2024屆江蘇省南通市模擬預測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2024屆模擬預測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，即，所以，且，則.故選：A．2.某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區(qū)開展活動，其中1人到社區(qū)，則不同的選法有（）A.12種 B.24種 C.30種 D.60種〖答案〗C〖解析〗求不同選法種數(shù)需2步，先從5人中選1人去社區(qū)，再從余下4人中選2人去社區(qū)，所以不同的選法有（種）.故選：C．3.已知兩個非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，整理可得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.．4.已知球的半徑為1，其內(nèi)接圓錐的高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為球的半徑，其內(nèi)接圓錐的高為，所以圓錐的底面圓半徑為，母線長為，所以側(cè)面積為．故選：C．5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B．6.下列函數(shù)中，以為周期，且其圖象關(guān)于點對稱的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A：的最小正周期為，對稱中心為，故A錯誤；對于B：的圖象是由將軸下方部分關(guān)于軸對稱上去，軸上方及軸部分不變，所以的最小正周期為，沒有對稱中心，故B錯誤；對于C：，則最小正周期，且當時，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D：，最小正周期，故D錯誤.故選：C．7.已知橢圓：的左、右焦點分別為，為過點的弦，為的中點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設，因為，為的中點，所以，，由橢圓定義可得，所以，又因為，為的中點，所以，，設橢圓的半焦距為，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以橢圓C的離心率，故選：A.8.一個正八面體的八個面上分別標以數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，則（）A.AB=C B.A+B=C C.A，B互斥 D.B，C相互獨立〖答案〗D〖解析〗對于A:事件發(fā)生時，事件不一定發(fā)生，所以A錯；對于B:發(fā)生時，不一定發(fā)生，所以B錯；對于C:時，同時發(fā)生，所以C錯；對于D:，所以D正確.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，是兩條直線，是兩個平面，下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗若，則平行或相交或異面，故A錯誤；若，則，故B正確；若，則平行或相交，故C錯誤；若，則平行或相交，故D錯誤；故選：ACD．10.設拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到的距離比到軸的距離大2B.點到直線的最小距離為C.以為直徑的圓與軸相切D.記點在的準線上的射影為，則不可能是正三角形〖答案〗BC〖解析〗由拋物線，可得焦點，準線方程為，設，因為，因此不正確；因為，則點到直線的距離為，當時取等號，可得點到直線的最小距離為，因此正確；設的中點為，則，于是以為直徑的圓與軸相切，因此正確；，令，則，，解得，此時，是正三角形，因此不正確．故選：BC．11.設是直線與曲線的兩個交點的橫坐標，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由函數(shù)的定義域為，可得，令，可得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，當時，可得函數(shù)的極大值為，對于A中，知，所以，所以A正確；對于B中，構(gòu)造函數(shù)，可得，當時，，在單調(diào)遞增；所以，可得，可得，所以B錯誤；對于C中，由函數(shù)的極大值為，令，可得，,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得圖像如圖所示.當且時，，又因為當時，,所以，，所以C正確；對于D中，因為，所以，所以等價于，為證，成立，即,因為,故只需證：，因為，只需證：且與均大于1，又因為在上單調(diào)遞增，只需證：，即證：，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，且，所以成立，所以D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數(shù)與分別表示向量與，記表示向量的復數(shù)為，則______．〖答案〗25〖解析〗由題意可知，，則，所以.13.某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率約為10%，且每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起的十年內(nèi)每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，則_______，數(shù)列的通項公式_______(1≤n≤10，)．〖答案〗〖解析〗由題意可知，，由得，所以，得，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即.14.在梯形中，，則該梯形周長的最大值為_______．〖答案〗〖解析〗設，則，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，則，因為，所以，所以，則當時，取得最大值，所以梯形周長的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，函數(shù)．（1）當時，求過點且與曲線相切的直線方程：（2）是函數(shù)的兩個極值點，證明：為定值．（1）解：當時，，則導數(shù)．設切點為，則，所以切線方程為．又切線過點，則，整理得，，解得．所以過點且與曲線相切的直線方程為．（2）證明：依題意，，令，得．00極大值極小值不妨設，則．所以為定值．16.如圖，在四棱臺中，，，．（1）記平面與平面的交線為，證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）在中，.由余弦定理得，，則，得.又，則.因為平面，所以，又，所以平面，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，得，所以.又是平面的一個法向量.記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.某高校統(tǒng)計的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：樣本號12345第天12345參觀人數(shù)2.42.74.16.47.9并計算得，．（1）求關(guān)于的回歸直線方程，并預測第10天入校參觀的人數(shù)；（2）已知該校開放1號，2號門供參觀者進出，參觀者從這兩處門進校的概率相同，且從進校處的門離校的概率為，從另一處門離校的概率為．假設甲、乙兩名參觀者進出該?；ゲ挥绊懀阎?、乙兩名參觀者從1號門離校，求他們從不同門進校的概率．附：回歸直線方程，其中．解：（1）依題意，，，所以．當時，，答：第10天入校參觀的人數(shù)約為14.99千人．（2）記“兩名參觀者從不同門進?！睘槭录皟擅麉⒂^者都從1號門離?！睘槭录辞螅畡t，，所以．答：他們從不同門進校的概率為．18.已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為4，上一點滿足，且的面積為．（1）求的方程；（2）過的漸近線上一點作直線與相交于點，，求的最小值．解：（1）在中，因為，所以．所以的面積，解得．在中，由余弦定理，得，所以．因為在雙曲線上，所以，得．所以的方程為．（2）法1：設，則，當直線軸時，設直線與交于點，所以，即，所以．當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，，利用對稱性不妨設在直線上．聯(lián)立，得．聯(lián)立并消去，得，所以．則，同理，得．所以（當且僅當時，取等號，滿足），綜上，的最小值為1．法2：設，則，當垂直軸時，設的方程為：，則．因為兩式相減，得，所以．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為：，由消去并化簡，得．所以則，同理．所以．綜上所述，當軸時，的最小值為1．19.設有窮數(shù)列的項數(shù)為，若正整數(shù)滿足：，則稱為數(shù)列的“點”．（1）若，求數(shù)列的“點”；（2）已知有窮等比數(shù)列的公比為，前項和為．若數(shù)列存在“點”，求正數(shù)的取值范圍；（3）若，數(shù)列的“點”的個數(shù)為，證明：．解：（1）因為所以，所以數(shù)列的“點”為3，5，（2）依題意，，因為數(shù)列存在“點”，所以存在，使得，所以，即.因為，所以，所以，又隨的增大而增大，所以當時，取最大值，所以，又，所以.當時，有，所以數(shù)列存在“點”，所以的取值范圍為，（3）①若，則數(shù)列不存在“點”，即.由得，，所以，②若存，使得.下證數(shù)列有“點”.證明:若，則2是數(shù)列“點”;若，因為存在，使得，所以設數(shù)列中第1個小于的項為，則，所以是數(shù)列的第1個“點”.綜上，數(shù)列存在“點”.不妨設數(shù)列的“點”由小到大依次為，則是中第1個小于的項，故，因為，所以，所以，所以所以所以.綜上，，得證.江蘇省南通市2024屆模擬預測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，即，所以，且，則.故選：A．2.某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區(qū)開展活動，其中1人到社區(qū)，則不同的選法有（）A.12種 B.24種 C.30種 D.60種〖答案〗C〖解析〗求不同選法種數(shù)需2步，先從5人中選1人去社區(qū)，再從余下4人中選2人去社區(qū)，所以不同的選法有（種）.故選：C．3.已知兩個非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，整理可得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.．4.已知球的半徑為1，其內(nèi)接圓錐的高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為球的半徑，其內(nèi)接圓錐的高為，所以圓錐的底面圓半徑為，母線長為，所以側(cè)面積為．故選：C．5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B．6.下列函數(shù)中，以為周期，且其圖象關(guān)于點對稱的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A：的最小正周期為，對稱中心為，故A錯誤；對于B：的圖象是由將軸下方部分關(guān)于軸對稱上去，軸上方及軸部分不變，所以的最小正周期為，沒有對稱中心，故B錯誤；對于C：，則最小正周期，且當時，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D：，最小正周期，故D錯誤.故選：C．7.已知橢圓：的左、右焦點分別為，為過點的弦，為的中點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設，因為，為的中點，所以，，由橢圓定義可得，所以，又因為，為的中點，所以，，設橢圓的半焦距為，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以橢圓C的離心率，故選：A.8.一個正八面體的八個面上分別標以數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，則（）A.AB=C B.A+B=C C.A，B互斥 D.B，C相互獨立〖答案〗D〖解析〗對于A:事件發(fā)生時，事件不一定發(fā)生，所以A錯；對于B:發(fā)生時，不一定發(fā)生，所以B錯；對于C:時，同時發(fā)生，所以C錯；對于D:，所以D正確.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，是兩條直線，是兩個平面，下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗若，則平行或相交或異面，故A錯誤；若，則，故B正確；若，則平行或相交，故C錯誤；若，則平行或相交，故D錯誤；故選：ACD．10.設拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到的距離比到軸的距離大2B.點到直線的最小距離為C.以為直徑的圓與軸相切D.記點在的準線上的射影為，則不可能是正三角形〖答案〗BC〖解析〗由拋物線，可得焦點，準線方程為，設，因為，因此不正確；因為，則點到直線的距離為，當時取等號，可得點到直線的最小距離為，因此正確；設的中點為，則，于是以為直徑的圓與軸相切，因此正確；，令，則，，解得，此時，是正三角形，因此不正確．故選：BC．11.設是直線與曲線的兩個交點的橫坐標，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由函數(shù)的定義域為，可得，令，可得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，當時，可得函數(shù)的極大值為，對于A中，知，所以，所以A正確；對于B中，構(gòu)造函數(shù)，可得，當時，，在單調(diào)遞增；所以，可得，可得，所以B錯誤；對于C中，由函數(shù)的極大值為，令，可得，,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得圖像如圖所示.當且時，，又因為當時，,所以，，所以C正確；對于D中，因為，所以，所以等價于，為證，成立，即,因為,故只需證：，因為，只需證：且與均大于1，又因為在上單調(diào)遞增，只需證：，即證：，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，且，所以成立，所以D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數(shù)與分別表示向量與，記表示向量的復數(shù)為，則______．〖答案〗25〖解析〗由題意可知，，則，所以.13.某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率約為10%，且每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起的十年內(nèi)每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，則_______，數(shù)列的通項公式_______(1≤n≤10，)．〖答案〗〖解析〗由題意可知，，由得，所以，得，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即.14.在梯形中，，則該梯形周長的最大值為_______．〖答案〗〖解析〗設，則，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，則，因為，所以，所以，則當時，取得最大值，所以梯形周長的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，函數(shù)．（1）當時，求過點且與曲線相切的直線方程：（2）是函數(shù)的兩個極值點，證明：為定值．（1）解：當時，，則導數(shù)．設切點為，則，所以切線方程為．又切線過點，則，整理得，，解得．所以過點且與曲線相切的直線方程為．（2）證明：依題意，，令，得．00極大值極小值不妨設，則．所以為定值．16.如圖，在四棱臺中，，，．（1）記平面與平面的交線為，證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）在中，.由余弦定理得，，則，得.又，則.因為平面，所以，又，所以平面，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，得，所以.又是平面的一個法向量.記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.某高校統(tǒng)計的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：樣本號12345第天12345參觀人數(shù)2.42.74.16.47.9并計算得，．（1）求關(guān)于的回歸直線方程，并預測第10天入校參觀的人數(shù)；（2）已知該校開放1號，2號門供參觀者進出，參觀者從這兩處門進校的概率相同，且從進校處的門離校的概率為，從另一處門離校的概率為．假設甲、乙兩名參觀者進出該?；ゲ挥绊懀阎?、乙兩名參觀者從1號門離校，求他們從不同門進校的概率．附：回歸直線方程，其中．解：（1）依題意，，，所以．當時，，答：第10天入校參觀的人數(shù)約為14.99千人．（2）記“兩名參觀者從不同門進?！睘槭录?，“兩名參觀者都從1號門離?！睘槭录?，即求．則，，所以．答：他們從