算，使實數(shù)的乘法作為復數(shù)乘法的一種特殊情況，考慮到復數(shù)的代

數(shù)標準形式及i2=-l,并聯(lián)系多項式的乘法法則，就可建立復數(shù)的代數(shù)乘法規(guī)則.

新知導學

1.復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

設(shè)z