數(shù)學(xué)同步測(cè)控：集合與集合的表示方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1。下列各項(xiàng)中,不能組成集合的是（）A。所有正三角形B.《數(shù)學(xué)（人教B版)》（必修1)中的所有習(xí)題C。所有數(shù)學(xué)難題D.2008北京奧運(yùn)會(huì)的所有比賽項(xiàng)目解析:A、B、D均滿足集合元素的確定性,C中的“難”無(wú)法確定難的界限。答案：C2。給出下列關(guān)系：①∈R；②Q；③4.5∈Q；④0∈N*.其中正確命題的個(gè)數(shù)為(）A.1B。2C。3解析：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)均為無(wú)理數(shù).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以①②③正確。正整數(shù)集N*是指除了0以外的所有自然數(shù)組成的集合,所以④錯(cuò)。答案:C3.已知集合S={a，b,c}中三個(gè)元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，那么△ABC一定不是(）A.銳角三角形B。直角三角形C。鈍角三角形D。等腰三角形解析：判斷三角形的形狀,要考慮三角形的邊和角滿足的關(guān)系.一般先判斷是否為等邊、等腰、直角，再考慮鈍角或銳角三角形.解決本題的關(guān)鍵是集合中元素互異性的應(yīng)用,即a、b、c互不相等。答案:D4。下列四個(gè)集合中,表示空集的是（）A。｛0}B。｛（x,y）|y2=—x2，x∈R,y∈R}C.{x||x|=5,x∈Z,xN}D.｛x|2x2+3x-2=0，x∈N｝解析:空集是不含任何元素的集合。B中元素是(0，0)，C中元素是—5,D中方程的解-2，都不屬于N,所以D為空集。答案：D5。a，a，b，b,a2,b2構(gòu)成集合M,則M中元素的個(gè)數(shù)最多有(）A。6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)解析:由集合元素的互異性,知集合中的元素最多為a，b,a2,b2,且4個(gè)元素互不相等.答案：C6。集合｛x∈N＊｜x〈5｝的另一種表示方法是()A。｛0,1，2，3,4}B。｛1,2，3，4｝C。{0,1，2,3，4,5}D。{1,2,3,4，5}解析：本題的集合表示方法是特征性質(zhì)描述法，選項(xiàng)為列舉法,關(guān)鍵要掌握N＊表示的是正整數(shù)集。答案：B7。在數(shù)集｛2x，x2—x}中,實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______。解析:本題主要考查集合元素的互異性.實(shí)數(shù)x的取值滿足集合元素的互異性，則2x≠x2-x，解得x≠0且x≠3,∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x｜x≠0且x≠3}.答案：｛x｜x≠0且x≠3｝8。在條件(1)x∈N;（2）x∈Q;(3）x∈R下,分別寫出方程x（x+1）·(x)·(x2—2）·（x2+2）=0的解集。分析:本題只需先判斷出方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的根便可迎刃而解.解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x（x+1）·(x）·(x2—2）·（x2+2）=0的根為0,-1,，±。（1）當(dāng)x∈N時(shí)，解集為{0｝;(2)當(dāng)x∈Q時(shí),解集為｛0，-1,}；（3)當(dāng)x∈R時(shí)，解集為{0，—1，,，｝.9。(1)已知集合M={x∈N｜∈Z｝，求M；(2）已知集合C=｛∈Z｜x∈N｝，求C.分析：集合M中的元素是自然數(shù)x,滿足條件是是整數(shù)；集合C中的元素是,滿足條件的x是自然數(shù).解：（1）∵∈Z,∴1+x=±1,±2，±3，±6。又∵x∈N，∴x=0,1,2，5.∴M={0,1，2,5｝.（2)結(jié)合(1),知=6,3，2，1.∴C=｛6,3,2，1}.10。設(shè)集合A=｛a|a=n2+1,n∈N},集合B=｛b|b=m2-2m+2，m∈N｝，若a∈A，試判斷a與集合B的關(guān)系。分析:注意應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，達(dá)到形式統(tǒng)一.解：∵a∈A,∴a=n2+1=n2—2n+2n+1=（n2+2n+1）-2（n+1）+2=（n+1）2—2（n+1）+2?！遪∈N，∴n+1∈N。因此a∈B。我綜合，我發(fā)展11．集合A=｛1,-3，5,-7,9，—11,…｝用描述法表示正確的是()①{x｜x=2n±1，n∈N}②｛x｜x=(-1)n(2n—1)，n∈N}③｛x｜x=（-1)n(2n+1)，n∈N}④｛x｜x=(—1)n+1(2n—1），n∈N｝A.只有④B。①④C。②④D。③④解析：取n=0,1,2驗(yàn)證各選項(xiàng)，可知①②不符，③④正確。答案:D12。設(shè)P=｛3，4，5}，Q={4，5，6,7}，定義P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q｝,則P※Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A。3B.4C.7解析：集合P※Q的元素是點(diǎn)集，P中的元素構(gòu)成a，Q中元素構(gòu)成b，所以所求集合中的元素有（3，4)，（3，5)，(3，6）,（3,7），(4，4）,（4,5)，（4，6），(4,7),（5,4），（5,5），(5，6）,(5,7).答案:D13。含有三個(gè)實(shí)數(shù)的某集合可表示為{a,，1｝,也可表示為{a2,a+b，0}，則a2007+b2008=_________.解析：根據(jù)兩個(gè)相同集合元素所滿足的相等關(guān)系,進(jìn)行分類討論,注意檢驗(yàn)所得集合中元素應(yīng)滿足互異性。由題意，知a≠0,所以①或②由①得而不符合集合元素的互異性,由②亦有舍去.故有∴a2007+b2008=-1.答案:—114。給出的下列5種說(shuō)法中正確說(shuō)法的序號(hào)是___________（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）.①任意一個(gè)集合的正確表示方法都是唯一的②集合｛0，—1，2，-2｝與集合｛-2，—1,0，2}是同一個(gè)集合③若集合P是滿足不等式0≤2x≤1的x的集合，則這一個(gè)集合是無(wú)限集④已知a∈R,則aQ⑤集合｛x|x=2k-1，x∈Z｝與集合{y｜y=2s+1,s∈Z｝表示的是同一個(gè)集合解析：本題涉及集合的概念、集合的分類、集合的表示方法和元素與集合的關(guān)系等一系列問(wèn)題,應(yīng)注意對(duì)照所學(xué)的相應(yīng)概念對(duì)各種說(shuō)法進(jìn)行逐一判定.由于集合｛1｝可以表示為｛x|x—1=0｝,所以①是錯(cuò)誤的；當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí),依然有可能是有理數(shù)，所以④錯(cuò)誤；從無(wú)限集、集合的無(wú)序性來(lái)分析,可知②③是正確的;而⑤中的兩個(gè)集合，它們都表示全體奇數(shù)組成的集合.答案：②③⑤15已知集合A=｛x|ax2-2x-1=0，x∈R},若集合A中至多有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:本題主要考查元素與集合之間的關(guān)系，以及集合的表示法.由描述法可知集合A是關(guān)于x的方程ax2—2x-1=0的實(shí)數(shù)解集，首先考慮方程是不是一元二次方程.解:當(dāng)a=0時(shí)，方程只有一個(gè)根,則a=0符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，則關(guān)于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程,由于集合A中至多有一個(gè)元素，則一元二次方程ax2-2x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以Δ=4+4a≤0，解得a≤—1。綜上所得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=0或a≤-1}。16。用描述法表示下列集合:(1)所有能被3整除的數(shù)組成的集合;(2）使y=有意義的實(shí)數(shù)x的集合；(3)如圖1—1-1中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))的集合M.圖1-1-1分析：符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化是特征性質(zhì)描述法的難點(diǎn)，研究問(wèn)題時(shí)注意觀察元素的性質(zhì),掌握好其相應(yīng)的特征性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。（1）（2）的元素是數(shù)，(3)的元素是點(diǎn)，一般用坐標(biāo)來(lái)表示，另外,要注意觀察圖象特點(diǎn),準(zhǔn)確地確定不等式.解：（1)｛x｜x=3n，n∈Z};(2）｛x｜x≤2且x≠0，x∈R}；(3）｛（x,y)|—2≤x≤，-1≤y≤且xy≥0}。我創(chuàng)新,我超越17。集合A=｛x∈R｜x=a+b，a∈Z,b∈Z}，判斷下列元素x和集合A間的關(guān)系：（1)x=0；（2）x=;（3）x=；（4）x=x1+x2（其中x1∈A,x2∈A）；(5）x=x1x2(其中x1∈A，x2∈A）.分析：先把x寫成a+b的形式,再觀察a、b是否為整數(shù),便可判定x是否為A中的元素。解：（1)中，∵x=0+0×2,∴x∈A。(2）中,∵x==+1=1+1×，∴x∈A.(3)中,∵x==+，而Z,∴xA.（4)中,∵x1∈A,x2∈A，可設(shè)x1=a1+b1，x2=a2+b2(a1、b1、a2、b2均為整數(shù)）,則x=x1+x2=（a1+a2)+(b1+b2),而a1+a2∈Z，b1+b2∈Z,∴x∈A。（5）同（4)所設(shè)，則x=x1x2=（a1+b12）（a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2,而a1a2+2b1b2∈a1b2+a2b1∈Z，∴x∈A。18.一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué),但他怎么也想不明白集合的意義.于是,他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么？"集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答這位漁民。有一天,他來(lái)到漁民的船上,看到漁民撒下魚網(wǎng),輕輕一拉,許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)。數(shù)學(xué)家非常激動(dòng),高興地告訴漁民:“這就是集合。”你能理解數(shù)學(xué)家的話嗎?你能有類似的現(xiàn)實(shí)生活中的感悟嗎？分析:通過(guò)實(shí)例了解集合含義,在了解集合含義時(shí)，要考慮集合中元素的三個(gè)性質(zhì)，即確定性(給定的集合,它的元素必須是確定的）、互異性(一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的）、無(wú)序性（集合中的元素?zé)o先后順序之分).解：由“許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)”,數(shù)學(xué)家高興地說(shuō)這就是集合，他生動(dòng)地把魚蝦組成的總體稱之為“集合”；“許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)"又恰好把每一條跳動(dòng)的對(duì)象——魚(蝦)看為元素;“許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)"同時(shí)更重要的是符合了集合的三大特性：“許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)”明確了確定性—-“在網(wǎng)中”；“許多魚蝦”但不可能有兩條相同的“魚(蝦）”，滿足了