2023-2024學(xué)年貴州省銅仁市高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，則.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線中，則，故其漸近線方程為.故選：B.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗在中，每一項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，的系數(shù)為，故選：B.4.已知正項(xiàng)數(shù)列．若該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則數(shù)列所有項(xiàng)的和為（）A.98 B.92 C.96 D.100〖答案〗C〖解析〗由于數(shù)列的后5項(xiàng)成等比數(shù)列，所以，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，，又且前3項(xiàng)成等差數(shù)列，所以故數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，故選：C.5.已知空間中三條不同的直線和平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，，，則有可能相交、異面、平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由線面垂直性質(zhì)定理可知B正確；對(duì)C，若，，則與平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，若，，則有可能平行，有可能異面，故D錯(cuò)誤故選：B6.從三棱錐的6條棱中任選2條棱，則這2條棱所在的直線是異面直線的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：從三棱錐的6條棱中任取2條,所有的基本事件有：共15種，互為異面直線的有共3種，故概率為，故選：A.7.若曲線在處的切線方程為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又函?shù)處的切線方程為，所以，且，聯(lián)立解得，；故選：D.8.已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列說法不正確的是（）A. B.C.事件相互獨(dú)立 D.〖答案〗D〖解析〗隨機(jī)事件滿足：，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，樣本空間，則，，，因此，事件相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.直線與圓相交，且相交弦的長度為C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過樣本點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由隨機(jī)變量，得，A正確；對(duì)于B，圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長為，B正確；對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本的中心點(diǎn)，可以不經(jīng)過任何一個(gè)樣本點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，平方相加得，解得，D正確.故選：ABD10.若的兩根為，且，則下列說法正確的是（）A.B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.的虛部為D.〖答案〗AD〖解析〗由的兩根為，且，則，對(duì)于A，，即，因此，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的虛部為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD11.設(shè)，函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)C.存在，使得有三個(gè)不同零點(diǎn)D.對(duì)任意的在上是增函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，因此存在，使得，則是的零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，解得或，此時(shí)都大于1，因此是的零點(diǎn)，所以對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，取，，由，得或，解得或或，此時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，因此當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則______．〖答案〗〖解析〗隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，所以，則.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，則______；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值可以為______．〖答案〗①1②（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意得得，解得，則，由，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以有，因此的一個(gè)取值可以為，故〖答案〗為：1；（〖答案〗不唯一）.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則______；若斜率為的直線過焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中垂線交軸于點(diǎn)，則______．〖答案〗①8②2〖解析〗如圖所示：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，所以；所以拋物線的方程為：，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，,則，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，所以的中垂線的方程為：，令，可得，所以N的橫坐標(biāo)為：，所以，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，故〖答案〗為：8，2四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，且，求的周長．解：（1）已知，則由正弦定理有.又∵，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，.（2）由題可知：，所以，由余弦定理可得，即，所以，可得，則，所以的周長為.16.如圖所示，在長方體中，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)與棱作平面．（1）直接在圖中作出平面截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；（2）設(shè)平面平面．若截面圖形的周長為16，求二面角的余弦值．解：（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，連接，則四邊形為所作截面，截面為矩形，證明如下：在長方體中，，又平面平面，平面平面，平面平面，于是，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，因此，所以四邊形為矩形.（2）連接，由矩形的周長為16，且，得，又，，得，又，則，由（1）知，，則平面，而平面，因此，二面角的平面角為，在中，，則，所以二面角的余弦值為.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)有極小值，且極小值小于時(shí)，求的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，．若，則，所以在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在無極小值.當(dāng)時(shí)，在取得極小值為．因此等價(jià)于.即，令，其中，因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增，且．于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，的取值范圍是．18.已知橢圓，以的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形．設(shè)為原點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求的方程及離心率；（2）若軸，證明：是等腰直角三角形．解：（1）由題意.因.所以，所以橢圓方程為，離心率為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消去得：.依題意，得，則.直線，令得，又因?yàn)?，所?因?yàn)檩S，所以點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，所以向量，，則有.所以，所以.設(shè)的中點(diǎn)為，則，.，由題意可知，故，所以，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，所以為等腰直角三角形.19.在2024年5月舉行的第一屆全國全民健身大賽（西南區(qū)）籃球項(xiàng)目貴州選拔賽暨2024年貴州省籃球公開賽中，銅仁市代表隊(duì)?wèi){借出色的技術(shù)和頑強(qiáng)拼搏的精神，從全省42支隊(duì)伍中脫穎而出，闖進(jìn)決賽．受此影響，銅仁市某校掀起了籃球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次籃球訓(xùn)練課上，甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．（1）求2次傳球后球在甲手中的概率；（2）設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）現(xiàn)在丁加入傳球訓(xùn)練，且甲、乙、丙、丁四人分別站定于如圖所示的四點(diǎn)（為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)），且每次傳球時(shí)，傳球者將球傳給相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對(duì)角線上同學(xué)的概率為（例如：甲傳球給乙或丁的概率都是，傳球給丙的概率是；若第一次仍由甲將球傳出，則次傳球后，試比較球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并說明理由．解：（1）依題意，傳球2次后球在甲手中包括兩個(gè)基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲，所以傳球2次后球在甲手中的概率為.（2）設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球后球在甲手中的概率為，第次傳球后球不在甲手中的概率為，顯然，若要第n次傳球后球在甲手中，則第次傳球后球必定不能在甲手中，無論此時(shí)球在乙或丙的手中，傳給甲的概率都是，則有，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即.（3）設(shè)第n次傳球后球在甲手中概率，球在乙手中的概率，球在丙手中的概率,則球在丁手中的概率，則有，，，，，于是，且，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，又于是，而，且有，于是，又，則，若為奇數(shù)，則，此時(shí)，若為偶數(shù)，則，此時(shí).貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，則.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線中，則，故其漸近線方程為.故選：B.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗在中，每一項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，的系數(shù)為，故選：B.4.已知正項(xiàng)數(shù)列．若該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則數(shù)列所有項(xiàng)的和為（）A.98 B.92 C.96 D.100〖答案〗C〖解析〗由于數(shù)列的后5項(xiàng)成等比數(shù)列，所以，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，，又且前3項(xiàng)成等差數(shù)列，所以故數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，故選：C.5.已知空間中三條不同的直線和平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，，，則有可能相交、異面、平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由線面垂直性質(zhì)定理可知B正確；對(duì)C，若，，則與平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，若，，則有可能平行，有可能異面，故D錯(cuò)誤故選：B6.從三棱錐的6條棱中任選2條棱，則這2條棱所在的直線是異面直線的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：從三棱錐的6條棱中任取2條,所有的基本事件有：共15種，互為異面直線的有共3種，故概率為，故選：A.7.若曲線在處的切線方程為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，又函?shù)處的切線方程為，所以，且，聯(lián)立解得，；故選：D.8.已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列說法不正確的是（）A. B.C.事件相互獨(dú)立 D.〖答案〗D〖解析〗隨機(jī)事件滿足：，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，樣本空間，則，，，因此，事件相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.直線與圓相交，且相交弦的長度為C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過樣本點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由隨機(jī)變量，得，A正確；對(duì)于B，圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長為，B正確；對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本的中心點(diǎn)，可以不經(jīng)過任何一個(gè)樣本點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，平方相加得，解得，D正確.故選：ABD10.若的兩根為，且，則下列說法正確的是（）A.B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.的虛部為D.〖答案〗AD〖解析〗由的兩根為，且，則，對(duì)于A，，即，因此，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的虛部為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD11.設(shè)，函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)C.存在，使得有三個(gè)不同零點(diǎn)D.對(duì)任意的在上是增函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，因此存在，使得，則是的零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，解得或，此時(shí)都大于1，因此是的零點(diǎn)，所以對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，取，，由，得或，解得或或，此時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，因此當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則______．〖答案〗〖解析〗隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，所以，則.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，則______；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值可以為______．〖答案〗①1②（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意得得，解得，則，由，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以有，因此的一個(gè)取值可以為，故〖答案〗為：1；（〖答案〗不唯一）.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則______；若斜率為的直線過焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中垂線交軸于點(diǎn)，則______．〖答案〗①8②2〖解析〗如圖所示：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，所以；所以拋物線的方程為：，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，,則，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，所以的中垂線的方程為：，令，可得，所以N的橫坐標(biāo)為：，所以，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，故〖答案〗為：8，2四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，且，求的周長．解：（1）已知，則由正弦定理有.又∵，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，.（2）由題可知：，所以，由余弦定理可得，即，所以，可得，則，所以的周長為.16.如圖所示，在長方體中，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)與棱作平面．（1）直接在圖中作出平面截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；（2）設(shè)平面平面．若截面圖形的周長為16，求二面角的余弦值．解：（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，連接，則四邊形為所作截面，截面為矩形，證明如下：在長方體中，，又平面平面，平面平面，平面平面，于是，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，因此，所以四邊形為矩形.（2）連接，由矩形的周長為16，且，得，又，，得，又，則，由（1）知，，則平面，而平面，因此，二面角的平面角為，在中，，則，所以二面角的余弦值為.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)有極小值，且極小值小于時(shí)，求的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)椋?，則，所以在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在無極小值.當(dāng)時(shí)，在取得極小值為．因此等價(jià)于.即，令，其中，因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增，且．于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，的取值范圍是．18.已知橢圓，以的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形．設(shè)為原點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求的方程及離心率；（2）若軸，證明：是等腰直角三角形．解：（1）由題意.因.所以，所以橢圓方程為，離心率為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消去得：.依題意，得，則.直線，令得，又因?yàn)椋?因?yàn)檩S，所以點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所