2023-2024學(xué)年河南省信陽市高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，則，，1，2，3..故選：A.2.數(shù)列滿足，已知，則的前19項(xiàng)和（）A.0 B.8 C.10 D.19〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，所以?shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)榍遥裕?，所?故選：A.3.2024年春節(jié)期間某高速公路收費(fèi)站的3個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）服從正態(tài)分布，若，假設(shè)3個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這些收費(fèi)口每天恰有2個(gè)通過的小汽車超過700輛的概率為（）A.0.009 B.0.027 C.0.243 D.0.27〖答案〗B〖解析〗由，，得，每個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車超過700輛的概率為0.1，所以這些收費(fèi)口每天恰有2個(gè)通過的小汽車超過700輛的概率為.故選：B4.某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過抽樣調(diào)查（樣本容量），利用列聯(lián)表和統(tǒng)計(jì)量研究患肺癌是否與吸煙有關(guān).計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“患肺癌與吸煙無關(guān)”B.在100個(gè)吸煙的人中約有99個(gè)人患肺癌C.若老張吸煙，那么他有99%的可能性患肺癌D.有99%的把握認(rèn)為“患肺癌與吸煙有關(guān)”〖答案〗D〖解析〗依已知數(shù)據(jù)，得有的把握認(rèn)為“患肺癌與吸煙有關(guān)”，則選項(xiàng)D正確，其余都是錯(cuò)誤的.故選：D.5.如圖是2024年法國巴黎奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會(huì)的吉祥物有一個(gè)“腿”被設(shè)計(jì)成了假肢，現(xiàn)將4個(gè)奧運(yùn)會(huì)吉祥物和2個(gè)殘奧會(huì)吉祥物排成一排，則不同的排法有（）A.6種 B.12種 C.15種 D.60種〖答案〗C〖解析〗從一排6個(gè)位置選2個(gè)擺放殘奧會(huì)吉祥物即可（剩下的4個(gè)位置放奧運(yùn)會(huì)吉祥物），.故選:C.6.2024年5月中國郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個(gè)登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗依題意，的可能取值有0，1，2.則,，，則.故選:A.7.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個(gè)著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3除余1的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知，，被3除的余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)中被3除余1的有項(xiàng)，故所求概率為.故選：D.8.如圖所示，在楊輝三角中，斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….記這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.442 B.441 C.364 D.298〖答案〗A〖解析〗由圖知，數(shù)列中的各項(xiàng)是，，，，，，，，……，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.展開式的有理項(xiàng)為（）A.第1項(xiàng) B.第2項(xiàng) C.第5項(xiàng) D.第8項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗展開式通項(xiàng)，由，得，所以展開式的有理項(xiàng)為第項(xiàng).故選：BCD.10.設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，，則（）A. B.與相互獨(dú)立C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由，即，得，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由，故，且，故，所以與相互獨(dú)立，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與，與相互獨(dú)立，所以；，即，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.設(shè)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，，，，總有，則稱在上是上凸函數(shù).已知是的上凸函數(shù)，且（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.B.C.D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由，知得在遞增，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谏鲜恰吧贤埂焙瘮?shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，隨著的增大，曲線在某點(diǎn)的切線的斜率越來越小，所以，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，設(shè)，，由切線的幾何意義知，，即，即.選項(xiàng)C錯(cuò)誤D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)將〖答案〗填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.12.某校進(jìn)行的“校園安全”知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)，若成績(jī)?cè)?0分以上為“優(yōu)秀”，該校有4000人參加競(jìng)賽，則獲得“優(yōu)秀”的人數(shù)為_________.（附：，）〖答案〗91〖解析〗依題意，，，，，.故〖答案〗為：9113.曲線在處的切線方程為_________.〖答案〗〖解析〗記求導(dǎo)得，，于是，，又，則曲線在處切線方程為：，即.故〖答案〗為：.14.為了研究高三學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了高三學(xué)生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計(jì)11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得_________；依據(jù)小概率值_________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828〖答案〗①50.505②0.001〖解析〗，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.故〖答案〗：50.505；0.001.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知5名同學(xué)站成一排，要求甲站在正中間，乙與丙相鄰，記滿足條件的所有不同的排列種數(shù)為.（1）求的值；（2）設(shè)，①求的值；②求奇次項(xiàng)的系數(shù)和.解：（1）首先排甲，再將乙丙安排再甲的左右兩位置中的一個(gè)，則所有不同的排法種數(shù)有；（2）在，令，得；令，得①；.令，得②；②，得.（也正確）16.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率為.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件是合格品的概率為97.6%.（1）求；（2）已知取到的是次品，求它取自第二批產(chǎn)品的概率.解：（1）記事件A：任取一件產(chǎn)品是次品，記事件：第批的產(chǎn)品，.2.則，，，，由，解得.（2）.已知取到的是次品，則它取自第二批產(chǎn)品的概率.17.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）判斷是否存在零點(diǎn)，若存在求出其零點(diǎn)，若不存在，說明理由；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，得，由，得，所以，在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，.因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且，所以，不存零點(diǎn).（2），即.令構(gòu)造函數(shù)，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，.則.故的取值范圍為.18.華為Pura70的發(fā)布是中國芯片行業(yè)的重大突破，華為的高端手機(jī)越來越受到消費(fèi)者的青睞.某手機(jī)店今年2～6月份Pura70手機(jī)的銷量如下表所示：月份23456手機(jī)銷量（部）425366109用最小二乘法得到手機(jī)銷量（單位：部）關(guān)于月份的回歸直線方程為，且銷量的方差.（1）求；（2）求相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并據(jù)此判斷手機(jī)銷量與月份的相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng)）；（3）求時(shí)的殘差；已知，求決定系數(shù)（精確到0.01）.附：回歸系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，.解：（1），，將代入，得，解得.（2）由，得，由，得.所以，.所以，手機(jī)銷量與月份的線性相關(guān)較強(qiáng).（3），所以，，.19.綠化美化環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村.某村擬將村外的空地分成五塊（如圖1），種植花草（中間的圓圈不種植），現(xiàn)有四種不同的花卉供選擇，要求每一塊種植一種花，相鄰區(qū)域種不同的花卉，設(shè)所種花卉的種數(shù)為.（1）求的分布列與期望；（2）若將空地分成個(gè)區(qū)域（圖2），在這個(gè)區(qū)域上種植花卉，要求相鄰區(qū)域種不同的花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，問有多少種不同的種植方法？解：（1）的所有可能值為2，3，4.若種兩種花卉，則種植方法有；若種三種花賣，則種植方法有；若種四種花卉，則種植方法有；所有的種植方法有.所以，，，所以的分布列為234的期望.（2）分兩步，第一步種植區(qū)域，有種種植方法；第二步種植區(qū)域，在塊區(qū)域種植不同的花卉（有4種花卉供選擇），設(shè)不同的種植方法有種.顯然，；當(dāng)時(shí)，有4種種植方法，有3種種植方法，…有3種種植方法（不論是否與同種），所以共有種種植方法，其中包含了與同種的情況，此時(shí)，可以看成和合為一個(gè)區(qū)域，則共有個(gè)區(qū)域，即種種植方法，所以，可得，所以，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，，.又，，也適合上式，所以，當(dāng)時(shí)，.由分步乘法原理知，在這個(gè)區(qū)域上種植花來，不同的種植方法有，.河南省信陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，則，，1，2，3..故選：A.2.數(shù)列滿足，已知，則的前19項(xiàng)和（）A.0 B.8 C.10 D.19〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，所以?shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)榍?，所以，得，所?故選：A.3.2024年春節(jié)期間某高速公路收費(fèi)站的3個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）服從正態(tài)分布，若，假設(shè)3個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這些收費(fèi)口每天恰有2個(gè)通過的小汽車超過700輛的概率為（）A.0.009 B.0.027 C.0.243 D.0.27〖答案〗B〖解析〗由，，得，每個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車超過700輛的概率為0.1，所以這些收費(fèi)口每天恰有2個(gè)通過的小汽車超過700輛的概率為.故選：B4.某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過抽樣調(diào)查（樣本容量），利用列聯(lián)表和統(tǒng)計(jì)量研究患肺癌是否與吸煙有關(guān).計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“患肺癌與吸煙無關(guān)”B.在100個(gè)吸煙的人中約有99個(gè)人患肺癌C.若老張吸煙，那么他有99%的可能性患肺癌D.有99%的把握認(rèn)為“患肺癌與吸煙有關(guān)”〖答案〗D〖解析〗依已知數(shù)據(jù)，得有的把握認(rèn)為“患肺癌與吸煙有關(guān)”，則選項(xiàng)D正確，其余都是錯(cuò)誤的.故選：D.5.如圖是2024年法國巴黎奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會(huì)的吉祥物有一個(gè)“腿”被設(shè)計(jì)成了假肢，現(xiàn)將4個(gè)奧運(yùn)會(huì)吉祥物和2個(gè)殘奧會(huì)吉祥物排成一排，則不同的排法有（）A.6種 B.12種 C.15種 D.60種〖答案〗C〖解析〗從一排6個(gè)位置選2個(gè)擺放殘奧會(huì)吉祥物即可（剩下的4個(gè)位置放奧運(yùn)會(huì)吉祥物），.故選:C.6.2024年5月中國郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個(gè)登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗依題意，的可能取值有0，1，2.則,，，則.故選:A.7.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個(gè)著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3除余1的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知，，被3除的余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)中被3除余1的有項(xiàng)，故所求概率為.故選：D.8.如圖所示，在楊輝三角中，斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….記這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.442 B.441 C.364 D.298〖答案〗A〖解析〗由圖知，數(shù)列中的各項(xiàng)是，，，，，，，，……，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.展開式的有理項(xiàng)為（）A.第1項(xiàng) B.第2項(xiàng) C.第5項(xiàng) D.第8項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗展開式通項(xiàng)，由，得，所以展開式的有理項(xiàng)為第項(xiàng).故選：BCD.10.設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，，則（）A. B.與相互獨(dú)立C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由，即，得，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由，故，且，故，所以與相互獨(dú)立，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與，與相互獨(dú)立，所以；，即，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.設(shè)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，，，，總有，則稱在上是上凸函數(shù).已知是的上凸函數(shù)，且（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.B.C.D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由，知得在遞增，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谏鲜恰吧贤埂焙瘮?shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，隨著的增大，曲線在某點(diǎn)的切線的斜率越來越小，所以，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，設(shè)，，由切線的幾何意義知，，即，即.選項(xiàng)C錯(cuò)誤D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)將〖答案〗填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.12.某校進(jìn)行的“校園安全”知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)，若成績(jī)?cè)?0分以上為“優(yōu)秀”，該校有4000人參加競(jìng)賽，則獲得“優(yōu)秀”的人數(shù)為_________.（附：，）〖答案〗91〖解析〗依題意，，，，，.故〖答案〗為：9113.曲線在處的切線方程為_________.〖答案〗〖解析〗記求導(dǎo)得，，于是，，又，則曲線在處切線方程為：，即.故〖答案〗為：.14.為了研究高三學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了高三學(xué)生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計(jì)11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得_________；依據(jù)小概率值_________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828〖答案〗①50.505②0.001〖解析〗，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.故〖答案〗：50.505；0.001.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知5名同學(xué)站成一排，要求甲站在正中間，乙與丙相鄰，記滿足條件的所有不同的排列種數(shù)為.（1）求的值；（2）設(shè)，①求的值；②求奇次項(xiàng)的系數(shù)和.解：（1）首先排甲，再將乙丙安排再甲的左右兩位置中的一個(gè)，則所有不同的排法種數(shù)有；（2）在，令，得；令，得①；.令，得②；②，得.（也正確）16.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率為.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件是合格品的概率為97.6%.（1）求；（2）已知取到的是次品，求它取自第二批產(chǎn)品的概率.解：（1）記事件A：任取一件產(chǎn)品是次品，記事件：第批的產(chǎn)品，.2.則，，，，由，解得.（2）.已知取到的是次品，則它取自第二批產(chǎn)品的概率.17.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）判斷是否存在零點(diǎn)，若存在求出其零點(diǎn)，若不存在，說明理由；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，得，由，得，所以，在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，.因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且，所以，不存零點(diǎn).（2），即.令構(gòu)造函數(shù)，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，.則.故的取值范圍為.18