山東臨沂市第十九中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

山東臨沂市第十九中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.2．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.64．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為5．橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.6．如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是（）A. B.C. D.7．?dāng)?shù)列，，，，…的一個通項公式為（）A. B.C. D.8．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是（）A. B.C. D.10．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.11．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.12．音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.15．《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五只鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現(xiàn)在有從高到低依次為大夫，不更，簪裹，上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次商低分（即根據(jù)爵次高低分配得到的獵物數(shù)依次成等差數(shù)列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則不更所得的鹿數(shù)為_______只16．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過點且動圓內(nèi)切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求19．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明21．（12分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計剪裁和拼接損耗，設(shè)矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?22．（10分）已知點，，線段是圓的直徑.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點，把中點坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：2、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當(dāng)這三個點不在一條直線上時，可得；當(dāng)這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.3、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解【詳解】由已知，解得故選：C4、D【解析】根據(jù)基本不等式知識對選項逐一判斷【詳解】對于A，時為負(fù)值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D5、C【解析】由焦點坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知，橢圓焦點在y軸上，所以有，解得故選：C.6、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖，沒有實對角線，正視圖實對角線的方向，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除而正視時，有半個平面是沒有的，所以應(yīng)該有一條實對角線，且其對角線位置應(yīng)從左上角畫到右下角，故C排除.故選：B.7、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項提供通項公式，將n代入驗證法判斷是否為通項公式.【詳解】A：時，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時，排除；D：時，排除；故選：B8、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.9、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選：D10、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D11、A【解析】根據(jù)點到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A12、C【解析】根據(jù)文化知識，分別求出相對應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進(jìn)而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：14、【解析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設(shè)（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用，點面距離的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、【解析】由題意分析，利用等差數(shù)列基本量代換列方程組即可求解.【詳解】記大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的獵物數(shù)為等差數(shù)列，公差為d，由題意可得，即，解得，∴故答案為：16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點處的切線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.18、（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于等比數(shù)列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列首項為，公比為則有，解之得則等比數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由，可得19、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而令，再結(jié)合（1）得，研究函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而得時，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，，∴當(dāng)時，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】證明：因為時，證明，只需證明，由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以.令，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.所以時，，所以當(dāng)時，21、（1），；（2）時，最大值為m3.【解析】(1)連接，在中，由，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為，求出．利用(其中即可得出；(2)利用導(dǎo)數(shù)，求出V的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【小問1詳解】連接，在中，，，設(shè)圓柱底面半徑為，