線代課件等多個

第三章矩陣的初等變換與線性方程組一消元法二矩陣的初等變換四小結五思考第一節(jié)矩陣的初等變換三應用舉例課前復習1、矩陣的逆2、分塊對角矩陣1）2）3）若4）若則則3、線性方程組的幾種形式4、與的乘法引例求解線性方程組一、消元法解線性方程組④①②③解④①②③①②③④①②③③①①④②③④①②③③②②④②④①②③③③④即其中ｃ為任意常數.總結1、上述解方程組的方法稱為高斯消元法．2、始終把方程組看作一個整體變形，用三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數乘某個方程；（3）一個方程的ｋ倍加到另一個方程．3、這三種變換均可逆.4、方程組的變換可以看成矩陣的變換.1、定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.（1）互換兩行：（2）數乘某行：（3）倍加某行：二、矩陣的初等變換（ElementaryTransformation）定義矩陣的初等列變換與初等行變換統稱為矩陣的初等變換．同理，把換成可定義矩陣的初等列變換.ERTECTET初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換定義經過有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱矩陣，記作等價關系的性質：具有上述三條性質的關系就稱為等價．（1）反身性：（2）對稱性：（3）傳遞性：利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡形矩陣.定理利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標準形矩陣.一初等矩陣三小結第二節(jié)初等矩陣二應用舉例２、子式與階子式３、秩的定義及性質課前復習１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數稱為矩陣的秩，４、經過有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱矩陣，記作５、矩陣等價具有的性質利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡形矩陣.６、利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標準形矩陣.相應的，三種初等變換對應著三種初等方陣.一、初等矩陣的概念定義１、對調就稱為初等矩陣.記作２、數乘記作３、倍加記作基本事實相當于相當于相當于相當于相當于相當于初等矩陣的應用又因此類似的因此又因此因此又求下面矩陣的逆矩陣解：對（AE）進行初等行變換化為（EA-1）故三、矩陣的秩1、子陣與階子式將矩陣的某些行和列劃去（可以只劃去某些行和列），剩下的元素按原來的順序構成的新矩陣叫做矩陣的子矩陣.中，任取行列在矩陣位于這些行與列交叉處的個元素，依照它們在中的位置次序不變而得的階行列式，稱為矩陣的一個定義定義階子式.矩陣共有個階子式.最低階為階，最高階為階.定義（1）（2）則稱為矩陣的最高階非零子式.記為或.（1）性質：（2）（3）（4）階方陣，（5）其中（6）最高階非零子式的階數稱為矩陣的秩，如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個3階子式.易見而在這個矩陣中,都是矩陣的子矩陣.定義階方陣，為滿秩陣.，則稱定義，則稱為行滿秩陣；，則稱為列滿秩陣；結論矩陣的秩最高階非零子式的階數行階梯形矩陣非零行的行數行最簡形矩陣非零行的行數標準形矩陣中單位矩陣的階數，則稱為降秩陣.定義所有與等價的矩陣的集合稱為一個等價類.注：（１）所有矩陣可以劃分為個等價類.（３）化為行階梯形矩陣或行最簡形矩陣，僅能用初等行變換，而化為標準形矩陣時，初等行變換和初等列變換均可使用.（４）任一矩陣的行最簡形矩陣與標準形矩陣唯一.（５）標準形矩陣是等價類中最簡單的矩陣.（２）同型同秩矩陣等價.例１解計算A的3階子式，

用定義求矩陣的秩并非易事，后面我們將用初等變換法去求矩陣的秩.應用舉例解例２并求的一個最高階非零子式.設，求矩陣的秩，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣：求的一個最高階非零子式知的一個最高階非零子式為３階，的階子式共有個，考察的行階梯形矩陣記則矩陣的行階梯形矩陣為中４個子式中必有３階非零子式易驗證

Ａ的一個最高階非零子式.例３設其中求解分析：直接將化為階梯形矩陣即可，故例4

將下列矩陣利用初等變換化為行階梯形,再化為行最簡形,最后化為標準形.并求其秩.

注意：化矩陣為行階梯形或行最簡形時僅能用初等行變換.化矩陣為標準形時，初等行變換和初等列變換均可以使用.依次為行階梯形和行最簡形矩陣。最后得到的矩陣是的標準形，依次為秩顯然為３.２、子式與階子式３、秩的定義及性質五、小結１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數稱為矩陣的秩，４、經過有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱矩陣，記作５、矩陣等價具有的性質利用初等行變換可把矩陣化