上海市楊思中學2025屆高二上數(shù)學期末教學質量檢測試題含解析

上海市楊思中學2025屆高二上數(shù)學期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點坐標是A. B.C. D.2．化學中，將構成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．已知點，在雙曲線上，線段的中點，則（）A. B.C. D.4．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線5．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設，，則當時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.116．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.7．在正項等比數(shù)列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2568．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d9．某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如下表所示學生甲乙丙丁估算結果（）其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁10．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則（）A.14 B.9C.4 D.211．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.12．若關于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側面積為________14．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15．一條直線經過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________16．某校對全校共1800名學生進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應是__________人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關要拋擲一顆正六面體骰子次，每次擲得的點數(shù)均相互獨立，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關.（1）這個游戲最多過幾關？（2）某人連過前兩關的概率是？（3）某人連過前三關的概率是？18．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.20．（12分）函數(shù)（1）求在上的單調區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍21．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標準方程；（2）求經過點的拋物線的標準方程；22．（10分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質.2、C【解析】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.3、D【解析】先根據(jù)中點弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因為的中點為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達定理得：，，則故選：D4、A【解析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、B【解析】先求出數(shù)列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當時，即當時，當時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.6、B【解析】由雙曲線的標準方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.8、A【解析】結合不等式的性質確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A9、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D10、C【解析】根據(jù)給定條件結合橢圓、雙曲線方程的特點直接列式計算作答.【詳解】設橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C11、D【解析】由題設條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D12、C【解析】將對數(shù)方程化為指數(shù)方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長l，而側面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長l＝＝5，∴側面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點睛】本題考查圓錐的側面積和體積的計算，理解圓錐的結構特征是解題的關鍵，考查學生的空間立體感和運算能力，屬于基礎題14、【解析】設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.15、【解析】先求出直線傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過，所以直線的方程為，即，故答案為：16、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應是人.點睛：進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）關（2）（3）【解析】（1）由題意，可判斷時，，當，所以可判斷出最多只能過關；（2）記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，得基本事件的總數(shù)以及滿足題意的基本事件的個數(shù)，計算出，，從而根據(jù)概率相乘求解得連過前兩關的概率；（3）設前兩次和為，第三次點數(shù)為，列出第三關過關的基本事件的個數(shù)，利用概率相乘即可得連過前三關的概率.【小問1詳解】因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為，當時，，而，所以時，這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和均小于，所以最多只能過關.【小問2詳解】記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，符合題意的點數(shù)為，共個，所以；記兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，不符合題意的點數(shù)為，共個，則由對立事件的概率得，所以連過前兩關的概率為;【小問3詳解】前兩次和為，第三次點數(shù)為則考慮再考慮2種3種4種5種6種5種4種3種2種1種所以滿足共有因此某人連過前三關的概率是.18、（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對應寫出焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結果.【詳解】（1）當時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎題.19、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據(jù)特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當時，.當時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考點：1.數(shù)列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數(shù)列的通項公式主要利用，分情況求解后，驗證的值是否滿足關系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解（即分組求和）或錯位相減來完成，其二，不能轉化為等差等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中，根據(jù)特點采用錯位相減法求和20、（1）單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設，則，然后利用導數(shù)可得在上單調遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和【小問2詳解】由，得，即設，則設，則當時，，，所以所以即在上單調遞增，則若，則，所以h(x)在上單調遞增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意若a＞2，則，必存在正實數(shù)，滿足：當時，，h(x)單調遞減，此時h(x)＜h(0)＝0，不符合題意綜上所述，a的取值范圍是21、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標準方程；（2）設出拋物線方程，利用經過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設為：或（p>0）當方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：