2025屆河北省保定一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆河北省保定一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項和為（）A.60 B.61C.62 D.632．下列求導(dǎo)不正確的是（）A B.C. D.3．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.4．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定5．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.86．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7．命題“對任意，都有”的否定是（）A.對任意，都有 B.存在，使得C.對任意，都有 D.存在，使得8．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.9．入冬以來，梁老師準備了4個不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.8610．若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．下列說法正確的是（）A.空間中的任意三點可以確定一個平面B.四邊相等的四邊形一定是菱形C.兩條相交直線可以確定一個平面D.正四棱柱的側(cè)面都是正方形12．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是___________.14．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過2021的第一個拐彎數(shù)是____________15．已知向量，，，若，則____________.16．經(jīng)過點，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心在直線上，且過點、（1）求的標準方程；（2）已知過點的直線被所截得的弦長為4，求直線的方程18．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內(nèi)的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小19．（12分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.20．（12分）中國共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國家的號召，通過“增強防疫意識，激發(fā)愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類比賽，你認為怎么選最合理，并說明理由21．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為（1）求向量在基底下的坐標；（2）求向量在基底下的模

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項和公式對作分組求和即可.【詳解】當且為奇數(shù)時，，則，當且為偶數(shù)時，，則，∴.故選：B.2、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的運算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C3、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B4、B【解析】直線恒過定點，而此點在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線恒過定點，而，故點在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.5、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，目標函數(shù)取得最大值.故選：C6、D【解析】根據(jù)題意可知，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，再結(jié)合函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)奇偶性得到單調(diào)性，進而解得答案.【詳解】由題意，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，容易判斷是定義在上的奇函數(shù)，于是在上單調(diào)遞增，而f(-1)=0，則.于是當時，.故選：D.7、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.8、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標，再應(yīng)用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C9、C【解析】運用分類計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進行求解即可.【詳解】當3樓不要烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當3樓需要1個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當3樓需要2個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：運用分類計數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】由題意設(shè)直線的方程為，然后將點代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程【詳解】因為直線與互相平行，所以設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線的方程為，故選：D11、C【解析】根據(jù)立體幾何相關(guān)知識對各選項進行判斷即可.【詳解】對于A，根據(jù)公理2及推論可知，不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；對于B，在一個平面內(nèi)，四邊相等的四邊形才一定是菱形，故B錯誤；對于C，根據(jù)公理2及推論可知，兩條相交直線可以確定一個平面，故C正確；對于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，側(cè)面可以是矩形，故D錯誤.故選：C12、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.14、①.②.【解析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當為奇數(shù)為；當為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個數(shù)；第3個數(shù)；第5個數(shù)；第7個數(shù)；，所以當為奇數(shù)為；同理可得：當為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當時，可得，當時，可得，所以超過2021第一個拐彎數(shù)是.故答案為：；.15、【解析】首先求出的坐標，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為向量，，，所以向量，因為，所以，即，解得故答案為：16、【解析】設(shè)圓方程為，代入原點計算得到答案.【詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點，代入圓方程則圓方程為故答案為【點睛】本題考查了圓方程的計算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）由、兩點坐標求出直線的垂直平分線的方程與直線上聯(lián)立可得圓心坐標，由兩點間距離公式求出半徑，即可得圓的標準方程；（2）設(shè)直線的方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理結(jié)合勾股定理列方程求出的值，即可得直線的方程【詳解】由點、可得中點坐標為，，所以直線的垂直平分線的斜率為，可得直線的垂直平分線的方程為：即，由可得：，所以圓心為，，所以的標準方程為，（2）設(shè)直線的方程為即，圓心到直線的距離，則可得，即，解得：或，所以直線的方程為或，即或18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內(nèi)的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.19、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當時，，因為，所以，所以，所以，當且僅當時取”=”.②當時，.③當AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零20、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問1詳解】，解得成績在區(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問2詳解】選成績最好的同學(xué)去參賽，分數(shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）21、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)計算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根